skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/0.11.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "0.11",
    "chapter_number": 0,
    "chapter": "Voraussetzungen",
    "title": "Kurvenanpassung",
    "question": "An einem nichtlinearen Zweipol wurden folgende Messwerte ermittelt: \n\n\\begin{tabular}{|c|*{6}{>{\\arraybackslash}p{\\widthof{12,5}}|}} \\hline\n$U/\\!\\mathrm{V}$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \n\\hline\n$I/\\!\\mathrm{mA}$ & 0 & 0,5 & 2 & 4,5 & 8 & 12,5 \n\\hline\n\\end{tabular} \n\nDer Zusammenhang soll durch eine Funktion der Form $I/\\!\\mathrm{mA} = a\\cdot (U/\\!\\mathrm{V})^b$ dargestellt werden. Bestimmen Sie die Parameter $a$ und $b$ in folgenden Schritten:\n\n- Zeichnen Sie die Funktion $I(U)$ auf doppeltlogarithmischem Millimeterpapier.\n\n- Zeigen Sie, dass die Funktion $ I/\\!\\mathrm{mA}=a\\cdot (U/\\mathrm{V})^b $ in dop\\-pelt\\-lo\\-ga\\-rith\\-mischer Darstellung \n$\\ln(I/\\!\\mathrm{mA})$ als Funktion von $\\ln(U/\\!\\mathrm{V})$ eine Gerade ergibt.\n\n- Stellen Sie $\\ln(I/\\!\\mathrm{mA})$ als Funktion von $\\ln(U/\\!\\mathrm{V})$ grafisch dar und geben Sie die Geradengleichung an.\n\n- Bestimmen Sie die gesuchten Parameter $a$ und $b$ durch Vergleich der Ergebnisse von b) und c).\n\n- Geben Sie die zugeschnittene Größengleichung für $I/\\!\\mathrm{mA}$ als Funktion von $U/\\!\\mathrm{V}$ an, stellen Sie $I$ als Funktion von $U$ grafisch dar und überprüfen Sie die Tabellenwerte.\n\nWie groß sind die Stromwerte für die Spannungen $0,5 \\mathrm{V}$, $3,5\\mathrm{V}$ und $6\\mathrm{V}$ ?",
    "short_solution": "c) $a=0,5$ $b=2$ d) $I/\\!\\mathrm{mA}=0,5(U/\\!\\mathrm{V})^2$",
    "solution_path": "- Darstellung auf doppeltlogarithmischem Millimeterpapier.\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-00-011-kurvenanpassung-1: Kurvenanpassung 1 plot](assets/et1-00-011-kurvenanpassung-1/01-Kurvenanpassung_1_plot.png)\n\n- $I/\\!\\mathrm{mA}=a (U/\\!\\mathrm{V})^{b} \\Rightarrow \n\\begin{array}[t]{*{6}{c}}\n\\underbrace{\\ln(I/\\!\\mathrm{mA})} & = & \\underbrace{\\ln a} & + & \\underbrace{b} & \\underbrace{\\ln(U/\\!\\mathrm{V})} \n\ny & = & n & + & m & x\n\\end{array}$\n\n- Wertetabelle:\n\n\\begin{tabular}[t]{|c|*{7}{>{\\arraybackslash}p{\\widthof{ln 12,5 =}}|}}\n\\firsthline\n$x = \\ln (U/\\!\\mathrm{V})$ & $\\ln 1=0$ & $\\ln 2\\approx 0,7$ & $\\ln 3\\approx 1,1$ & $\\ln 4\\approx 1,4$ & $\\ln 5\\approx 1,6$ \n\\hline\n$y = \\ln (I/\\!\\mathrm{mA})$ & $\\ln 0,5\\approx -0,7$ & $\\ln 2\\approx 0,7$ & $\\ln 4,5\\approx 1,5$ & $\\ln 8\\approx 2,1$ & $\\ln 12,5\\approx 2,5$ \n\n\\hline\n\\end{tabular}\n\nBei der logarithmischen Darstellung gibt es den Punkt $U=0$, $I=0$ nicht.\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-00-011-kurvenanpassung-1: Kurvenanpassung 1 w1](assets/et1-00-011-kurvenanpassung-1/02-Kurvenanpassung_1_w1.png)\n\nGeradengleichung: \n$\\begin{array}[t]{*{6}{c}}\n\\underbrace{\\ln(I/\\!\\mathrm{mA})} & = & \\underbrace{\\ln 0,5} & + & \\underbrace{\\textstyle\\frac{\\ln 2 - \\ln 0,5}{\\ln 2 - \\ln 1}} & \\underbrace{\\ln(U/\\!\\mathrm{V})} \n\ny & = & n & + & m & x\n\\end{array}$\n\n$\\frac{\\ln 2 - \\ln 0,5}{\\ln 2 - \\ln 1} = \\frac{\\ln 2 + \\ln 2}{\\ln 2 - 0} = 2$\n\n- Vergleich der Geradengleichungen von b) und c):\n\n$n = \\ln a = \\ln 0,5 \\Rightarrow a = 0,5$\n\n$m = b = 2$\n\n- zugeschnittene Größengleichung: $I/\\mathrm{mA} = 0,5 (U/\\!\\mathrm{V})^{2}$\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-00-011-kurvenanpassung-1: Kurvenanpassung 1 w2](assets/et1-00-011-kurvenanpassung-1/03-Kurvenanpassung_1_w2.png)\n\n\\begin{tabular}{|*{4}{c|}} \\hline\n$U/\\!\\mathrm{V}$ & 0,5 & 3,5 & 6 \n\\hline\n$I/\\!\\mathrm{mA}$ & 0,125 & 6,125 & 18 \n\\hline\n\\end{tabular}",
    "figures": [
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        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-00-011-kurvenanpassung-1: Kurvenanpassung 1 w1"
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