skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/0.12.json

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    "exercise_number": "0.12",
    "chapter_number": 0,
    "chapter": "Voraussetzungen",
    "title": "Messabweichung",
    "question": "Zwei Zeigerinstrumente haben in ihrem Skalenbereich\n$0\\leq\\alpha\\leq\\alpha_{\\text{max}}$,\n($\\alpha$ Winkel des Zeigerausschlages, $\\alpha = \\alpha_{\\text{max}}$ bei $I = I_{\\text{max}}$),\neine konstante Anzeigeabweichung $\\Delta\\alpha$.\nBerechnen Sie die relative Messabweichung $\\Delta I / I =\nf(\\alpha)$ und\nstellen Sie sie quantitativ für $\\alpha_{\\text{max}} = 100\\textnormal{\\textdegree}$ und\n$\\Delta\\alpha = 2\\textnormal{\\textdegree}$ als Funktion von $\\alpha / \\alpha_{\\text{max}} $ grafisch dar\n\n- für ein Messinstrument mit der Skalengleichung $\\alpha\n=k_1\\cdot I$ \\item für ein Messinstrument mit der Skalengleichung\n$\\alpha = k_2 \\cdot I^2$ \\item Welche Konsequenz ergibt sich\ndaraus für den praktischen Einsatz der Messgeräte? \\item Die\nGenauigkeit eines Zeigerinstrumentes wird durch die relative\nMessabweichung bezogen auf den Messwert bei Vollausschlag angegeben.\nNach VDE 0410 sind folgende Ge\\-nau\\-ig\\-keits\\-klas\\-sen festgelegt:\n\nBetriebsmessgeräte: 1; 1,5; 2,5; 5\n\nFeinmessgeräte: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5\n\nDie Zahl gibt dabei die Messunsicherheit in Prozent an.\n\nWelche Genauigkeitsklassen besitzen diese Messinstrumente?",
    "short_solution": "a) $\\dfrac{\\Delta I}{I}=\\dfrac{0,02}{\\alpha/\\alpha_{\\max}}$ \\:\\: \nb) $\\dfrac{\\Delta I}{I}=-1+\\sqrt{1+\\dfrac{0,02}{\\alpha/\\alpha_{\\max}}}$",
    "solution_path": "- $\\alpha = k_1 I \\to \\Delta \\alpha = k_1 \\Delta I$\n\n\\begin{eqnarray}\n\\frac{\\Delta I}{I} = \\frac{\\Delta \\alpha}{\\alpha} & = & \\frac{\\Delta \\alpha}{\\alpha_{\\max}} \\cdot \\frac{\\alpha _{\\max}}{\\alpha} \n\n& = & 0,02 \\cdot \\frac{1}{(\\alpha/\\alpha_{\\max})} = 2\\,\\% \\cdot \\frac{1}{(\\alpha/\\alpha_{\\max})} \n\\end{eqnarray}\n\n- $\\alpha = k_2 I^2$\n\n\\begin{eqnarray}\n\\alpha + \\Delta \\alpha & = & k_2 (I + \\Delta I)^2 = k_2 I^2 + k_2 (2I \\Delta I + \\Delta I^2) \n\n\\Delta \\alpha & = & k_2 (2I \\Delta I + \\Delta I^2) \n\n\\Delta I^2 + 2I \\Delta I - \\frac{\\Delta \\alpha }{k_2} & = & 0 \\to quadratische Gleichung f\"ur $\\Delta I$ \n\n\\Delta I & = & - I \\pm \\sqrt{I^2 + \\frac{\\Delta \\alpha}{k_2}} = I \\left( -1 + \\sqrt{1 + \\frac{\\Delta \\alpha }{k_2 I^2}}\\ \\right) \n\n\\frac{\\Delta I}{I} & = & -1 + \\sqrt{1 + \\frac{\\Delta \\alpha}{\\alpha}} = -1 + \\sqrt{1 + \\frac{\\Delta \\alpha}{\\alpha_{\\max}} \\cdot \\frac{1}{(\\alpha /\\alpha_{\\max})}} \n\n& = & -1 + \\sqrt{1 + 0,02 \\cdot \\frac{1}{(\\alpha/\\alpha_{\\max})}} \n\n& = & 100\\,\\% \\left( -1 + \\sqrt{1 + 0,02 \\cdot \\frac{1}{(\\alpha/\\alpha_{\\max})}} \\ \\right) \n\\end{eqnarray}\n\n\\hinw{Für $\\frac{\\Delta \\alpha}{\\alpha} \\ll 1$ kann folgende Näherung verwenden werden:}\n\\[\n\\frac{\\Delta I}{I} = -1 + \\sqrt{1 + \\frac{\\Delta \\alpha}{\\alpha}} \\approx -1 + (1 + \\frac{\\Delta \\alpha}{2\\alpha}) = \\frac{\\Delta \\alpha}{2\\alpha}\n\\]\nSie führt auf die Beziehung: \n\\begin{eqnarray}\n\\frac{\\Delta I}{I} \\approx \\frac{\\Delta \\alpha}{2\\alpha} & = & \\frac{\\Delta \\alpha}{2\\alpha_{\\max}} \\cdot \\frac{1}{(\\alpha/\\alpha_{\\max})} \n\n& = & 0,01 \\cdot \\frac{1}{(\\alpha/\\alpha_{\\max})} = 1\\,\\% \\cdot \\frac{1}{(\\alpha/\\alpha_{\\max})} \n\\end{eqnarray}\n\n\\hinw{Bei kleinen relativen Änderungen $\\frac{\\Delta x}{x}$ einer Funktion $f(x)$ wird allgemein der folgende Ansatz verwendet:}\n\\[\nf'(x) = \\frac{\\mathrm{d}f}{\\mathrm{d}x} \\approx \\frac{\\Delta f}{\\Delta x} \\to \\frac{\\Delta f}{f} \\approx f' \\cdot \\frac{\\Delta x}{f}\n\\]\n\nF\"ur Fall a) : $I(\\alpha ) = \\frac{\\alpha}{k_1} \\to I' = \\frac{1}{k_1} \\to \\frac{\\Delta I}{I} = \\frac{\\Delta \\alpha}{k_1I} = \\frac{\\Delta \\alpha}{\\alpha}$\n\nF\"ur Fall b) : $I(\\alpha) = \\sqrt{\\frac{\\alpha}{k_2}} \\to I' = \\frac{1}{2 \\sqrt{k_2 \\alpha}} \\to \\frac{\\Delta I}{I} = \\frac{1}{2 \\sqrt{k_2 \\alpha}} \\cdot \\frac{\\Delta \\alpha \\sqrt{k_2}}{\\sqrt{\\alpha}} = \\frac{\\Delta \\alpha}{2 \\alpha}$\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-00-012-messabweichung-1: Messabweichung 1 w1](assets/et1-00-012-messabweichung-1/01-Messabweichung_1_w1.png)\n\n- Die Messbereiche sind so zu wählen, daß eine Ablesung im oberen Skalenbereich erfolgen kann (Richtwert: oberes Drittel).\n\n- Bei Vollausschlag $\\alpha = \\alpha_{\\max}$ gilt:\n\n- F\"ur Fall a) : $\\frac{\\Delta I}{I} = 0,02 \\to \\text{Klasse } 2,5$\n\n- F\"ur Fall b) : $\\frac{\\Delta I}{I} = 0,01 \\to \\text{Klasse } 1$",
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