skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/0.3.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "0.3",
    "chapter_number": 0,
    "chapter": "Voraussetzungen",
    "title": "Ableitungen von Funktionen",
    "question": "Bestimmen Sie die Ableitungen nach der Zeit für die in Aufgabe aufg:Funktionsgleichungena)-e) dargestellten Funktionen. Ermitteln Sie für die Funktion von aufg:Funktionsgleichungend) die Tangentengleichung $Q_T(t)$ im gekennzeichneten Punkt.",
    "short_solution": "",
    "solution_path": "- $ \\dot{U}(t) = -\\frac{U_1}{t_1}$\n\n- $ \\dot{I}(t) = \\frac{2 I_1}{t_1^2} t$\n\n- $\n\\dot{Q}(t) = \n\\begin{cases}\n\\frac{Q_0}{t_1} & 0 \\le t < t_1 \n\n0 & t_1 \\le t < t_2 \n\n- \\frac{Q_0}{t_3 - t_2} & t_2 \\le t \\le t_3\n\\end{cases}\n$\n\n- $ \\dot{Q}_1(t) = \\frac{Q_0}{t_1 - t_0} \\e^{-\\frac{t - t_0}{t_1 - t_0}}$\n\n$ Q_T(t) = \\dot{Q}_1(t_0)(t-t_0) - Q_0 = \\frac{Q_0}{t_1-t_0}(t-t_0) - Q_0$\n\n- Die Abhängigkeit von der Zeit $t$ ist nicht bekannt.\n\n\\medskip \n$ \\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}t} = \\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}x}\\frac{\\mathrm{d}x}{\\mathrm{d}t}\n=-\\frac{2y_0}{x_1^2}x \\cdot \\frac{\\mathrm{d}x}{\\mathrm{d}t}$\n(zeitliche Ableitung von $y$, wenn $x(t)$ bekannt ist)",
    "figures": []
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  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v005-c02",
      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 2",
      "heading": "Beispielrechnung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=gN-KwZ1-KJQ",
      "content": "Das Video führt eine Beispielrechnung durch, bei der der Stromverlauf I(t) aus einem gegebenen Ladungsverlauf Q(t) berechnet wird \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gN-KwZ1-KJQ&t=30s}{[00:00:30]}.\n\n\\subsubsection*{Gegebener Ladungsverlauf Q(t)}\n\nDer Ladungsverlauf Q(t) ist grafisch und als abschnittsweise definierte Funktion gegeben \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gN-KwZ1-KJQ&t=100s}{[00:01:40]}:\n\\begin{itemize}\n\t\\item Von t=0 bis t=T steigt die Ladung linear von 0 auf \\(Q_0\\).\n\t\\item Von t=T bis t=3T fällt die Ladung linear von \\(Q_0\\) auf 0 zurück.\n\t\\item Außerhalb dieses Intervalls ist die Ladung 0.\n\\end{itemize}\nDaraus ergibt sich die folgende Funktionsdarstellung \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gN-KwZ1-KJQ&t=154s}{[00:02:34]}:\n\\begin{equation*}\n\tQ(t) =\n\t\\begin{cases}\n\t\t0 & \\text{für } t \\le 0 \\text{ und } t > 3T \\\\\n\t\t\\frac{Q_0}{T} \\cdot t & \\text{für } 0 < t \\le T \\\\\n\t\t\\frac{3}{2}Q_0 - \\frac{Q_0}{2T} \\cdot t & \\text{für } T < t \\le 3T\n\t\\end{cases}\n\\end{equation*}\n\n\\subsubsection*{Berechnung des Stromverlaufs I(t)}\n\nDer Stromverlauf I(t) wird durch die Ableitung von Q(t) nach der Zeit berechnet \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gN-KwZ1-KJQ&t=282s}{[00:04:42]}. Da Q(t) abschnittsweise definiert ist, wird jeder Abschnitt einzeln abgeleitet:\n\\begin{itemize}\n\t\\item Für \\(0 < t \\le T\\): \\( I(t) = \\frac{d}{dt} \\left( \\frac{Q_0}{T} \\cdot t \\right) = \\frac{Q_0}{T} \\)\n\t\\item Für \\(T < t \\le 3T\\): \\( I(t) = \\frac{d}{dt} \\left( \\frac{3}{2}Q_0 - \\frac{Q_0}{2T} \\cdot t \\right) = -\\frac{Q_0}{2T} \\)\n\t\\item Sonst: \\( I(t) = 0 \\)\n\\end{itemize}\nDas Ergebnis ist ein konstanter positiver Strom im ersten Intervall und ein konstanter negativer Strom im zweiten Intervall \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gN-KwZ1-KJQ&t=395s}{[00:06:35]}.\n\n\\subsubsection*{Grafische Darstellung und Interpretation}\n\nDer resultierende Stromverlauf I(t) wird grafisch dargestellt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gN-KwZ1-KJQ&t=447s}{[00:07:27]}. Die Fläche unter der I(t)-Kurve repräsentiert die transportierte Ladung.\n\\begin{itemize}\n\t\\item Die positive Fläche im Intervall [0, T] entspricht einer Ladungszunahme von \\(Q_0\\).\n\t\\item Die negative Fläche im Intervall [T, 3T] entspricht einer Ladungsabnahme von \\(Q_0\\).\n\\end{itemize}\nDie Netto-Ladung über den gesamten Zeitraum ist somit null, was mit dem Verlauf von Q(t) übereinstimmt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gN-KwZ1-KJQ&t=535s}{[00:08:55]}."
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