skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/0.5.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "0.5",
    "chapter_number": 0,
    "chapter": "Voraussetzungen",
    "title": "Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen",
    "question": "Lösen Sie die folgenden Gleichungen (bzw. das Gleichungssystem), indem sie die\nmöglichen Werte für $x$ (bzw. $a$, $b$, $c$) bestimmen.\n\n\\begin{align*}\n\\text{a)} & ~x^2+8x-9 = 0 &\n\\text{b)} & ~x(x-3)(x+5) = 0 &\n\\text{c)} & ~\\begin{matrix} a+b = 3 \nb+c = 4 \na+c = 5 \\end{matrix}\n\\end{align*}",
    "short_solution": "",
    "solution_path": "- Lösen der quadratische Gleichung mittels $p$-$q$-Formel\n\nAchtung: Nicht bei allen Klausuren darf ein Taschenrechner benutzt werden, der das auch kann! Stellt sicher, dass das auch \"`per Hand\"' sicher und vor allem schnell geht.\n\\begin{gather*}\nx_{1,2} = - \\frac{p}{2} \\pm \\sqrt{\\frac{p^2}{4} - q} \n= -\\frac{8}{2} \\pm \\sqrt{\\frac{64}{4} + 9} = -4 \\pm 5 \n\\Rightarrow x_1 = 1,\\; x_2 = -9\n\\end{gather*}\n\n- die Lösung kann aus den Klammern abgelesen werden. Die Gleichung ist erfüllt, wenn einer der Faktoren Null ergibt.\n\\begin{gather*}\nx_1 = 0, x_2 = 3, x_3 = -5\n\\end{gather*}\n\n- Lösen eines Gleichungssystems. Es gibt viele Wege zum Ziel. Ein Ansatz ist das Auflösen von Gleichung~II nach $b$ und von Gleichung~III nach $a$.\n\\begin{gather*}\nb = 4 - c a = 5 - c\n\\end{gather*}\nDiese können nun in Gleichung~I eingesetzt und anschließend nach $c$ aufgelöst werden. \n\\begin{gather*}\n5-c+4-c=3 \\Rightarrow -2c=-6 \\Rightarrow c = 3\n\\end{gather*}\nDer ermittelte Wert von $c$ kann nun in die nach $a$ bzw. $b$ aufgelösten Gleichungen eingesetzt werden, um die Werte dieser beiden Variablen zu ermitteln.\n\\begin{gather*}\nb = 4 -3 = 1, a = 5 - 3 = 2\n\\end{gather*}\n\nAuch hier gilt wie oben: Nicht bei allen Klausuren darf ein Taschenrechner benutzt werden, der das auch kann!\nStellt sicher, dass das auch \"`von Hand\"' sicher und vor allem schnell geht.",
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