skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/0.9.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "0.9",
    "chapter_number": 0,
    "chapter": "Voraussetzungen",
    "title": "Zugeschnittene Größengleichung",
    "question": "Stellen Sie für die Größengleichung $a=\\dfrac{v^2}{r}$ die zugeschnittene Größengleichung auf. Verwenden Sie dabei die Maßeinheiten $\\left[a\\right]=\\mathrm{m/s^2}$, $\\left[v\\right]=\\mathrm{m/s}$ und $\\left[r\\right]=\\mathrm{cm}$.",
    "short_solution": "",
    "solution_path": "\\begin{align*}\na &=\\dfrac{v^2}{r}\n\n\\dfrac{a}{\\mathrm{m/s^2}}\\cdot\\mathrm{m/s^2} &= \\dfrac{\\left( \\dfrac{v}{\\mathrm{m/s}}\\cdot\\mathrm{m/s}\\right)^2 }{\\dfrac{r}{\\mathrm{cm}}\\cdot \\mathrm{cm}} \n\n\\dfrac{a}{\\mathrm{m/s^2}} &= \\mathrm{\\dfrac{m^2/s^2}{m/s^2 \\cdot cm}} \\cdot \\dfrac{\\left( \\dfrac{v}{\\mathrm{m/s}}\\right)^2 }{\\dfrac{r}{\\mathrm{cm}}} \n\n\\dfrac{a}{\\mathrm{m/s^2}} &=100 \\cdot \\dfrac{\\left( \\dfrac{v}{\\mathrm{m/s}}\\right)^2 }{\\dfrac{r}{\\mathrm{cm}}}\n\\end{align*}",
    "figures": []
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  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v002-c02",
      "lecture_chapter": "0.2",
      "video_title": "Kap 0.2 Rechnen mit physikalischen Größen",
      "heading": "Zugeschnittene Größengleichungen",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=OfQSOwpVU0Y",
      "content": "Um den Nachteil der ständigen Einheitenumrechnung zu umgehen, werden zugeschnittene Größengleichungen eingeführt. Diese verbinden physikalische Größen mit \\textbf{vorgegebenen Maßeinheiten} \\href{https://www.youtube.com/watch?v=OfQSOwpVU0Y&t=283s}{[00:04:43]}. Sie sind besonders nützlich, wenn wiederholt Berechnungen mit denselben Einheiten durchgeführt werden müssen, z.B. in Messreihen im Labor.\n\nDer Weg zur Erstellung einer solchen Gleichung wird demonstriert \\href{https://www.youtube.com/watch?v=OfQSOwpVU0Y&t=537s}{[00:08:57]}:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item Man beginnt mit der allgemeinen Größengleichung: \\( s = v \\cdot t \\).\n\t\\item Jede Größe wird durch ihre gewünschte Maßeinheit geteilt (normiert). Die Gleichung wird also erweitert, ohne ihren Wert zu ändern:\n\t\\[ \\frac{s}{\\text{m}} \\cdot \\text{m} = \\left( \\frac{v}{\\text{km/h}} \\cdot \\frac{\\text{km}}{\\text{h}} \\right) \\cdot \\left( \\frac{t}{\\text{s}} \\cdot \\text{s} \\right) \\]\n\t\\item Anschließend wird die Gleichung so umgestellt, dass der gesuchte normierte Wert (hier: \\( \\frac{s}{\\text{m}} \\)) isoliert wird:\n\t\\[ \\frac{s}{\\text{m}} = \\frac{\\frac{\\text{km}}{\\text{h}} \\cdot \\text{s}}{\\text{m}} \\cdot \\frac{v}{\\text{km/h}} \\cdot \\frac{t}{\\text{s}} \\]\n\t\\item Der vordere Bruch enthält nur noch Einheiten und kann zu einem reinen Zahlenwert, dem Umrechnungsfaktor, zusammengefasst werden. Nach Einsetzen der Umrechnungen (\\( \\text{km} = 1000 \\, \\text{m} \\), \\( \\text{h} = 3600 \\, \\text{s} \\)) ergibt sich der Faktor \\( \\frac{1}{3,6} \\) \\href{https://www.youtube.com/watch?v=OfQSOwpVU0Y&t=763s}{[00:12:43]}.\n\\end{enumerate}\nDie finale zugeschnittene Größengleichung lautet somit:\n\\[ \\frac{s}{\\text{m}} = \\frac{1}{3,6} \\cdot \\frac{v}{\\text{km/h}} \\cdot \\frac{t}{\\text{s}} \\]\nSetzt man hier die Zahlenwerte \\( v=5 \\) und \\( t=4 \\) ein, erhält man direkt das Ergebnis, ohne sich um die Einheiten kümmern zu müssen \\href{https://www.youtube.com/watch?v=OfQSOwpVU0Y&t=884s}{[00:14:44]}:\n\\[ \\frac{s}{\\text{m}} = \\frac{1}{3,6} \\cdot 5 \\cdot 4 \\approx 5,56 \\]\nDies zeigt den wesentlichen Vorteil: Die Berechnung vereinfacht sich erheblich, da nur noch mit den Zahlenwerten gerechnet wird."
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