skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.10.json

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  "exercise": {
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    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Knoten- und Schnittmengengleichungen",
    "question": "\\mpBR{5.5cm}{\nIn integrierten Schaltkreisen werden häufig sog. Stromspiegel-Schaltungen verwendet.\n\nBerechnen Sie für den angegebenen Stromspiegel den Strom $I_\\mathrm{E1}$ als Funktion der Ströme $I_1$, $I_2$, und $I_\\mathrm{E2}$.\n\n}\n{\n\n\\psMsL{I_1}\\psMsR{I_2}\n\\psTdL{I_{C1}}{$I_\\mathrm{C1}$}\\psTdL{I_B}{$I_\\mathrm{B}$}\n\\psTdC{I_{E1}}{$I_\\mathrm{E1}$}\\psTdC{I_{E2}}{$I_\\mathrm{E2}$}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-010-knoten_und_schnittmengengleichungen-3: Knoten und Schnittmengengleichungen 3](assets/et1-01-010-knoten_und_schnittmengengleichungen-3/01-Knoten_und_Schnittmengengleichungen_3.png)\n\n}",
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    "solution_path": "\\mpBR{8.5cm}{\nSchnittmengengleichung: \n\\[\nI_\\mathrm{E1} = I_{1} + I_{2} - I_\\mathrm{E2}\n\\]\n\n}{\n\n\\psMsL{I_1}\\psMsR{I_2}\n\\psMsL{I_{C1}}\\psMsL{I_B}\n\\psMsC{I_{E1}}\\psMsC{I_{E2}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-010-knoten_und_schnittmengengleichungen-3: Knoten und Schnittmengengleichungen 3 w](assets/et1-01-010-knoten_und_schnittmengengleichungen-3/02-Knoten_und_Schnittmengengleichungen_3_w.png)\n\n}",
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      "chunk_id": "get-2425-v007-c03",
      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 4",
      "heading": "Anwendungsbeispiel: Transistorschaltung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s",
      "content": "Der Knotensatz wird an einer einfachen Transistorschaltung demonstriert \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=758s}{[12:38]}. Der Transistor selbst kann als eine Schnittmenge betrachtet werden. In ihn fließen der Basisstrom $I_B$ und der Kollektorstrom $I_C$ hinein, während der Emitterstrom $I_E$ herausfließt. Die Anwendung des Knotensatzes ergibt:\n\\begin{equation*}\n\tI_B + I_C - I_E = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad I_E = I_B + I_C\n\\end{equation*}\nDiese fundamentale Beziehung gilt, obwohl das genaue Verhalten des Bauelements noch nicht bekannt ist \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=968s}{[16:08]}."
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      "chunk_id": "get-2425-v007-c02",
      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 4",
      "heading": "Ladungserhaltung und der Knotensatz",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s",
      "content": "In stationären Systemen, wie sie in diesem Semester vorwiegend betrachtet werden, gilt die Ladungserhaltung. Das bedeutet, die Ladungsmenge Q innerhalb eines Volumens ist konstant ($Q = const.$) \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=227s}{[03:47]}. Daraus folgt, dass die zeitliche Ableitung der Ladung null ist:\n\\begin{equation*}\n\t\\frac{dQ}{dt} = 0\n\\end{equation*}\nSetzt man dies in die Kontinuitätsgleichung ein, ergibt sich, dass der zufließende Strom gleich dem abfließenden Strom sein muss: $I_{zu} = I_{ab}$ \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=269s}{[04:29]}.\n\nDiese Betrachtung lässt sich verallgemeinern. Statt nur eines Zu- und Abflusses kann man eine Hülle mit beliebig vielen Strömen $I_k$ betrachten. Für einen unendlich klein gedachten Punkt in einem Netzwerk, einen sogenannten Knoten, besagt der Knotensatz, dass die Summe aller Ströme, die in diesen Knoten hinein- oder aus ihm herausfließen, null sein muss \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=457s}{[07:37]}. Dies ist auch als das 1. Kirchhoffsche Gesetz bekannt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=589s}{[09:49]}.\n\\begin{equation*}\n\t\\sum_{k=1}^{n} I_k = 0\n\\end{equation*}\nDabei gilt die Konvention: Zufließende Ströme werden positiv und abfließende Ströme negativ gezählt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=550s}{[09:10]}. Für einen beispielhaften Knoten K mit vier Strömen, bei dem $I_1$ und $I_4$ zufließen und $I_2$ und $I_3$ abfließen, lautet die Gleichung:\n\\begin{equation*}\n\tI_1 - I_2 - I_3 + I_4 = 0\n\\end{equation*}"
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