skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.14.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "1.14",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Knoten- und  Maschengleichungen",
    "question": "\\mpBR{7.15cm}{\nGegeben ist der nebenstehende Ausschnitt aus einem elektrischen Netzwerk.\n\n- Wählen Sie für die nicht bezeichneten Zweig\\-strö\\-me Richtung und Namen \nund stellen Sie für die Knoten \\klemme{A} bis \\klemme{E} die Knotengleichungen auf.\n\n- Stellen Sie die Maschengleichung auf. \n\nÄndert sich die Maschengleichung, wenn der Widerstand $R_1$ durch einen anderen Zweipol, z.~B. durch eine Diode ersetzt wird?\n\n}\n{\n\n\\psMsL{I_1}\\psMsR{I_2}\\psMsC{I_3}\\psMsR{I_4}\\psMsL{I_5}\n\\psMsR{U_2}\\psTdR{U_q2}{$U_\\mathrm{q2}$}\n\\psTdC{U_{q4}}{$U_\\mathrm{q4}$}\\psTdC{U_{q2}2}{$U_\\mathrm{q2}$}\\psMsC{U_1}\\psMsC{R_1}\n\\psMsC{U_3}\\psTdC{U_{q3}}{$U_\\mathrm{q3}$}\\psMsC{U_4}\n\\psTdR{U_D}{$U_\\mathrm{D}$}\\psMsR{U_5}\n\\psTdC{A}{\\klemme{A}}\\psTdC{B}{\\klemme{B}}\\psTdC{C}{\\klemme{C}}\n\\psTdC{D}{\\klemme{D}}\\psTdC{E}{\\klemme{E}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-014-knoten_und_maschengleichungen-2: Knoten und Maschengleichungen 2](assets/et1-01-014-knoten_und_maschengleichungen-2/01-Knoten_und_Maschengleichungen_2.png)\n\n}",
    "short_solution": "",
    "solution_path": "- In Übereinstimmung mit der $U$-$I$-Relation des ohmschen Widerstandes sind die Zweigströme zweckmäßig in Richtung der Spannungsabfälle $U_{1}$, $U_{2}$, $U_{3}$ und $U_{5}$ einzuführen. \n\n\\mpBR{7cm}{\n\\begin{tabular}{ll}\nKnoten A: & $I_{1}-I_{R2}-I_{R3} = 0$ \n\nKnoten B: & $I_{2}+I_{R3}+I_{D~} = 0$ \n\nKnoten C: & $I_{3}+I_{R5}-I_{D~} = 0$ \n\nKnoten D: & $I_{4}+I_{R1}-I_{R5} = 0$ \n\nKnoten E: & $I_{5}+I_{R2}-I_{R1} = 0$ \n\n\\end{tabular}\n}{\n\n\\psMsL{I_1}\\psMsR{I_2}\\psMsC{I_3}\\psMsR{I_4}\\psMsL{I_5}\n\\psMsC{I_{R1}}\\psMsC{I_{R3}}\\psMsL{I_{R2}}\\psMsR{I_{R5}}\\psMsR{I_D}\n\\psTdC{A}{\\klemme{A}}\\psTdC{B}{\\klemme{B}}\\psTdC{C}{\\klemme{C}}\n\\psTdC{D}{\\klemme{D}}\\psTdC{E}{\\klemme{E}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-014-knoten_und_maschengleichungen-2: Knoten und Maschengleichungen 2 w1](assets/et1-01-014-knoten_und_maschengleichungen-2/02-Knoten_und_Maschengleichungen_2_w1.png)\n\n}\n\n- $U_{q2} + U_{2} + U_{q2} - U_{q4} + U_{1} + U_{5} + U_{D} - U_{4} - U_{q3} - U_{3} = 0$\n\nKeine formelmäßige Änderung bei Ersatz von $R_1$ durch ein anderes Bauelement.",
    "figures": [
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        "role": "loesungsweg",
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        "conversion_status": "converted",
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  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v007-c02",
      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 4",
      "heading": "Ladungserhaltung und der Knotensatz",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s",
      "content": "In stationären Systemen, wie sie in diesem Semester vorwiegend betrachtet werden, gilt die Ladungserhaltung. Das bedeutet, die Ladungsmenge Q innerhalb eines Volumens ist konstant ($Q = const.$) \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=227s}{[03:47]}. Daraus folgt, dass die zeitliche Ableitung der Ladung null ist:\n\\begin{equation*}\n\t\\frac{dQ}{dt} = 0\n\\end{equation*}\nSetzt man dies in die Kontinuitätsgleichung ein, ergibt sich, dass der zufließende Strom gleich dem abfließenden Strom sein muss: $I_{zu} = I_{ab}$ \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=269s}{[04:29]}.\n\nDiese Betrachtung lässt sich verallgemeinern. Statt nur eines Zu- und Abflusses kann man eine Hülle mit beliebig vielen Strömen $I_k$ betrachten. Für einen unendlich klein gedachten Punkt in einem Netzwerk, einen sogenannten Knoten, besagt der Knotensatz, dass die Summe aller Ströme, die in diesen Knoten hinein- oder aus ihm herausfließen, null sein muss \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=457s}{[07:37]}. Dies ist auch als das 1. Kirchhoffsche Gesetz bekannt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=589s}{[09:49]}.\n\\begin{equation*}\n\t\\sum_{k=1}^{n} I_k = 0\n\\end{equation*}\nDabei gilt die Konvention: Zufließende Ströme werden positiv und abfließende Ströme negativ gezählt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=550s}{[09:10]}. Für einen beispielhaften Knoten K mit vier Strömen, bei dem $I_1$ und $I_4$ zufließen und $I_2$ und $I_3$ abfließen, lautet die Gleichung:\n\\begin{equation*}\n\tI_1 - I_2 - I_3 + I_4 = 0\n\\end{equation*}"
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v009-c03",
      "lecture_chapter": "1.3",
      "video_title": "Kap. 1.3 Elektrische Spannung - Teil 2",
      "heading": "Allgemeine Formulierung des Maschensatzes",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=8o95G_-hbtE",
      "content": "Beim Umlauf in einer Masche ist die Summe aller Spannungen null. Der Umlaufsinn wird willkürlich festgelegt (z.B. im Uhrzeigersinn).\n\\[ \\sum_{k} U_k = 0 \\]\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=8o95G_-hbtE&t=685s}{[00:11:25]}\n\nSpannungen, deren Zählpfeile in Richtung des Umlaufsinns zeigen, gehen positiv in die Summe ein. Spannungen, deren Zählpfeile entgegen der Richtung des Umlaufsinns zeigen, gehen negativ in die Summe ein. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=8o95G_-hbtE&t=785s}{[00:13:05]}"
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