skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.2.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "1.2",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Auswertung eines Oszilloskopbildes",
    "question": "Das Bild zeigt die oszilloskopische Aufnahme eines periodischen Spannungssignals (Periodendauer $T$) an einem $50\\Omega$ Messwiderstand.\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-002-auswertung_eines_oszilloskopbildes-1: Auswertung eines Oszilloskopbildes 1](assets/et1-01-002-auswertung_eines_oszilloskopbildes-1/01-Auswertung_eines_Oszilloskopbildes_1.png)\n\n- Geben Sie eine formelmäßige Darstellung für $Y(X)$ an.\nFür eine zweckmäßige Darstellung kann der Koordinatenursprung horizontal verschoben werden.\n\n- Überführen Sie die Funktion $Y(X)$ in die Darstellung $U(t)$. Geben Sie die zugeschnittene Größengleichung in der Form $U/\\mathrm{V}= f(t/\\mathrm{\\mu s})$ an.\n\n- Welche Ladung $Q_T$ wird während einer Periode durch den Widerstand transportiert?\n\n- Überprüfen Sie das Ergebnis von c) näherungsweise durch Auszählen der Fläche im Bild.",
    "short_solution": "[1]\n\n- $U(t)/\\mathrm{V}=\\begin{cases} \n4-100(t/\\mathrm{\\mu s})^2 & \\text{f\"ur} -0,2 \\leq t/\\!\\mathrm{\\mu s} < 0,2\n\n0 & \\text{f\"ur} 0,2 \\leq t/\\!\\mathrm{\\mu s} < 0,4 \\end{cases}$\n\n$U(t)/\\mathrm{V}=U(t\\pm n\\cdot T)/\\mathrm{V}, T=0,6\\mathrm{\\mu s}, n \\in \\N$\n\n- $Q_T = 21,3\\nAs$",
    "solution_path": "- Es ist zweckmäßig, den Scheitelpunkt der Parabel auf $X = 0$ zu legen:\n\\begin{align*}\nY &= A_0 + A_1 \\cdot X + A_2 \\cdot X^2 , \\text{mit} A_1 = 0 \\text{folgt}\n\nY &= A_0 + A_2 \\cdot X^2\n\\end{align*}\n\nZur Bestimmung der Koeffizienten $A_0$ und $A_2$ werden zwei Parabelpunkte benötigt. Zweck\\-mäßig wählt man\n\\begin{align*}\nX = 0\\mathrm{cm},\\; Y=4\\mathrm{cm} & \\to Y(0\\mathrm{cm}) = A_{0} = 4\\mathrm{cm} \n\nX = 2\\mathrm{cm},\\; Y=0\\mathrm{cm} & \\to Y(2\\mathrm{cm}) = 4\\mathrm{cm} + A_2 \\cdot (2\\mathrm{cm})^2 = 0\\mathrm{cm} \n\n& \\to A_2 = -1 \\mathrm{cm}^{-1}\n\\end{align*}\nDaraus folgt für die Funktionsgleichung\n\\begin{gather*}\nY(X) = \\begin{cases}\n4\\mathrm{cm} - X^2 \\cdot 1\\mathrm{cm}^{-1}& -2\\mathrm{cm} \\le X < 2\\mathrm{cm}\t\n\n0\\mathrm{cm} & 2\\mathrm{cm} \\le X < 4\\mathrm{cm}\n\\end{cases}\n\nY(X) = Y(X+n\\cdot 6\\mathrm{cm}), n\\in \\Z \\text{(periodische Fortsetzung)}\n\\end{gather*}\nbzw. normiert\n\\begin{gather*}\n\\frac{Y}{\\mathrm{cm}} = \\begin{cases}\n4 - (\\frac{X}{\\mathrm{cm}})^2\t& -2 \\le \\frac{X}{\\mathrm{cm}} < 2\t\n\n0 & 2 \\le \\frac{X}{\\mathrm{cm}} < 4\n\\end{cases}\n\n\\dfrac{Y}{\\mathrm{cm}}\\left( \\dfrac{X}{\\mathrm{cm}}\\right) = \\dfrac{Y}{\\mathrm{cm}}\\left( \\dfrac{X}{\\mathrm{cm}}+6n\\right) , n\\in \\Z \n\\end{gather*}\n\n- Aus dem Maßstäben des Oszilloskop ist ersichtlich, dass \n\\begin{gather*}\n\\frac{X}{1\\mathrm{cm}} = \\frac{t}{100\\ns} = \\frac{t}{0,1\\mathrm{\\mu s}} = 10 \\frac{t}{\\mathrm{\\mu s}} \\text{und} \\frac{Y}{1\\mathrm{cm}} = \\frac{U}{1\\mathrm{V}} \\text{ist}. \n\\end{gather*}\n\nWerden diese Beziehungen in die unter a) ermittelte Funktionsgleichung eingetragen, entstehen die Gleichungen\n\n\\begin{align*}\nU/\\dV &= \\begin{cases}\n4 - 100\\cdot( t/\\!\\mathrm{\\mu s})^2\n& -0,2 \\le t/\\!\\mathrm{\\mu s} < 0,2 \n\n0 & 0,2 \\le t/\\!\\mathrm{\\mu s} < 0,4 \n\n\\end{cases} \n\nU/\\dV &= U/\\dV(t/\\!\\mathrm{\\mu s} + n\\cdot 0,6) , n \\in \\Z\n\n\\left.\\frac{U}{\\mathrm{V}}\\right|_{\\frac{t}{\\mathrm{\\mu s}}} &= \\left.\\frac{U}{\\mathrm{V}}\\right|_{\\frac{t}{\\mathrm{\\mu s}}+n \\cdot 0,6}\n\\end{align*}\n\n- ~\n\\begin{eqnarray}\nI(t) & = & \\frac{U(t)}{R} = 80\\mathrm{mA} - 2 \\frac{\\mathrm{A}}{\\mathrm{\\mu s}^2} \\cdot t^2 \n\nQ_T & = & \\int\\limits_{-T/2}^{T/2} I({t})\\,\\mathrm{d}{t} = \\int\\limits_{-t_1}^{t_1} \\left( 80\\mathrm{mA} - 2 \\frac{\\mathrm{A}}{\\mathrm{\\mu s}^2} \\cdot {t}^2\\right)\\,\\mathrm{d}{t} mit \\; t_1 = 0,2\\mathrm{\\mu s} \n\n& = & \\left[ 80\\mathrm{mA} \\cdot {t} - \\frac{2 \\mathrm{A}}{3\\mathrm{\\mu s}^2} \\cdot {t}^3 \\right]_{-0,2\\mathrm{\\mu s}}^{0,2\\mathrm{\\mu s}} \n\n& = & 0,4\\mathrm{\\mu s} \\cdot 80\\mathrm{mA} - \\frac{4}{3} \\cdot 0,2^3\\mathrm{A} \\cdot \\mathrm{\\mu s} = 0,0213 \\mathrm{\\mu A}\\!\\mathrm{s} \n\n& = & 21,3\\nAs \n\\end{eqnarray}\n\n- { Probe:} Es lassen sich ca.\\ 10 Quadrate auszählen. Damit ergibt sich\n\\[\nQ_T = 10 \\cdot Q_S = 10 \\cdot \\frac{(1\\mathrm{V} \\cdot 100\\ns)}{50\\Omega} = 10 \\cdot (20\\mathrm{mA} \\cdot 100\\ns) = 20\\nAs.\n\\]\n\n1 Quadrat: $Q_S = 20\\mathrm{mA} \\cdot 100\\ns = 2\\nAs$\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-002-auswertung_eines_oszilloskopbildes-1: Auswertung eines Oszilloskopbildes 1 w2](assets/et1-01-002-auswertung_eines_oszilloskopbildes-1/02-Auswertung_eines_Oszilloskopbildes_1_w2.png)",
    "figures": [
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      "video_title": "Kap. 1.5 Periodische Zeitfunktionen",
      "heading": "Periodische Zeitfunktionen",
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      "content": "\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=149s}{[00:02:29]} Eine periodische Zeitfunktion ist eine Wiederholung des Verlaufs in konstanten Zeitintervallen.\n$x(t) = x(t + kT)$, $k \\in \\mathbb{Z}$\n\n\\subsubsection*{Kenngrößen}\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=221s}{[00:03:41]} Momentanwert: $x(t)$\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=242s}{[00:04:02]} Spitzenwert (Amplitude): $\\hat{x}$\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=252s}{[00:04:12]} Periodendauer: $T$\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=267s}{[00:04:27]} Frequenz: $f = 1/T$\n\\end{itemize}"
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      "chunk_id": "get-2425-v012-c03",
      "lecture_chapter": "1.5",
      "video_title": "Kap. 1.5 Periodische Zeitfunktionen",
      "heading": "Weitere Kenngrößen",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk",
      "content": "\\subsubsection*{Arithmetischer Mittelwert (Gleichwert)}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=317s}{[00:05:17]} Der arithmetische Mittelwert, auch Gleichwert genannt, wird wie folgt berechnet:\n$\\bar{x} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} x(t) dt$\n\n\\subsubsection*{Gleichrichtwert}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=463s}{[00:07:43]} Der Gleichrichtwert ist der Mittelwert des Betrags der Funktion:\n$\\overline{|x|} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} |x(t)| dt$\n\n\\subsubsection*{Effektivwert (Quadratischer Mittelwert)}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=563s}{[00:09:23]} Der Effektivwert eines Stromes (oder einer Spannung) entspricht dem Wert eines Gleichstroms (oder einer Gleichspannung), der an einem ohmschen Widerstand die gleiche mittlere Leistung umsetzt wie die zeitveränderliche Größe.\n$U = \\sqrt{\\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} u^2(t) dt}$\n$I = \\sqrt{\\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} i^2(t) dt}$\n\n\\subsubsection*{Leistung}\n$P = \\overline{p(t)} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} p(t) dt = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} i^2(t)R dt = I^2R$\n$P = \\overline{p(t)} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} p(t) dt = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} \\frac{u^2(t)}{R} dt = \\frac{U^2}{R}$"
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