skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.23.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "1.23",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Leistung, Energie",
    "question": "An einer Spannungsquelle $U_\\mathrm{q}>0$ wird der im Bild angegebene Stromverlauf gemessen. \n\n\\mpBR{6cm}{\\item Zeichnen Sie die Polarität der Spannungsquelle ein.\n\n- Berechnen Sie den Zeitverlauf der Leistung\n$P(t)$ für die Zeitintervalle $0\\leq t <t_1$ und $t_1\\leq t< t_2$\nund stellen Sie ihn für die Größenwerte $U_\\mathrm{q} = 12 \\mathrm{V}$, $I_0 = 2\n\\mathrm{A}$, $t_1 = 60 \\min$, $t_2 = 90 \\min$ maßstäblich grafisch dar.\n} {\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-023-leistung_energie-1: Leistung Energie 1](assets/et1-01-023-leistung_energie-1/01-Leistung_Energie_1.png)\n\n}\n\n- Berechnen Sie den Zeitverlauf der transportierten Energie\n$W(t)$ für die Zeitintervalle $0\\leq t<t_1$ und $t_1\\leq t< t_2$\nund stellen Sie ihn für die bei b) gegebenen Größenwerte\nmaßstäblich grafisch dar $(W(0)=0)$.\n\n- Wann nimmt die Spannungsquelle elektrische Energie auf und\nwann gibt sie elektrische Energie ab?",
    "short_solution": "[1]\n\n- $P(t)=U_\\mathrm{q}I(t)$\n\n\\begin{tabular}[t]{p{9em}p{18em}}\n$0 \\leq t < t_1$: & $I(t)=I_0-2I_0t/t_1$\n\n$t_1 \\leq t < t_2$: & $I(t)=-I_0$\n\n\\end{tabular}\n\n- \\begin{tabular}[t]{p{9em}p{18em}}\n$0 \\leq t < t_1$: & $W(t)=U_\\mathrm{q}I_0t(1-t/t_1)$\n\n$t_1 \\leq t < t_2$: & $W(t)=-U_\\mathrm{q}I_0(t-t_1)$\n\\end{tabular}\n\n\\begin{tabular}{p{9em}p{18em}}\n$0 \\min \\leq t < 60\\min$: & $W(t)=24(t/ \\dmin)\\left(1-\\dfrac{t/\\dmin}{60}\\right)\\mathrm{W} \\min$\n\n$60 \\min \\leq t < 90\\min$: & $W(t)=-24[(t/\\dmin)-60]\\mathrm{W}\\min$\n\\end{tabular}",
    "solution_path": "\\noindent\n\n- ~\n\n\\begin{normalsize}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-023-leistung_energie-1: Leistung Energie 1 w1](assets/et1-01-023-leistung_energie-1/02-Leistung_Energie_1_w1.png)\n\n\\end{normalsize}\n\nb), c) \n\n\\[ P(t)=U_\\mathrm{q} I(t)\n\\]\n\\[ W(t) =W(t_0)+\\int\\limits_{t_0}^t P(t')\\,\\mathrm{d}t'\n\\]\n\n$\\underline{0 \\leq t \\le t_1}$:\n\\[ I(t) = I_0 - \\frac{2 I_0}{t_1}t = I_0\\left(1-2\\frac{t}{t_1}\\right)\n\\]\n\\[ P(t)=U_\\mathrm{q}I_0\\left(1-2\\frac{t}{t_1}\\right)=24\\mathrm{W} \\left(1-2\\frac{t}{\\mathrm{h}} \\right) \n\\]\n\\[ W(t)=0+U_\\mathrm{q}I_0 \\int\\limits_{0}^t\\left(1-2\\frac{t'}{t_1}\\right)\\mathrm{d}t'=U_\\mathrm{q}I_0\\left(t-\\frac{t^2}{t_1} \\right) \n\\]\n\\[\\underline{W(t)=U_\\mathrm{q}I_0 t\\left(1-\\frac{t}{t_1}\\right) = 24\\Wh \\frac{t}{\\mathrm{h}} \\left(1-\\frac{t}{\\mathrm{h}} \\right) }\n\\]\n\\[ W(t_1)=U_\\mathrm{q}I_0 t_1\\left(1-1\\right) =0\n\\]\n\n$\\underline{t_1 \\leq t \\le t_2}$:\n\\[ I(t) = -I_0 \\Rightarrow P(t)=-U_\\mathrm{q}I_0 = -24\\mathrm{W}\n\\]\n\\[ W(t)= 0+ \\int\\limits_{t_1}^t (-U_\\mathrm{q}I_0)\\mathrm{d}t'=-U_\\mathrm{q}I_0(t-t_1)\n\\]\n\\[ \\underline{W(t)= U_\\mathrm{q}I_0 t_1 \\left(1-\\frac{t}{t_1}\\right)=24\\Wh\\left(1-\\frac{t}{\\mathrm{h}} \\right) }\n\\]\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-023-leistung_energie-1: Leistung Energie 1 w2](assets/et1-01-023-leistung_energie-1/03-Leistung_Energie_1_w2.png)\n\nd)\n\nEnergieabgabe: $P>0 \\Rightarrow 0 < t < 0,5\\mathrm{h}$\n\nEnergieaufnahme: $P<0 \\Rightarrow 0,5\\mathrm{h} < t \\leq 1,5\\mathrm{h}$",
    "figures": [
      {
        "id": "et1-01-023-leistung_energie-1-fig-01",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "Leistung_Energie_1",
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        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-023-leistung_energie-1: Leistung Energie 1"
      },
      {
        "id": "et1-01-023-leistung_energie-1-fig-02",
        "role": "loesungsweg",
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        "source_asset": "1-Grundbegriffe/bilder/Leistung_Energie_1_w1.eps",
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        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-023-leistung_energie-1: Leistung Energie 1 w1"
      },
      {
        "id": "et1-01-023-leistung_energie-1-fig-03",
        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "Leistung_Energie_1_w2",
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  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v011-c01",
      "lecture_chapter": "1.4",
      "video_title": "Kap. 1.4 Energie und Leistung - Teil 2",
      "heading": "Elektrische Leistung und Energie",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=ZjHEbkvaVtQ",
      "content": "Die elektrische Leistung P ist definiert als das Produkt aus Spannung U und Stromstärke I:\n\\begin{equation*}\n\tP = U \\cdot I\n\\end{equation*}\nDie elektrische Energie W berechnet sich aus dem Integral der Leistung über die Zeit:\n\\begin{equation*}\n\tW(t) = \\int_{t_0}^{t} P(t') dt' = \\int_{t_0}^{t} U(t') \\cdot I(t') dt'\n\\end{equation*}"
    }
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