skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.24.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "1.24",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Akkumulator, Strom, Energie",
    "question": "An einem Akkumulator (Nennspannung $ 12 \\mathrm{V} $, Nennkapazität $ 56 \\Ah $) wird der folgende Stromverlauf gemessen:\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1: Akkumulator Strom Energie 1](assets/et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1/01-Akkumulator_Strom_Energie_1.png)\n\n- Welche Energie kann in diesem Akkumulator gespeichert werden?\n\n- Zum Zeitpunkt $ t = 0 $ sei noch ein Viertel der maximal speicherbaren Energie nach a)\nim Akkumulator vorhanden. Zeichnen Sie maßstäblich die Verläufe der gespeicherten Energie $W(t)$\nund der zum Zeitpunkt $ t $ im Akku gespeicherten Ladung $ Q(t) $.\n\n- Kennzeichnen Sie in den Diagrammen die Zeitbereiche, in denen der Akku geladen bzw. entladen wird.\n\n- Wie sind die Anschlüsse des Akkus beim Laden mit denen des Ladegerätes zu verbinden?",
    "short_solution": "a) $ W_\\mathrm{nenn}=672\\Wh$; \\: b) $W(10,5\\mathrm{h})=288\\Wh $",
    "solution_path": "- $ W_\\mathrm{nenn} = Q_\\mathrm{nenn} \\cdot U = 56 \\Ah \\cdot 12 \\mathrm{V} = 672 \\Wh = 2,42 \\MW\\ds$, \n\n- Die Spannung ist konstant, der Strom ist stückweise konstant.\n\n$ I(t)=\\begin{cases}\nI_1 \\text{für } 0 \\leq t < t_1 \n\nI_2 \\text{für } t_1 \\leq t < t_2\\, , \n\nI_3 \\text{für } t_2 \\leq t < t_3\\, , \n\nI_4 \\text{für } t_3 \\leq t \n\n\\end{cases} $\n\nmit $I_1=5\\mathrm{A}$, $I_2=0$, $I_3=-20\\mathrm{A}$, $I_4=0\\mathrm{A}$, $t_1=8\\mathrm{h}$, $t_2=9\\mathrm{h}$, $t_3=10,5\\mathrm{h}$.\n\n$U=12\\mathrm{V}$\n\n$ W(t) = W(t_0) + \\int\\limits_{t_0}^t U(t') \\cdot I(t') \\,\\mathrm{d}t' = W(t_0) + UI \\int\\limits_{t_0}^t \\mathrm{d}t'$ für $U,I=\\mathrm{konst.}$\n\n$W(t)=W(t_0)+UI(t-t_0)$\n\nfür $U=\\mathrm{const.}$:\n\n$ Q(t)=\\dfrac{1}{U}W(t)$\n\n$ W(0) = 25\\;\\%\\cdot W_\\mathrm{nenn}=168 \\Wh$\n\n$ Q(0) = 25\\;\\%\\cdot Q_\\mathrm{nenn} = 14 \\Ah$\n\n\\begin{align*}\nW(t)=\\begin{cases}\nW(0)+U I_1 t=168\\Wh + 60\\mathrm{W} \\cdot t & \\text{für } 0 \\leq t < t_1 \n\nW(t_1)+U I_2 (t-t_1)=168\\Wh + 60\\mathrm{W} \\cdot 8\\mathrm{h} + 0 & \n= 648 \\Wh & \\text{für } t_1 \\leq t < t_2\\, , \n\nW(t_2)+U I_3 (t-t_2)=648\\Wh - 240\\mathrm{W}\\cdot(t-9\\mathrm{h}) & \n= 2808\\Wh-240\\mathrm{W}\\cdot t & \\text{für } t_2 \\leq t <t_3 \\, ,\n\nW(t_3)+U I_4 (t-t_3)=2808\\Wh - 240\\mathrm{W}\\cdot 10,5\\mathrm{h} & \n= 288\\Wh& \\text{für } t_3 \\leq t \n\\end{cases} \n\\end{align*}\n\n\\begin{align*}\nQ(t)=\\dfrac{1}{U}W(t)\\begin{cases}\n14\\Ah + 5\\mathrm{A} \\cdot t & \\text{für } 0 \\leq t < t_1 \n\n54\\Ah & \\text{für } t_1 \\leq t < t_2\\, , \n\n234\\Ah-20\\mathrm{A}\\cdot t & \\text{für } t_2 \\leq t < t_3 \\, ,\n\n24\\Ah & \\text{für } t_3 \\leq t \n\\end{cases} \n\\end{align*}\n\n- ~\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1: Akkumulator Strom Energie 1 w1](assets/et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1/02-Akkumulator_Strom_Energie_1_w1.png)\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1: Akkumulator Strom Energie 1 w2](assets/et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1/03-Akkumulator_Strom_Energie_1_w2.png)\n\n- ~\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1: Akkumulator Strom Energie 1 w3](assets/et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1/04-Akkumulator_Strom_Energie_1_w3.png)",
    "figures": [
      {
        "id": "et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1-fig-01",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "Akkumulator_Strom_Energie_1",
        "source_asset": "1-Grundbegriffe/bilder/Akkumulator_Strom_Energie_1.eps",
        "asset": "assets/et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1/01-Akkumulator_Strom_Energie_1.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1: Akkumulator Strom Energie 1"
      },
      {
        "id": "et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1-fig-02",
        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "Akkumulator_Strom_Energie_1_w1",
        "source_asset": "1-Grundbegriffe/bilder/Akkumulator_Strom_Energie_1_w1.eps",
        "asset": "assets/et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1/02-Akkumulator_Strom_Energie_1_w1.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1: Akkumulator Strom Energie 1 w1"
      },
      {
        "id": "et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1-fig-03",
        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "Akkumulator_Strom_Energie_1_w2",
        "source_asset": "1-Grundbegriffe/bilder/Akkumulator_Strom_Energie_1_w2.eps",
        "asset": "assets/et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1/03-Akkumulator_Strom_Energie_1_w2.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1: Akkumulator Strom Energie 1 w2"
      },
      {
        "id": "et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1-fig-04",
        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "Akkumulator_Strom_Energie_1_w3",
        "source_asset": "1-Grundbegriffe/bilder/Akkumulator_Strom_Energie_1_w3.eps",
        "asset": "assets/et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1/04-Akkumulator_Strom_Energie_1_w3.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-024-akkumulator_strom_energie-1: Akkumulator Strom Energie 1 w3"
      }
    ]
  },
  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v006-c01",
      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 3",
      "heading": "Herleitung der Grundformel",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw",
      "content": "Ausgangspunkt ist die bekannte Definition der \\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=61s}{Stromstärke als zeitliche Änderung der Ladung}:\n\\[\nI(t) = \\frac{dQ}{dt}\n\\]\nUm nun die Ladung aus dem Strom zu berechnen, wird diese Gleichung umgeformt. Dies führt zu einer \\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=120s}{infinitesimalen Betrachtung}, bei der die Ladungsänderung dQ in einem unendlich kurzen Zeitintervall dt betrachtet wird:\n\\[\ndQ = I(t) \\cdot dt\n\\]\nUm die gesamte transportierte Ladung in einem Zeitintervall von einem Startzeitpunkt $t_0$ bis zu einem Endzeitpunkt $t$ zu erhalten, müssen die infinitesimalen Ladungsänderungen aufsummiert werden, was durch \\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=205s}{Integration} geschieht:\n\\[\n\\int_{Q(t_0)}^{Q(t)} dQ' = \\int_{t_0}^{t} I(t') dt'\n\\]\nDie Auswertung des linken Integrals ergibt $Q(t) - Q(t_0)$. Durch Umstellen erhält man die \\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=294s}{zentrale Formel} zur Berechnung der Ladung:\n\\[\nQ(t) = Q(t_0) + \\int_{t_0}^{t} I(t') dt'\n\\]\nHierbei ist:\n\\begin{itemize}\n\t\\item $Q(t)$: Die gesamte Ladung, die bis zum Zeitpunkt $t$ transportiert wurde.\n\t\\item $Q(t_0)$: Die Anfangsladung, die bereits bis zum Zeitpunkt $t_0$ transportiert wurde.\n\t\\item $\\int_{t_0}^{t} I(t') dt'$: Die Ladung, die zusätzlich im Zeitintervall von $t_0$ bis $t$ transportiert wird. Grafisch entspricht dieser Term der \\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=367s}{Fläche unter der Strom-Zeit-Kurve} im Intervall $[t_0, t]$.\n\\end{itemize}"
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v011-c01",
      "lecture_chapter": "1.4",
      "video_title": "Kap. 1.4 Energie und Leistung - Teil 2",
      "heading": "Elektrische Leistung und Energie",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=ZjHEbkvaVtQ",
      "content": "Die elektrische Leistung P ist definiert als das Produkt aus Spannung U und Stromstärke I:\n\\begin{equation*}\n\tP = U \\cdot I\n\\end{equation*}\nDie elektrische Energie W berechnet sich aus dem Integral der Leistung über die Zeit:\n\\begin{equation*}\n\tW(t) = \\int_{t_0}^{t} P(t') dt' = \\int_{t_0}^{t} U(t') \\cdot I(t') dt'\n\\end{equation*}"
    }
  ]
}