skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.27.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "1.27",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Energie eines Blitzes",
    "question": "Die angegebenen Bilder zeigen näherungsweise den Strom- und den Spannungsverlauf\nbei einem Gewitterblitz. Alle Nullstellen der kubischen Parabel $I(t)$ und der Parabel vierter Ordnung $U(t)$ sind reell und liegen bei $t=t_1$.\n\n- Berechnen Sie die insgesamt zur Erde transportierte Ladung $Q$.\n\n- Welche Energie wird bei diesem Entladevorgang umgesetzt?\n\n- Wie lange könnte eine $2 \\MW$-Elektrolok mit dieser Energie fahren, wenn es gelänge, die Energie zu $100~\\%$ nutzbar zu machen?\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-027-energie_eines_blitzes-1: Energie eines Blitzes 1](assets/et1-01-027-energie_eines_blitzes-1/01-Energie_eines_Blitzes_1.png)",
    "short_solution": "a) $Q=\\dfrac{I_0 t_1}{4}=-2,5\\mathrm{A\\,s}$ \\:\\: b) $W= \\dfrac{U_0 I_0 t_1}{8}=500\\MWs$ \\:\\: c)\n$t_{\\text{Lok}}=250\\mathrm{s}$",
    "solution_path": "\\noindent\n\n- Ansatz für $I(t)$: $I(t) = k_\\mathrm{I}\\left(t-t_1\\right)^3$ mit $I(0)=-k_\\mathrm{I} t_1^3=I_0 \\rightarrow k_\\mathrm{I}=-\\dfrac{I_0}{t_1^3}$\n\n$I(t)=-\\dfrac{I_0}{t_1^3}\\left(t-t_1\\right)^3 = I_0 \\left(1-\\dfrac{t}{t_1}\\right)^3$\n\nTransportierte Ladung bis $t_1$:\n\n$ Q=\\int\\limits_{0}^{t_1}I_0\\left(1-\\dfrac{t}{t_1}\\right)^3 \\mathrm{d}t = I_0 \\dfrac{1}{4}(-t_1)\\left. \\left(1-\\dfrac{t}{t_1}\\right)^4\\right|_0^{t_1}=\\dfrac{I_0 t_1}{4}=-2,5\\mathrm{A\\,s} $\n\n- Ansatz für $U(t)$: $U(t)=k_\\mathrm{U}\\left(t-t_1\\right)^4$ mit $U(0)=k_\\mathrm{U} t_1^4 = U_0 \\rightarrow k_\\mathrm{U} = \\dfrac{U_0}{t_1^4}$\n\n$U(t)=\\dfrac{U_0}{t_1^4}\\left(t-t_1\\right)^4=U_0\\left(1-\\dfrac{t}{t_1}\\right)^4 $\n\nUmgesetzte Gesamtenergie:\n\n$ W=\\int\\limits_{0}^{t_1}U(t)I(t)\\mathrm{d}t = U_0 I_0 \\int\\limits_{0}^{t_1}\\left(1-\\dfrac{t}{t_1}\\right)^7\\mathrm{d}t = U_0 I_0 \\dfrac{1}{8}(-t_1) \\left. \\left(1-\\dfrac{t}{t_1}\\right)^8 \\right|_0^{t_1} = \\dfrac{U_0 I_0 t_1}{8}$\n\n$W=500\\MWs = 139\\kWh$\n\n- $t_\\mathrm{Lok}=\\dfrac{W}{P_\\mathrm{Lok}}=\\dfrac{500\\cdot 10^6\\mathrm{W\\,s}}{2\\cdot 10^6\\mathrm{W}}=250\\mathrm{s} = 4\\min+10\\mathrm{s}$",
    "figures": [
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        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "Energie_eines_Blitzes_1",
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      "lecture_chapter": "1.4",
      "video_title": "Kap. 1.4 Energie und Leistung - Teil 2",
      "heading": "Elektrische Leistung und Energie",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=ZjHEbkvaVtQ",
      "content": "Die elektrische Leistung P ist definiert als das Produkt aus Spannung U und Stromstärke I:\n\\begin{equation*}\n\tP = U \\cdot I\n\\end{equation*}\nDie elektrische Energie W berechnet sich aus dem Integral der Leistung über die Zeit:\n\\begin{equation*}\n\tW(t) = \\int_{t_0}^{t} P(t') dt' = \\int_{t_0}^{t} U(t') \\cdot I(t') dt'\n\\end{equation*}"
    }
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