skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.31.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "1.31",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Arithmetischer Mittelwert, Effektivwert, Gleichrichtwert",
    "question": "Berechnen Sie für die folgenden Spannungsverläufe den arithmetischen Mittelwert,\nden Gleichrichtwert und den Effektivwert.\n\n\\begin{tabular}{l@{ }p{7cm}l@{ }p{7cm}} \n\na) & Sinusspannung & b) & Gleichgerichtete Sinusspannung\n\n&&&(Einweg) \n\n& \n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-031-arithmetischer_mittelwert_effektivwert_gleichrichtwert-1: Arithmetischer Mittelwert Effektivwert Gleichrichtwert 1 a](assets/et1-01-031-arithmetischer_mittelwert_effektivwert_gleichrichtwert-1/01-Arithmetischer_Mittelwert_Effektivwert_Gleichrichtwert_1_a.png)\n&\n&\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-031-arithmetischer_mittelwert_effektivwert_gleichrichtwert-1: Arithmetischer Mittelwert Effektivwert Gleichrichtwert 1 b](assets/et1-01-031-arithmetischer_mittelwert_effektivwert_gleichrichtwert-1/02-Arithmetischer_Mittelwert_Effektivwert_Gleichrichtwert_1_b.png)\n\nc) & Gleichgerichtete Sinusspannung & d) & Summe einer Sinusspannung und\n\n&(Zweiweg) && einer Gleichspannung\n\n&\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-031-arithmetischer_mittelwert_effektivwert_gleichrichtwert-1: Arithmetischer Mittelwert Effektivwert Gleichrichtwert 1 c](assets/et1-01-031-arithmetischer_mittelwert_effektivwert_gleichrichtwert-1/03-Arithmetischer_Mittelwert_Effektivwert_Gleichrichtwert_1_c.png)\n\n& \n& \n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-031-arithmetischer_mittelwert_effektivwert_gleichrichtwert-1: Arithmetischer Mittelwert Effektivwert Gleichrichtwert 1 d](assets/et1-01-031-arithmetischer_mittelwert_effektivwert_gleichrichtwert-1/04-Arithmetischer_Mittelwert_Effektivwert_Gleichrichtwert_1_d.png)\n\n\\end{tabular}",
    "short_solution": "",
    "solution_path": "Arithmetischer Mittelwert: \n\\[\\bar{u}=\\dfrac{1}{T}\\int\\limits_{(T)}u(t)\\mathrm{d}t\n\\]\n\nEffektivwert: \n\\[U=\\sqrt{\\dfrac{1}{T}\\int\\limits_{(T)}\\left[u(t)\\right]^2\\mathrm{d}t}\t\n\\]\n\nGleichrichtwert: \n\\[\n\\overline{\\left|u\\right|}=\\dfrac{1}{T}\\int\\limits_{(T)}\\left|u(t)\\right|\\mathrm{d}t\n\\]\n\n- Sinusspannung: $u(t)=\\hat{U}\\sin \\dfrac{2\\pi t}{T}$\n\nMittelwert:\n\\[\n\\overline{u}=\\dfrac{1}{T}\\int\\limits_{0}^{T}\\hat{U}\\sin \\dfrac{2\\pi t}{T}\\mathrm{d}t=-\\left.\\dfrac{\\hat{U}}{T}\\dfrac{T}{2\\pi}\\cos\\dfrac{2\\pi t}{T}\\right|^T_0=-\\dfrac{\\hat{U}}{2\\pi}\\left(\\cos2\\pi - \\cos 0\\right)=0\n\\]\n\nGleichrichtwert:\n\\[\n\\overline{\\left|u\\right|}=\\dfrac{1}{T}\\cdot2\\cdot \\int\\limits_{0}^{\\frac{T}{2}}\\hat{U}\\sin \\dfrac{2\\pi t}{T}\\mathrm{d}t=-\\left.\\dfrac{2\\hat{U}}{T}\\dfrac{T}{2\\pi}\\cos\\dfrac{2\\pi t}{T}\\right|^{\\frac{T}{2}}_0=-\\dfrac{\\hat{U}}{\\pi}\\left(\\underbrace{\\cos\\pi}_{-1} - \\underbrace{\\cos 0}_1\\right)\n\\]\n\\[\n\\overline{\\left|u\\right|}=\\dfrac{2\\hat{U}}{\\pi}\\approx 0,637\\hat{U}\n\\]\n\nEffektivwert:\n\\[ U=\\sqrt{\\dfrac{1}{T}\\int\\limits_{0}^{T}{\\hat{U}}^2\\sin^2 \\dfrac{2\\pi t}{T}\\mathrm{d}t}\\underset{\\sin^2\\alpha=\\frac{1}{2}(1-\\cos 2\\alpha)}{=}\\sqrt{\\dfrac{{\\hat{U}}^2}{T}\\int\\limits_{0}^{T}\\dfrac{1}{2}\\left(1-\\cos\\dfrac{4\\pi t}{T}\\right)\\mathrm{d}t}\n\\]\n\\[ U=\\sqrt{\\dfrac{{\\hat{U}}^2}{2T}\\left(t-\\dfrac{T}{4\\pi}\\sin\\dfrac{4\\pi t}{T}\\right)_0^T}=\\sqrt{\\dfrac{{\\hat{U}}^2}{2}}\n\\]\n\\[U=\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\hat{U}\\approx 0,707\\hat{U}\n\\]\n\nDurch sinngemäße Übertragung der Ergebnisse für Sinusspannungen auf die gegebenen Zeitfunktionen erhält man:\n\n\\setlength{\\tabcolsep}{12pt}\n\\renewcommand*{\\arraystretch}{3}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline\nAufgabe & $\\bar{u}$ & $U$ & $\\overline{\\left|u\\right|}$\n\n\\hline\na) Sinus & $0$ & $\\dfrac{\\hat{U}}{\\sqrt{2}}$ & $\\dfrac{2\\hat{U}}{\\pi}$\n\n\\hline\t\nb) Einweggleichrichtung & $\\dfrac{\\hat{U}}{\\pi}$ & $\\dfrac{\\hat{U}}{2}$ & $\\dfrac{\\hat{U}}{\\pi}$\n\n\\hline\t\nc) Zweiweggleichrichtung & $\\dfrac{2\\hat{U}}{\\pi}$ & $\\dfrac{\\hat{U}}{\\sqrt{2}}$ & $\\dfrac{2\\hat{U}}{\\pi}$\n\n\\hline\t\nd) Sinus + Gleichspannung & $\\hat{U}$ & $\\sqrt{\\dfrac{3}{2}}\\hat{U}$ & $\\hat{U}$\n\n\\hline\t\n\\end{tabular}",
    "figures": [
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      "chunk_id": "get-2425-v012-c03",
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      "video_title": "Kap. 1.5 Periodische Zeitfunktionen",
      "heading": "Weitere Kenngrößen",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk",
      "content": "\\subsubsection*{Arithmetischer Mittelwert (Gleichwert)}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=317s}{[00:05:17]} Der arithmetische Mittelwert, auch Gleichwert genannt, wird wie folgt berechnet:\n$\\bar{x} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} x(t) dt$\n\n\\subsubsection*{Gleichrichtwert}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=463s}{[00:07:43]} Der Gleichrichtwert ist der Mittelwert des Betrags der Funktion:\n$\\overline{|x|} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} |x(t)| dt$\n\n\\subsubsection*{Effektivwert (Quadratischer Mittelwert)}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=563s}{[00:09:23]} Der Effektivwert eines Stromes (oder einer Spannung) entspricht dem Wert eines Gleichstroms (oder einer Gleichspannung), der an einem ohmschen Widerstand die gleiche mittlere Leistung umsetzt wie die zeitveränderliche Größe.\n$U = \\sqrt{\\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} u^2(t) dt}$\n$I = \\sqrt{\\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} i^2(t) dt}$\n\n\\subsubsection*{Leistung}\n$P = \\overline{p(t)} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} p(t) dt = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} i^2(t)R dt = I^2R$\n$P = \\overline{p(t)} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} p(t) dt = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} \\frac{u^2(t)}{R} dt = \\frac{U^2}{R}$"
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