skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.32.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "1.32",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Arithmetischer Mittelwert, Effektivwert, Gleichrichtwert",
    "question": "\\mpBR{6cm}\n{\nBerechnen Sie für die angegebene periodische Spannung $u(t)$\n\n- den arithmetischen Mittelwert,\n\n- den Effektivwert,\n\n- den Gleichrichtwert.\n\n}\n{\n\\psMsL{u}\n\\psMdR{U}{\\widehat{U}}\n\\psMsC{T/2}\n\\psMsC{T}\n\\psMsL{t}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-032-arithmetischer_mittelwert_effektivwert_gleichrichtwert-2: Arithmetischer Mittelwert Effektivwert Gleichrichtwert 2](assets/et1-01-032-arithmetischer_mittelwert_effektivwert_gleichrichtwert-2/01-Arithmetischer_Mittelwert_Effektivwert_Gleichrichtwert_2.png)\n}",
    "short_solution": "a) $\\overline{u} =\\dfrac{\\widehat{U}}{4}$; \nb) $ U=\\dfrac{\\widehat{U}}{\\sqrt{6}}$; \nc) $\\overline{\\left|u\\right|}=\\dfrac{\\widehat{U}}{4}$",
    "solution_path": "- \\begin{align*}\n0\\leq t \\leq \\dfrac{T}{2} : & u(t)=\\dfrac{2\\hat{U}}{T}t\n\n\\dfrac{T}{2}<t\\leq T: & u(t)=0\n\\end{align*}\n\n\\[ \\bar{u}=\\dfrac{1}{T}\\int\\limits_0^T u(t) \\mathrm{d}t = \\dfrac{1}{T}\\int\\limits_0^{\\frac{T}{2}} \\dfrac{2\\hat{U}}{T}t \\mathrm{d}t = \\dfrac{2\\hat{U}}{T^2} \\left[\\dfrac{t^2}{2}\\right]_0^{\\frac{T}{2}}=\\dfrac{\\hat{U}}{4}\n\\]\nProbe mit Dreieckfläche: $T\\bar{u}=\\dfrac{1}{2}\\cdot \\dfrac{\\hat{U}T}{2} \\Rightarrow \\bar{u}=\\dfrac{\\hat{U}}{4}$\n\n- \\[ U^2=\\dfrac{1}{T}\\int\\limits_0^T u(t)^2 \\mathrm{d}t = \\dfrac{1}{T}\\left(\\dfrac{2\\hat{U}}{T}\\right)^2\\int\\limits_0^{\\frac{T}{2}} t^2 \\mathrm{d}t = \\dfrac{4\\hat{U}^2}{T^3} \\left[\\dfrac{t^3}{3}\\right]_0^{\\frac{T}{2}}=\\dfrac{\\hat{U}^2}{6}\n\\]\n\\[ U=\\dfrac{\\hat{U}}{\\sqrt{6}}\n\\]\n\n- \\[ u(t)=\\left|u(t)\\right| \\Rightarrow \\overline{\\left|u\\right|}=\\bar{u}=\\dfrac{\\hat{U}}{4}\n\\]",
    "figures": [
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      "chunk_id": "get-2425-v012-c03",
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      "video_title": "Kap. 1.5 Periodische Zeitfunktionen",
      "heading": "Weitere Kenngrößen",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk",
      "content": "\\subsubsection*{Arithmetischer Mittelwert (Gleichwert)}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=317s}{[00:05:17]} Der arithmetische Mittelwert, auch Gleichwert genannt, wird wie folgt berechnet:\n$\\bar{x} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} x(t) dt$\n\n\\subsubsection*{Gleichrichtwert}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=463s}{[00:07:43]} Der Gleichrichtwert ist der Mittelwert des Betrags der Funktion:\n$\\overline{|x|} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} |x(t)| dt$\n\n\\subsubsection*{Effektivwert (Quadratischer Mittelwert)}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=563s}{[00:09:23]} Der Effektivwert eines Stromes (oder einer Spannung) entspricht dem Wert eines Gleichstroms (oder einer Gleichspannung), der an einem ohmschen Widerstand die gleiche mittlere Leistung umsetzt wie die zeitveränderliche Größe.\n$U = \\sqrt{\\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} u^2(t) dt}$\n$I = \\sqrt{\\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} i^2(t) dt}$\n\n\\subsubsection*{Leistung}\n$P = \\overline{p(t)} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} p(t) dt = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} i^2(t)R dt = I^2R$\n$P = \\overline{p(t)} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} p(t) dt = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} \\frac{u^2(t)}{R} dt = \\frac{U^2}{R}$"
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v012-c04",
      "lecture_chapter": "1.5",
      "video_title": "Kap. 1.5 Periodische Zeitfunktionen",
      "heading": "Beispiel: Rechteckspannung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk",
      "content": "\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=891s}{[00:14:51]} Für eine Rechteckspannung mit der Amplitude $\\hat{u}$ und der Periodendauer T, die von 0 bis T/2 den Wert $\\hat{u}$ und von T/2 bis T den Wert 0 hat, ergeben sich folgende Werte:\n\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=1063s}{[00:17:43]} Mittelwert: $\\bar{u} = \\frac{\\hat{u}}{2}$\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=1238s}{[00:20:38]} Gleichrichtwert: $\\overline{|u|} = \\frac{\\hat{u}}{2}$\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=1386s}{[00:23:06]} Effektivwert: $U = \\frac{\\hat{u}}{\\sqrt{2}}$\n\\end{itemize}"
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