skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.6.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "1.6",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Knotengleichung",
    "question": "\\mpBR{6.1cm}{\nBerechnen Sie den Strom $I_3$\n\n- allgemein,\n\n- für $I_1=3\\mathrm{A}$, $I_2=1\\mathrm{A}$\n\n- für $I_1=-10\\mathrm{A}$, $I_2=50\\mathrm{mA}$\n\n- Geben Sie für $I_1$, $I_2$ und $I_3$ in b) und c) die Richtung der Ladungsträgerbewegung an, wenn es sich um Elektronenleitung handelt.\n\nÜberlegen Sie, wie die Bewegungsrichtung bei der Bewegung positiver Ladungsträger aussehen würde.\n\n}\n{\n\n\\psMsR{I_1}\n\\psMsC{I_2}\n\\psMsL{I_3}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-006-knotengleichung-1: Knotengleichung 1](assets/et1-01-006-knotengleichung-1/01-Knotengleichung_1.png)\n\n}",
    "short_solution": "b) $I_3=-4\\mathrm{A}$ \\:\\: c) $I_3=9,95\\mathrm{A}$",
    "solution_path": "- $I_1 + I_2 + I_3 = 0$ $ \\to $ $I_3 = - I_1 - I_2$\n\n- $I_3 = -4\\mathrm{A}$\n\n- $I_3 = 10\\mathrm{A} - 50\\mathrm{mA} = 9,95\\mathrm{A}$\n\n- \n- Allgemein für $I>0$:\n\nBewegung der \n$\\left\\{\\begin{array}{l}\npositiven \n\nnegativen\n\\end{array}\\right\\}$ \nLadungsträger \n$\\left\\{\\begin{array}{l}\nin \n\nentgegen der\n\\end{array}\\right\\}$ \nPfeilrichtung.\n\n- Bewegung der Elektronen:\n\n- in b): \n$\\left.\\begin{array}{ll}\nI_1, I_2 & entgegen der \n\nI_3 & in\n\\end{array}\\right\\}$ \nPfeilrichtung\n\n- in c):\n$\\left.\\begin{array}{ll}\nI_2, I_3 & entgegen der \n\nI_1 & in\n\\end{array}\\right\\}$ \nPfeilrichtung\n\n- Die Bewegungsrichtung positiver Ladungsträger ist ent\\-ge\\-gen\\-ge\\-setzt.",
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        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "Knotengleichung_1",
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      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 4",
      "heading": "Ladungserhaltung und der Knotensatz",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s",
      "content": "In stationären Systemen, wie sie in diesem Semester vorwiegend betrachtet werden, gilt die Ladungserhaltung. Das bedeutet, die Ladungsmenge Q innerhalb eines Volumens ist konstant ($Q = const.$) \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=227s}{[03:47]}. Daraus folgt, dass die zeitliche Ableitung der Ladung null ist:\n\\begin{equation*}\n\t\\frac{dQ}{dt} = 0\n\\end{equation*}\nSetzt man dies in die Kontinuitätsgleichung ein, ergibt sich, dass der zufließende Strom gleich dem abfließenden Strom sein muss: $I_{zu} = I_{ab}$ \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=269s}{[04:29]}.\n\nDiese Betrachtung lässt sich verallgemeinern. Statt nur eines Zu- und Abflusses kann man eine Hülle mit beliebig vielen Strömen $I_k$ betrachten. Für einen unendlich klein gedachten Punkt in einem Netzwerk, einen sogenannten Knoten, besagt der Knotensatz, dass die Summe aller Ströme, die in diesen Knoten hinein- oder aus ihm herausfließen, null sein muss \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=457s}{[07:37]}. Dies ist auch als das 1. Kirchhoffsche Gesetz bekannt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=589s}{[09:49]}.\n\\begin{equation*}\n\t\\sum_{k=1}^{n} I_k = 0\n\\end{equation*}\nDabei gilt die Konvention: Zufließende Ströme werden positiv und abfließende Ströme negativ gezählt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=550s}{[09:10]}. Für einen beispielhaften Knoten K mit vier Strömen, bei dem $I_1$ und $I_4$ zufließen und $I_2$ und $I_3$ abfließen, lautet die Gleichung:\n\\begin{equation*}\n\tI_1 - I_2 - I_3 + I_4 = 0\n\\end{equation*}"
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