skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/2.10.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "2.10",
    "chapter_number": 2,
    "chapter": "Resistive Zweipole",
    "title": "Widerstandsdimensionierung",
    "question": "\\mpBR{5cm}{\nAuf einen Wickelkörper (Fensterquerschnitt \n$a\\times b = 10 \\mim \\times 5 \\mim$, mittlere Windungslänge $l_\\mathrm{m} = 50 \\mim$) \nsoll eine Wicklung aus isoliertem Konstantandraht (spezifischer Widerstand \n$\\rho = 0,5 \\Omega \\dmim^2\\!/\\dm$) aufgebracht werden.\n\nDie Stärke der Isolation sei gegenüber dem Drahtdurchmesser \nvernachlässigbar.\n\nIn welchem Bereich liegt der realisierbare Widerstand, wenn Drähte mit einem \nDurchmesser $d$ von $0,2 \\mim$ bis $1 \\mim$ verwendet werden können?\n}\n{\n\n\\psMsC{d}\\psMsC{w}\n\\psMsC{a}\\psMsR{b}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-010-widerstandsdimensionierung-2: Widerstandsdimensionierung 2](assets/et1-02-010-widerstandsdimensionierung-2/01-Widerstandsdimensionierung_2.png)\n\n}",
    "short_solution": "$R_{\\min}=1,59 \\Omega$, $R_\\mathrm{\\max}=995 \\Omega$",
    "solution_path": "\\begin{equation}\nR=\\frac{\\rho l}{A},\\;A=\\frac{\\pi d^2}{4}\n\\end{equation}\nWindungszahl $ w = \\frac{ab}{d^2}$\n\nDrahtl\"ange $ l = wl_m = \\frac{ab}{d^2}l_m$\n\n\\begin{equation}\nR = \\frac{4\\rho l}{\\pi d^2} = \\frac{4ab\\rho l_m}{\\pi d^4}\n\n\\end{equation}\n$R_{\\max}$ mit $d=d_{\\min}=0,2\\mim$ erreichbar, $R_{\\max}=995\\Omega$ \n\n$R_{\\min}$ mit $d=d_{\\max}=1 \\mim$ erreichbar, \n$R_{\\min}=\\left(\\frac{d_{\\min}}{d_{\\max}}\\right)^4 \\cdot R_{\\max}=1,59\\Omega$",
    "figures": [
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        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-02-010-widerstandsdimensionierung-2: Widerstandsdimensionierung 2"
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  "video_refs": [
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      "lecture_chapter": "2.2",
      "video_title": "Kap. 2.2 Ausgewählte Zweipole - Teil 1",
      "heading": "Einführung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=eO7aUIUXO2Q",
      "content": "Das Video beginnt mit einer Einführung in \\href{https://www.youtube.com/watch?v=eO7aUIUXO2Q&t=20s}{lineare, quellfreie, resistive Zweipole}, auch als lineare Widerstände bekannt. Es wird das Schaltzeichen für einen Widerstand vorgestellt, ein Rechteck mit zwei Anschlüssen, und die zugehörigen Größen Spannung (U) und Strom (I) werden definiert.\n\nDer zentrale Punkt des Videos ist die \\href{https://www.youtube.com/watch?v=eO7aUIUXO2Q&t=87s}{Proportionalität von Strom und Spannung} bei einem linearen Widerstand. Diese Beziehung wird als Grundlage für das \\href{https://www.youtube.com/watch?v=eO7aUIUXO2Q&t=143s}{Ohmsche Gesetz} herangezogen, das mathematisch als \\(U = R \\cdot I\\) oder \\(I = \\frac{U}{R}\\) formuliert wird.\n\nAnschließend wird die \\href{https://www.youtube.com/watch?v=eO7aUIUXO2Q&t=215s}{I-U-Kennlinie eines Widerstands} gezeigt, die eine Gerade durch den Ursprung ist. Es wird erläutert, wie sich die Kennlinie ändert, wenn der Widerstandswert variiert wird. Dabei wird erklärt, dass der Anstieg der U-I-Kennlinie dem Widerstand R entspricht, während der Anstieg der I-U-Kennlinie dem \\href{https://www.youtube.com/watch?v=eO7aUIUXO2Q&t=263s}{Leitwert G} entspricht.\n\nDie Definitionen von \\href{https://www.youtube.com/watch?v=eO7aUIUXO2Q&t=429s}{Widerstand (\\(R = \\frac{U}{I}\\))} und Leitwert (\\(G = \\frac{I}{U}\\)) werden formal eingeführt. Daraufhin werden die Maßeinheiten für den Widerstand, Ohm (\\(\\Omega\\)), und für den Leitwert, Siemens (S), vorgestellt. Als humorvolle Nebenbemerkung wird auch die veraltete Einheit Mho für den Leitwert erwähnt.\n\nIm letzten Teil des Videos wird die \\href{https://www.youtube.com/watch?v=eO7aUIUXO2Q&t=548s}{Bemessungsgleichung des Widerstandes und des Leitwertes} für ein homogenes Feld erläutert. Die Gleichung \\(R = \\rho \\frac{l}{A}\\) wird vorgestellt, wobei \\(\\rho\\) der spezifische Widerstand, l die Länge und A die Querschnittsfläche ist. Der spezifische Widerstand ist eine Materialkonstante. Alternativ wird die Gleichung mit der \\href{https://www.youtube.com/watch?v=eO7aUIUXO2Q&t=679s}{Leitfähigkeit \\(\\kappa\\)} ausgedrückt.\n\nZum Abschluss wird eine \\href{https://www.youtube.com/watch?v=eO7aUIUXO2Q&t=925s}{Tabelle mit dem spezifischen Widerstand und der Leitfähigkeit} für verschiedene Materialien wie Silber, Kupfer, Gold und Aluminium bei einer Temperatur von 20°C gezeigt, um einen Überblick über die Größenordnungen zu geben."
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