skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/2.17.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "2.17",
    "chapter_number": 2,
    "chapter": "Resistive Zweipole",
    "title": "Temperaturabhängigkeit, Einschaltstrom",
    "question": "Der Wolfram-Glühfaden einer $230$-$\\dV$-Glühlampe hat bei $20\\gC$ einen Widerstand von $50\\Omega$.\n\nDer Widerstand $R(T)$ soll im betrachteten Temperaturbereich linear von der Temperatur abhängen.\nBei $20\\gC$ ist der Temperaturkoeffizient $\\alpha = 4\\cdot10^{-3}/\\dK$.\n\n- Wie groß ist der Widerstand bei der Betriebstemperatur\nvon $2200\\gC$? \n\n- Wie groß ist der Strom bei $20\\gC$ bzw.\nbei $2200\\gC$ und das Verhältnis dieser beiden Ströme, wenn jeweils die gleiche Spannung anliegt?\n\n- Welche Leistung setzt die Glühlampe bei Betriebstemperatur um?",
    "short_solution": "a) $R(2200\\gC)=486\\Omega$; \\:\\: b) $I_{20\\gC}=4,6\\mathrm{A}$; \\: $I_{2200\\gC}=0,473\\mathrm{A}$; \\:\\: c) $P=109\\mathrm{W}$",
    "solution_path": "- Widerstand\n\n$\n\\vartheta_0 = 20\\gC, \\ \\vartheta_1 = 2200\\gC \n\nR(\\vartheta) = R(\\vartheta_0)(1+\\alpha(\\vartheta-\\vartheta_0))\\rightarrow \nR(\\vartheta_1) = R(\\vartheta_0)(1+4\\cdot 10^{-3}(2200-20)) = 486\\Omega\n$\n\n- Str\"ome\n\n$\nI(\\vartheta_0) = \\frac{U}{R(\\vartheta_0)} = 4,6\\mathrm{A}\n\nI(\\vartheta_1) = \\frac{U}{R(\\vartheta_1)} = 473\\mathrm{mA}\n$\n\n$\n\\rightarrow \\frac{I(\\vartheta_0)}{I(\\vartheta_1)} = \\frac{R(\\vartheta_1)}{R(\\vartheta_0)} \n= 1 + \\alpha (\\vartheta_1 - \\vartheta_0) = 9,72\n$\n\n- Leistung\n\n$\nP = \\frac{U^2}{R(\\vartheta_1)} = 109\\mathrm{W}\n$",
    "figures": []
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  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v020-c00",
      "lecture_chapter": "2.4",
      "video_title": "Kap. 2.4 Temperaturabhängigkeit von Widerständen - Teil 1",
      "heading": "Einführung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=Wp5vrhmj6a0",
      "content": "Das Video beginnt mit einer Einführung in die Temperaturabhängigkeit von Widerständen, wobei auf die bereits in einem früheren Video behandelte Kennlinie der Glühlampe Bezug genommen wird, bei der sich der Widerstand des Wolframdrahtes durch Erwärmung ändert [\\href{https://www.youtube.com/watch?v=Wp5vrhmj6a0&t=21s}{00:00:21}].\nUm diesen Effekt praktisch zu demonstrieren, wird ein Experiment vorgestellt, bei dem der Widerstand verschiedener Materialien bei unterschiedlichen Temperaturen gemessen wird."
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v021-c03",
      "lecture_chapter": "2.4",
      "video_title": "Kap. 2.4 Temperaturabhängigkeit von Widerständen - Teil 2",
      "heading": "Herleitung der Formel",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=gtzTHfMqzxs",
      "content": "Ausgehend von der Taylorreihenentwicklung um die Bezugstemperatur $T_0$ ergibt sich die linearisierte Formel für den Widerstand:\n\\begin{equation}\n\tR(T) \\approx R(T_0) + \\frac{dR}{dT}\\bigg|_{T_0} \\cdot (T - T_0)\n\\end{equation}\nDiese Formel wird weiter umgeformt zu:\n\\begin{equation}\n\tR(T) = R_0 \\cdot (1 + \\alpha_{T_0} \\cdot \\Delta T)\n\\end{equation}\nDabei ist $\\Delta T = T - T_0$ die Temperaturdifferenz \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gtzTHfMqzxs&t=484s}{[00:08:04]} und $\\alpha_{T_0}$ der Temperaturkoeffizient bei der Bezugstemperatur $T_0$."
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