skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/2.19.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "2.19",
    "chapter_number": 2,
    "chapter": "Resistive Zweipole",
    "title": "Temperaturabhängigkeit des Widerstandes",
    "question": "Um wieviel Prozent ändert sich der Widerstandswert eines temperaturabhängigen Kohleschichtwiderstandes $R(\\vartheta)$ bei einer Temperaturänderung von $-20\\gC$ auf $70\\gC$?\nBekannt ist, dass bei $T_0 = 293 \\mathrm{K}$ der Widerstand $R_0 = 1 \\mathrm{k}\\Omega$ und $\\alpha_{20\\gC} = -200 \\cdot 10^{-6}/\\dK $ beträgt.\n\nIst der Kohleschichtwiderstand zur Temperaturmessung geeignet?",
    "short_solution": "$\\frac{\\Delta R}{R(-20)} = -1,79\\%$",
    "solution_path": "$ R(\\vartheta) = R_0(1+\\alpha_{\\vartheta_0}\\cdot\\Delta\\vartheta) = R_0(1+\\alpha_{\\vartheta_0}\\cdot(\\vartheta-\\vartheta_0))$\n\n\\begin{align*}\n\\frac{\\Delta R}{R(-20\\gC)} &= \\frac{R(70\\gC) - R(-20\\gC)}{R(-20\\gC)} \n\n&= \\frac{R_0 (1+\\alpha_{20\\gC}(70\\gC-20\\gC)) - R_0 (1+\\alpha_{20\\gC}(-20\\gC-20\\gC))}{R_0 (1+\\alpha_{20\\gC}\\cdot(-20\\gC-20\\gC))} \n\n&= \\frac{\\alpha_{20\\gC} \\cdot 50\\mathrm{K} - \\alpha_{20\\gC}\\cdot(-40\\mathrm{K})}{1+\\alpha_{20\\gC}\\cdot(-40\\mathrm{K})}\n= \\frac{\\alpha_{20\\gC}(50\\mathrm{K} + 40\\mathrm{K})}{1 - \\alpha_{20\\gC} \\cdot 40\\mathrm{K}} \n\n&= \\frac{-18 \\cdot 10^{-3}}{1 + 8 \\cdot 10^{-3}}\n= \\frac{-18}{1008} = -0,01786 = -1,786\\,\\%\n\\end{align*}\n\nDer Widerstand ist f\"ur Temperaturmesszwecke nicht geeignet, daf\"ur gibt es spezielle Halbleiterwiderst\"ande mit\nbetragsm\"a\"sig gro\"sen Tem\\-pe\\-ra\\-tur\\-ko\\-ef\\-fi\\-zi\\-enten (Thermistoren).",
    "figures": []
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  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v021-c03",
      "lecture_chapter": "2.4",
      "video_title": "Kap. 2.4 Temperaturabhängigkeit von Widerständen - Teil 2",
      "heading": "Herleitung der Formel",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=gtzTHfMqzxs",
      "content": "Ausgehend von der Taylorreihenentwicklung um die Bezugstemperatur $T_0$ ergibt sich die linearisierte Formel für den Widerstand:\n\\begin{equation}\n\tR(T) \\approx R(T_0) + \\frac{dR}{dT}\\bigg|_{T_0} \\cdot (T - T_0)\n\\end{equation}\nDiese Formel wird weiter umgeformt zu:\n\\begin{equation}\n\tR(T) = R_0 \\cdot (1 + \\alpha_{T_0} \\cdot \\Delta T)\n\\end{equation}\nDabei ist $\\Delta T = T - T_0$ die Temperaturdifferenz \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gtzTHfMqzxs&t=484s}{[00:08:04]} und $\\alpha_{T_0}$ der Temperaturkoeffizient bei der Bezugstemperatur $T_0$."
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