skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/2.22.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "2.22",
    "chapter_number": 2,
    "chapter": "Resistive Zweipole",
    "title": "Temperaturabhängigkeit des Widerstandes",
    "question": "Gegeben sind zwei temperaturabhängige Widerstände $R_1$ und $R_2$, die bei \nder Bezugstemperatur $\\vartheta_0 = 20\\gC$ gleich sind \n($R_{10} = R_{20} = R_0$). Ihre Temperaturkoeffizienten sind \n$\\alpha_1$ und $\\alpha_2 = k\\alpha_1$, $- 2 \\leq k \\leq 2$.\nBerechnen Sie den Temperaturkoeffizienten $\\alpha_{ges}$ und stellen \nSie $\\alpha_\\mathrm{ges}/\\alpha_1$ als Funktion von $k$ grafisch dar\n\n- für die Reihenschaltung beider Widerstände,\n\n- für die Parallelschaltung beider Widerstände für $\\left| \\alpha_{1,2} \\Delta\\vartheta\\right| \\ll 1$.\n\n- Für welchen Wert von k tritt eine Kompensation der \nTemperaturabhängigkeit ein?\n\n\\hinw{Benutzen Sie die Näherung $(1\\pm \\varepsilon)^n \\approx 1 \\pm n\\cdot \\varepsilon$ für $\\left| \\varepsilon\\right| \\ll 1$.}",
    "short_solution": "a),b) $\\alpha_\\mathrm{ges}=\\frac{1+k}{2}\\alpha_1$,\\:\\: c) $k=-1$",
    "solution_path": "- Reihenschaltung\n\\begin{equation}\nR_r=R_1+R_2=R_{0}(1+\\alpha_1\\Delta\\vartheta)+R_{0}(1+\\alpha_2\\Delta\\vartheta)\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\nR_r=2 R_0\\left(1+\\frac{\\alpha_1+\\alpha_2}{2}\\Delta\\vartheta\\right)=2 R_0\\left(1+\\frac{1+k}{2}\\alpha_1\\Delta\\vartheta\\right)\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\n\\frac{\\alpha_\\mathrm{ges}}{\\alpha_1}=\\frac{1+k}{2}\n\n\\end{equation}\n\n- Parallelschaltung\n\nmit $\\dfrac{1}{1+\\varepsilon}\\approx 1-\\varepsilon$ für $\\left|\\varepsilon \\right| \\ll 1 $:\n\\begin{equation}\nR_p=\\dfrac{1}{\\dfrac{1}{R_{0}(1+\\alpha_1\\Delta\\vartheta)}+\\dfrac{1}{R_{0}(1+\\alpha_2\\Delta\\vartheta)}}\\approx R_{0}\\dfrac{1}{1-\\alpha_1\\Delta\\vartheta+1-\\alpha_2\\Delta\\vartheta}\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\nR_p=\\frac{R_0}{2}\\dfrac{1}{1-\\dfrac{\\alpha_1+\\alpha_2}{2}\\Delta\\vartheta}\\approx\\frac{R_0}{2}\\left(1+\\dfrac{\\alpha_1+\\alpha_2}{2}\\Delta\\vartheta \\right) \n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\nR_p=\\frac{R_0}{2}\\left(1+\\dfrac{1+k}{2}\\alpha_1\\Delta\\vartheta \\right) \n\n\\end{equation}\\begin{equation}\n\\frac{\\alpha_\\mathrm{ges}}{\\alpha_1}=\\frac{1+k}{2}\n\n\\end{equation}\n\n\\centerline{\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-022-temperaturabhaengigkeit_des_widerstandes-2: Temperaturabhaengigkeit des Widerstandes 2 w](assets/et1-02-022-temperaturabhaengigkeit_des_widerstandes-2/01-Temperaturabhaengigkeit_des_Widerstandes_2_w.png)\n}\n\n- $\\alpha_\\mathrm{ges}=\\frac{1+k}{2}\\alpha_1 \\Rightarrow \\underline{k=1} $",
    "figures": [
      {
        "id": "et1-02-022-temperaturabhaengigkeit_des_widerstandes-2-fig-01",
        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "Temperaturabhaengigkeit_des_Widerstandes_2_w.eps",
        "source_asset": "2-Resistive_Zweipole/bilder/Temperaturabhaengigkeit_des_Widerstandes_2_w.eps",
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        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-02-022-temperaturabhaengigkeit_des_widerstandes-2: Temperaturabhaengigkeit des Widerstandes 2 w"
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  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v021-c03",
      "lecture_chapter": "2.4",
      "video_title": "Kap. 2.4 Temperaturabhängigkeit von Widerständen - Teil 2",
      "heading": "Herleitung der Formel",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=gtzTHfMqzxs",
      "content": "Ausgehend von der Taylorreihenentwicklung um die Bezugstemperatur $T_0$ ergibt sich die linearisierte Formel für den Widerstand:\n\\begin{equation}\n\tR(T) \\approx R(T_0) + \\frac{dR}{dT}\\bigg|_{T_0} \\cdot (T - T_0)\n\\end{equation}\nDiese Formel wird weiter umgeformt zu:\n\\begin{equation}\n\tR(T) = R_0 \\cdot (1 + \\alpha_{T_0} \\cdot \\Delta T)\n\\end{equation}\nDabei ist $\\Delta T = T - T_0$ die Temperaturdifferenz \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gtzTHfMqzxs&t=484s}{[00:08:04]} und $\\alpha_{T_0}$ der Temperaturkoeffizient bei der Bezugstemperatur $T_0$."
    }
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