skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/2.29.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "2.29",
    "chapter_number": 2,
    "chapter": "Resistive Zweipole",
    "title": "Widerstandsmessung",
    "question": "Ein Widerstand $R_\\mathrm{x}$ soll durch gleichzeitige Strom- und Spannungsmessung bestimmt werden. Die angezeigten \nMesswerte sind $I=5\\mathrm{mA}$ und $U=5\\mathrm{V}$. Der Innenwiderstand des Spannungsmessers ist $R_\\mathrm{V} = 1 \\mathrm{M}\\Omega$ und der des \nStrommessers $R_\\mathrm{A} = 50\\Omega$. Die Spannung soll unverfälscht gemessen werden.\n\n- Geben Sie die Messschaltung an.\n\n- Bestimmen Sie den Widerstand $R_\\mathrm{x}$ aus den Messwerten $U = 10 \\mathrm{V}$ und $I = 5 \\mathrm{mA}$ exakt und nach einer \nÜberschlagsrechnung mit $R_\\mathrm{x} \\approx U/I$.\n\n- Wie groß ist die relative Abweichung?\n\n- Geben Sie die Messschaltung für die stromrichtige Messung an.\n\nWie groß sind die absolute und die relative Abweichung bei stromrichtiger Messung?",
    "short_solution": "b) $R_\\mathrm{x}=2,004\\mathrm{k}\\Omega$; \\: $R_\\mathrm{x}\\approx 2\\mathrm{k}\\Omega$ \\:\\: c) $\\Delta R_\\mathrm{x}/R_\\mathrm{x} = -0,2\\%$ \\:\\: d) $\\Delta R_\\mathrm{x} = 0,05\\mathrm{k}\\Omega$; \\: $\\Delta R_\\mathrm{x}/R_\\mathrm{x} = 2,56\\%$",
    "solution_path": "- \\begin{tabular}{cc}\n\\begin{minipage}{5cm}\n\n\\centerline{\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-029-widerstandsmessung-1: Widerstandsmessung 1 w1](assets/et1-02-029-widerstandsmessung-1/01-Widerstandsmessung_1_w1.png)\n}\n\n\\end{minipage}\n&\n\\begin{minipage}{5cm}\n\n\\centerline{\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-029-widerstandsmessung-1: Widerstandsmessung 1 w2](assets/et1-02-029-widerstandsmessung-1/02-Widerstandsmessung_1_w2.png)\n}\n\n\\end{minipage}\n\\end{tabular}\n\n- \\begin{equation}\nU=I(R_x||R_V)=\\frac{IR_xR_V}{R_x+R_V}, UR_x+UR_V=IR_xR_V,\\;R_x(IR_V-U)=UR_V\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\nR_x=\\frac{UR_V}{IR_V-U}=\\frac{U}{I}\\frac{R_V}{R_V-\\frac{U}{I}}\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\nR_x=\\frac{U}{I}\\frac{1}{1-\\frac{U}{IR_V}}=2\\mathrm{k}\\Omega\\cdot\\frac{1}{1-2\\cdot 10^{-3}}=2,004\\mathrm{k}\\Omega\n\n\\end{equation}\n\"Uberschlagsrechnung: $R_x=2\\mathrm{k}\\Omega$\n\n- relative Abweichung: $\\frac{\\Delta R_x}{R_x}=0,2\\%$\n\n- \\begin{tabular}{cc}\n\\begin{minipage}{5cm}\n\n\\centerline{\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-029-widerstandsmessung-1: Widerstandsmessung 1 w3](assets/et1-02-029-widerstandsmessung-1/03-Widerstandsmessung_1_w3.png)\n}\n\n\\end{minipage}\n&\n\\begin{minipage}{5cm}\n\n\\centerline{\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-029-widerstandsmessung-1: Widerstandsmessung 1 w4](assets/et1-02-029-widerstandsmessung-1/04-Widerstandsmessung_1_w4.png)\n}\n\n\\end{minipage}\n\\end{tabular}\n\\begin{equation}\nR_x=\\frac{U_x}{I}=\\frac{U-IR_a}{I}=1,95\\mathrm{k}\\Omega\n\n\\end{equation}\nabsolute Abweichung: $\\Delta R=0,05\\mathrm{k}\\Omega$\n\nrelative Abweichung: $\\frac{\\Delta R}{R}=0,0256=2,56\\,\\%$",
    "figures": [
      {
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      },
      {
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        "latex_reference": "Widerstandsmessung_1_w2.eps",
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      "chunk_id": "get-2425-v024-c02",
      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 1",
      "heading": "Anwendungsbeispiel: Messbereichserweiterung eines Spannungsmessers",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg",
      "content": "\\href{https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg&t=614s}{Ein weiteres Beispiel} ist die Erweiterung des Messbereichs eines Spannungsmessers. Um mit einem Messgerät, das für maximal 10V ausgelegt ist, Spannungen bis zu 100V messen zu können, wird ein Vorwiderstand in Reihe geschaltet.\n\nGegeben:\n\\begin{itemize}\n\t\\item Innenwiderstand des Spannungsmessers \\(R_V = 600k\\Omega\\)\n\t\\item Endausschlag bei \\(U_{V,max} = 10V\\)\n\t\\item Zu messende Spannung \\(U_{max} = 100V\\)\n\\end{itemize}\n\nGesucht: Vorwiderstand R\n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg&t=820s}{Die Formel zur Berechnung des Vorwiderstandes lautet}:\n\n\\begin{equation}\n\tR = R_V \\frac{U_{max} - U_{V,max}}{U_{V,max}}\n\\end{equation}\n\nEinsetzen der Werte ergibt:\n\n\\begin{equation}\n\tR = 600k\\Omega \\frac{100V - 10V}{10V} = 5,4M\\Omega\n\\end{equation}"
    }
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