skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/2.37.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "2.37",
    "chapter_number": 2,
    "chapter": "Resistive Zweipole",
    "title": "Leistungsreduktion mit Diode",
    "question": "Zur Leistungsreduktion wird einem Verbraucher ($U = 230 \\mathrm{V}$, $P_\\mathrm{V} = 50 \\mathrm{W}$) eine Diode mit der angegebenen idealisierten Kennlinie vorgeschaltet.\n\n\\mpBR{7cm}\n{\n\n\\psMsR{u}\\psMsR{R}\\psMsC{i}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-037-leistungsreduktion_mit_diode-1: Leistungsreduktion mit Diode 1a](assets/et1-02-037-leistungsreduktion_mit_diode-1/01-Leistungsreduktion_mit_Diode_1a.png)\n\n$ u(t)=\\widehat{U} \\cos \\omega t, U=230\\mathrm{V}$\n}\n{\n\n\\psMsR{I}\\psMsC{U}\\psMsC{U_F}\n\\psMsR{0}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-037-leistungsreduktion_mit_diode-1: Leistungsreduktion mit Diode 1b](assets/et1-02-037-leistungsreduktion_mit_diode-1/02-Leistungsreduktion_mit_Diode_1b.png)\n\n}\n\n- Berechnen Sie den Widerstand $R$.\n\n- Skizzieren Sie den Stromverlauf $i(t)$ und berechnen Sie den\nMittelwert des Stromes.\n\n- Berechnen Sie den Effektivwert des Stromes.\n\n- Wie groß ist die im Widerstand umgesetzte Leistung?\n\n- Berechnen Sie die von der Spannungsquelle abgegebene Leistung und den Wirkungsgrad der Schaltung.\n\n\\hinw{$\\cos^2 \\omega t =\\dfrac{1}{2}(1+\\cos 2 \\omega t$) \nWirkungsgrad = $\\dfrac{\\text{im Lastwiderstand umgesetzte Leistung}}{\\text{von Quelle abgegebene Leistung}}$}",
    "short_solution": "a) $R = 1,06\\mathrm{k}\\Omega$; \nb) $\\overline{i} = 97,9\\mathrm{mA}$; \nc) $I = 0,154\\mathrm{A}$;",
    "solution_path": "- \\[\nP_\\mathrm{V}=\\frac{U^2}{R} \\Rightarrow R=\\frac{U^2}{P_\\mathrm{V}}=1,058 \\mathrm{k}\\Omega \\approx 1,06 \\mathrm{k}\\Omega\n\\]\n\n- grafische Darstellung\n\n\\psMsR{i}\n\\psMsC{t}\n\\psMsC{T}\n\\psMsC{0}\n\\psMdC{I}{\\hat{I}}\n\\psMdC{T4}{\\frac{T}{4}}\n\\psMdC{-T4}{-\\frac{T}{4}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-037-leistungsreduktion_mit_diode-1: Leistungsreduktion mit Diode 1 w 1](assets/et1-02-037-leistungsreduktion_mit_diode-1/03-Leistungsreduktion_mit_Diode_1_w_1.png)\n\n\\begin{align*}\n\\bar{i}&=\\frac{1}{T}\\int_{0}^{T}i(t)\\mathrm{d}t=2\\cdot\\frac{\\hat{I}}{T}\\int_{0}^{T/4}\\cos(\\omega t)\\mathrm{d}t=\\frac{2\\hat{I}}{T}\\int_{0}^{T/4}\\cos\\left(\\frac{2\\pi}{T} t\\right)\\mathrm{d}t\n\n&=\\frac{\\hat{I}}{\\pi}\\left[\\sin\\left(\\frac{2\\pi}{T} t\\right)\\right]_0^{T/4}=\\frac{\\hat{I}}{\\pi}=\\frac{\\hat{U}}{\\pi R}=\\frac{\\sqrt{2}U}{\\pi R}=97,9\\mathrm{mA}\n\\end{align*}\n\n- \\begin{align*}\nI^2 &= \\frac{1}{T}\\int_{0}^{T}i(t)^2\\mathrm{d}t=2\\cdot\\frac{\\hat{I}^2}{T}\\int_{0}^{T/4}\\cos^2(\\omega t)\\mathrm{d}t=\\frac{2\\hat{I}^2}{T}\\cdot \\frac{1}{2}\\int_{0}^{T/4}(1+\\cos(2\\omega t))\\mathrm{d}t\n\n&=\\frac{\\hat{I}^2}{T}\\int_{0}^{T/4}\\left(1+\\cos\\left(\\frac{4\\pi}{T} t\\right)\\right)\\mathrm{d}t=\\frac{\\hat{I}^2}{T}\\left[t+\\frac{T}{4\\pi}\\sin\\left(\\frac{4\\pi}{T} t\\right) \\right]_0^{T/4}=\\frac{\\hat{I}^2}{4}\n\nI&=\\frac{\\hat{I}}{2}=\\frac{\\hat{U}}{2R}=\\frac{U}{\\sqrt{2}R}=154\\mathrm{mA}\n\\end{align*}\n\n- Die im Widerstand umgesetzte Leistung wird reduziert auf:\n\\[ P=I^2 R= \\frac{U^2}{2R}=\\frac{P_\\mathrm{V}}{2}=25\\mathrm{W}\n\\]\n\n- Für den Wirkungsgrad gilt $\\eta=1$, da außer $R$ keine Verbraucher vorhanden sind. Damit beträgt die von der Spannungsquelle abgegebene Leistung $P_\\mathrm{q}$:\n\\[ P_\\mathrm{q} = P = 25\\mathrm{W}\n\\]\n\n\\hinw{Die Quellenleistung ist \\underline{nicht} das Produkt aus den Effektivwerten von Strom und Spannung an der Quelle!}\n\\[\nU\\cdot I=U\\cdot \\frac{U}{\\sqrt{2}R}=\\frac{U^2}{\\sqrt{2}R} \\neq P_\\mathrm{q}=\\frac{U^2}{2R}\n\\]",
    "figures": [
      {
        "id": "et1-02-037-leistungsreduktion_mit_diode-1-fig-01",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "Leistungsreduktion_mit_Diode_1a",
        "source_asset": "2-Resistive_Zweipole/bilder/Leistungsreduktion_mit_Diode_1a.eps",
        "asset": "assets/et1-02-037-leistungsreduktion_mit_diode-1/01-Leistungsreduktion_mit_Diode_1a.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-02-037-leistungsreduktion_mit_diode-1: Leistungsreduktion mit Diode 1a"
      },
      {
        "id": "et1-02-037-leistungsreduktion_mit_diode-1-fig-02",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "Leistungsreduktion_mit_Diode_1b",
        "source_asset": "2-Resistive_Zweipole/bilder/Leistungsreduktion_mit_Diode_1b.eps",
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        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-02-037-leistungsreduktion_mit_diode-1: Leistungsreduktion mit Diode 1b"
      },
      {
        "id": "et1-02-037-leistungsreduktion_mit_diode-1-fig-03",
        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "Leistungsreduktion_mit_Diode_1_w_1",
        "source_asset": "2-Resistive_Zweipole/bilder/Leistungsreduktion_mit_Diode_1_w_1.eps",
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        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-02-037-leistungsreduktion_mit_diode-1: Leistungsreduktion mit Diode 1 w 1"
      }
    ]
  },
  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v015-c02",
      "lecture_chapter": "2.2",
      "video_title": "Kap. 2.2 Ausgewählte Zweipole - Teil 2",
      "heading": "Diode",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=7IM8E3apOAg",
      "content": "Eine \\href{https://www.youtube.com/watch?v=7IM8E3apOAg&t=362s}{Diode} ist ein Halbleiterbauelement, das den Strom im Wesentlichen nur in eine Richtung fließen lässt. Sie besteht aus einer p-dotierten und einer n-dotierten Halbleiterschicht. Die Kennlinie einer Diode ist stark nichtlinear.\n\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\textbf{Durchlassbereich:} Bei positiver Spannung (in Durchlassrichtung) steigt der Strom exponentiell an, sobald eine bestimmte Spannung, die \\href{https://www.youtube.com/watch?v=7IM8E3apOAg&t=625s}{Flussspannung} (UF), überschritten wird.\n\t\\item \\textbf{Sperrbereich:} Bei negativer Spannung (in Sperrrichtung) fließt praktisch kein Strom.\n\\end{itemize}\n\nDie Kennlinie einer Diode kann durch die Shockley-Gleichung beschrieben werden:\n\\begin{equation*}\n\tI = I_S \\cdot (e^{\\frac{U}{U_T}} - 1)\n\\end{equation*}\nDabei ist $I_S$ der \\href{https://www.youtube.com/watch?v=7IM8E3apOAg&t=680s}{Sättigungssperrstrom} und $U_T$ die \\href{https://www.youtube.com/watch?v=7IM8E3apOAg&t=709s}{Temperaturspannung}."
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v018-c01",
      "lecture_chapter": "2.3",
      "video_title": "Kap. 2.3 Leistungsumsatz an Zweipolen - Teil 1",
      "heading": "Zählpfeilsysteme",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=vdr1SKi9oJY",
      "content": "Zuerst werden die Begriffe Erzeuger und Verbraucher eingeführt. Ein \\href{https://www.youtube.com/watch?v=vdr1SKi9oJY&t=108s}{Erzeuger} gibt elektrische Energie ab, während ein \\href{https://www.youtube.com/watch?v=vdr1SKi9oJY&t=129s}{Verbraucher} elektrische Energie aufnimmt.\n\nEs gibt zwei verschiedene Zählpfeilsysteme:\n\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=vdr1SKi9oJY&t=328s}{Erzeugerzählpfeilsystem (EZPS):} Hierbei zeigen die Pfeile für Strom und Spannung in entgegengesetzte Richtungen.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=vdr1SKi9oJY&t=481s}{Verbraucherzählpfeilsystem (VZPS):} Hierbei zeigen die Pfeile für Strom und Spannung in die gleiche Richtung.\n\\end{itemize}\n\nDie Wahl des Zählpfeilsystems ist beliebig. Je nach System kann man am Vorzeichen der Leistung erkennen, ob es sich um einen Erzeuger oder Verbraucher handelt."
    }
  ]
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