skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.10.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "3.10",
    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Belasteter Spannungsteiler",
    "question": "Gegeben ist ein einstellbarer Spannungsteiler, der durch einen Lastwiderstand $R_\\mathrm{L}$ belastet wird.\n\n\\mpBR{\\iffoil9cm\\else6.5cm}{\n\n- Berechnen Sie die Spannung $U$ in Ab\\-häng\\-igkeit von der Schleiferstellung $a$ und von $R_L$.\n\n- Stellen Sie $U/U_\\mathrm{q}$ als Funktion von $a$ mit $R/R_\\mathrm{{L}}$ als Parameter grafisch dar \n(Parameterwerte $R/R_\\mathrm{{L}} = 0;0,1$; $1$; $10$).\n\n- Berechnen Sie die Spannungsdifferenz zwischen der Spannung $U_\\infty$ für $R_\\mathrm{L} = \\infty$ und $U$ \nund stellen Sie sie auf $U_\\mathrm{q}$ normiert als Funktion von $a$ grafisch dar (Parameterwerte $R/R_\\mathrm{L} = 0;$ $0,1$; $1$; $10$). \n\n}\n{\n\n\\psMsR{R}\\psTdL{R_L}{$R_\\mathrm{L}$}\n\\psMsR{a=1}\\psMsR{a=0}\n\\psMsL{(1-a)R}\\psMsL{aR}\n\\psTdR{U_q}{$U_\\mathrm{q}$}\\psMsR{U}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-010-belasteter_spannungsteiler-2: Belasteter Spannungsteiler 2](assets/et1-03-010-belasteter_spannungsteiler-2/01-Belasteter_Spannungsteiler_2.png)\n\n}",
    "short_solution": "a) $U = U_\\mathrm{q}\\cdot \\dfrac{a}{ 1 + \\frac{R}{R_L}(a-a^2)}$ \n\nc) $ \\dfrac{\\Delta\nU}{U_\\mathrm{q}}=\\dfrac{a(a-a^2)R/R_\\mathrm{L}}{1+(a-a^2)R/R_\\mathrm{L}}$",
    "solution_path": "- \\hfill\n\n\\mpBL{\\iffoil9cm\\else7cm}\n{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-010-belasteter_spannungsteiler-2: Belasteter Spannungsteiler 2 w1](assets/et1-03-010-belasteter_spannungsteiler-2/02-Belasteter_Spannungsteiler_2_w1.png)\n\n}\n{\n$ U = U_q \\cdot \\frac{aR || R_L}{aR || R_L + (1-a)R} $\n}\n\n- $ \\frac{U}{U_q} = \\frac{\\frac{aR R_L}{aR + R_L}}{\\frac{aR R_L}{aR + R_L} + (1-a)R} \n= \\frac{aR R_L}{aR R_L + (1-a)R(aR + R_L)} $\n\n$ \\frac{U}{U_q} = \\frac{aR R_L}{aR R_L + aR^2 - a^2R^2 + R R_L - aR R_L} \n= \\frac{a}{ 1 + a \\frac{R}{R_L} - a^2 \\frac{R}{R_L}} $\n\n$ \\frac{U}{U_q} = \\frac{a}{ 1 + \\frac{R}{R_L}(a-a^2)} $\n\nDiagramm für $ \\frac{R}{R_L} = 0;\\, 0,1;\\, 1;\\, 10 $\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-010-belasteter_spannungsteiler-2: Belasteter Spannungsteiler 2 w2](assets/et1-03-010-belasteter_spannungsteiler-2/03-Belasteter_Spannungsteiler_2_w2.png)\n\n- $ U_\\infty = a U_q $, $ \\frac{\\Delta U}{U_q} = \\frac{U_\\infty}{U_q} - \\frac{U}{U_q} \n= a - \\frac{a}{ 1 + \\frac{R}{R_L}\\left(a - a^2\\right)} = \\frac{ a\\left(a - a^2\\right)\\frac{R}{R_L}}{1 + \\frac{R}{R_L}\\left(a - a^2\\right)} $\n\n$ \\frac{\\Delta U}{U_q} = \\frac{ a\\left(a - a^2\\right)\\frac{R}{R_L}}{ 1 + \\frac{R}{R_L}\\left(a - a^2\\right)} $\n\nDiagramme für $ \\frac{R}{R_L} = 0,1;\\, 1;\\, 10 $\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-010-belasteter_spannungsteiler-2: Belasteter Spannungsteiler 2 w3](assets/et1-03-010-belasteter_spannungsteiler-2/04-Belasteter_Spannungsteiler_2_w3.png)\n\n\\erweitert{Hinweis auf sogenannten { \"`niederohmigen Spannungsteiler\"' mit $R \\ll R_L$ !}}",
    "figures": [
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      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 2",
      "heading": "Belasteter Spannungsteiler",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug",
      "content": "Der unbelastete Spannungsteiler, wie er zuvor eingeführt wurde, besteht aus einer Reihenschaltung von zwei Widerständen. Die Frage, die hier geklärt wird, ist, wie man vorgeht, wenn die Schaltung mehr als zwei Widerstände enthält, insbesondere wenn ein Lastwiderstand parallel zu einem der Widerstände geschaltet ist (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=38s}{[00:00:38]}).\n\nDie Schaltung besteht aus einem Widerstand $R_1$ in Reihe mit einer Parallelschaltung aus dem Widerstand $R_2$ und einem Lastwiderstand $R_L$. Über dieser Anordnung liegt die Gesamtspannung $U$ an. Gesucht ist die Ausgangsspannung $U_2$ über der Parallelschaltung.\n\nUm den Spannungsteiler anwenden zu können, wird eine Ersatzschaltung gebildet, indem die Parallelschaltung aus $R_2$ und $R_L$ zu einem Ersatzwiderstand zusammengefasst wird. Die Schaltung wird so auf eine Reihenschaltung von zwei Widerständen reduziert: $R_1$ und der Ersatzwiderstand $R_{2||L} = R_2 || R_L$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=130s}{[00:02:10]}).\n\nDie Spannungsteilerregel lautet dann:\n\\[ \\frac{U_2}{U} = \\frac{R_2 || R_L}{R_1 + (R_2 || R_L)} \\]\nDurch Auflösen des Parallel-Operators erhält man (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=213s}{[00:03:33]}):\n\\[ \\frac{U_2}{U} = \\frac{\\frac{R_2 \\cdot R_L}{R_2 + R_L}}{R_1 + \\frac{R_2 \\cdot R_L}{R_2 + R_L}} \\]\nNach weiterer Umformung ergibt sich die Formel für die Ausgangsspannung $U_2$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=271s}{[00:04:31]}):\n\\[ U_2 = U \\cdot \\frac{R_2}{R_1 + R_2 + \\frac{R_1 \\cdot R_2}{R_L}} \\]\nAus dieser Formel lässt sich der Einfluss des Lastwiderstandes $R_L$ auf die Ausgangsspannung $U_2$ ablesen:\n\\begin{itemize}\n\t\\item Für $R_L \\to 0$ (Kurzschluss) wird der Nenner unendlich groß und $U_2 \\to 0$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=404s}{[00:06:44]}).\n\t\\item Für $R_L \\to \\infty$ (Leerlauf) wird der Term $\\frac{R_1 \\cdot R_2}{R_L}$ zu Null und man erhält die Formel für den unbelasteten Spannungsteiler: $U_2 = U \\cdot \\frac{R_2}{R_1 + R_2}$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=436s}{[00:07:16]}).\n\\end{itemize}"
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