skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.22.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "3.22",
    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Strommessung",
    "question": "\\mpBR{\\iffoil9cm\\else6cm}{\nDer Strom $I$ in der nebenstehenden Schaltung soll mit einer relativen \nAbweichung $\\Delta I / I \\leq 1\\%$ gemessen werden. Wie groß darf der \nInnenwiderstand $R_\\mathrm{A}$ des dazu verwendeten Strommessers höchstens sein?\n\n}\n{\n\n\\psTdR{I_q}{$I_\\mathrm{q}$}\\psMsC{I}\n\\psMsL{R_1}\\psMsC{R_2}\\psMsR{R_3}\\psMsR{R_4}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-022-strommessung-1: Strommessung 1](assets/et1-03-022-strommessung-1/01-Strommessung_1.png)\n\n$R_1 = 10\\Omega$, $R_2 = 80\\Omega$,\n\n$R_3 = 100 \\Omega$, $R_4 = 150\\Omega$\n\n}",
    "short_solution": "$ R_\\mathrm{A} \\leq 1,99\\Omega $",
    "solution_path": "Aufgaben dieses Typs sind zweckmäßig mit der Zweipolersatzschaltung zu lösen.\n\nZweipolersatzschaltung: Auftrennen an $R_4$\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-022-strommessung-1: Strommessung 1 w1](assets/et1-03-022-strommessung-1/02-Strommessung_1_w1.png)\n\nSollwert $I = I_K$,\nInnenwiderstand $R_i = R_4 + R_3 \\Vert (R_1 + R_2) = { 197,37\\Omega}$\n\nMesswert, wenn Amperemeter mit $R_A$ zugeschaltet wird:\n$ I_M = I_K \\frac{R_i}{R_i + R_A}$\n\nrelative Abweichung:\n\n$ \\frac{\\Delta I}{I} = \\frac{I - I_M}{I} = 1 - \\frac{I_M}{I} = -\\frac{R_A}{R_i + R_A}$\n\n\\smallskip\n$ \\left| \\frac{\\Delta I}{I} \\right| \\leq 0,01 \\Rightarrow \nR_A \\leq { 1,99\\Omega}$\n\n\\medskip\nbzw. mit Näherung: $ \\frac{\\Delta I}{I} \\approx -\\frac{R_A}{R_i}$ für $R_A \\ll R_i$\n\n$\\Rightarrow R_A \\leq 10^{-2} R_i = 1,97\\Omega$",
    "figures": [
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        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "Strommessung_1",
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        "role": "loesungsweg",
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        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-022-strommessung-1: Strommessung 1 w1",
        "psfrag_substitutions": {
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      "chunk_id": "get-2425-v026-c03",
      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 3",
      "heading": "Anwendungsbeispiel Stromteiler",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE",
      "content": "Als Anwendungsbeispiel für die Stromteilerregel wird die Messbereichserweiterung eines Strommessers gezeigt. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE&t=450s}{[00:07:30]} Ein Strommesser mit einem Innenwiderstand von \\(R_A = 0,5 \\, \\Omega\\) und einem Endausschlag von \\(I_{A,max} = 3 \\, A\\) soll so erweitert werden, dass Ströme bis zu \\(I_{max} = 15 \\, A\\) gemessen werden können. Dazu wird ein Parallelwiderstand \\(R\\) benötigt. Die Formel für die Stromteilerregel wird nach dem gesuchten Widerstand \\(R\\) umgestellt:\n\\[ R = \\frac{I_{A,max} \\cdot R_A}{I_{max} - I_{A,max}} \\]\nEinsetzen der Werte ergibt:\n\\[ R = \\frac{3 \\, A \\cdot 0,5 \\, \\Omega}{15 \\, A - 3 \\, A} = \\frac{1,5 \\, V}{12 \\, A} = 0,125 \\, \\Omega = 125 \\, m\\Omega \\]\nEs wird also ein Parallelwiderstand von \\(125 \\, m\\Omega\\) benötigt. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE&t=728s}{[00:12:08]}"
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