skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.24.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "3.24",
    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Spannungsmessung",
    "question": "\\mpBR{8cm}{\nDie Spannung $U_{\\klemme{AB}}$ soll mit einem Voltmeter mit dem Widerstand \\linebreak $R_\\mathrm{V} = 1\\mathrm{k}\\Omega$ gemessen werden.\n\n- Um wieviel Prozent weicht die gemessene Spannung vom Sollwert ab?\n\n- Wie muss der Instrumentenwiderstand $R_\\mathrm{V}$ gewählt werden, damit die Messabweichung unter $1\\%$ bleibt?\n\n}\n{\n\n\\psMsC{R_1}\\psMsR{R_2}\\psMsL{R_3}\n\\psTdR{U_{q1}}{$U_\\mathrm{q1}$}\\psTdC{U_{q2}}{$U_\\mathrm{q2}$}\n\\psTdL{A}{\\klemme{A}}\\psTdL{B}{\\klemme{B}}\n\\psTdC{V}{V}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-024-spannungsmessung-1: Spannungsmessung 1](assets/et1-03-024-spannungsmessung-1/01-Spannungsmessung_1.png)\n\n$R_1 = R_2 = 100 \\Omega$, $R_3 = 50\\Omega$\n\n$ U_\\mathrm{q1} = 100 \\mathrm{V}$, $U_\\mathrm{q2} = 50 \\mathrm{V}$\n\n}",
    "short_solution": "a) $\\dfrac{\\Delta U_{\\klemme{AB}}}{U_\\mathrm{L}}=-0,0244 $ \\:\\: b) $ R_\\mathrm{V} > 2475 \\Omega $",
    "solution_path": "- Aufgaben dieses Typs sind zweckmäßig mit der Zweipolersatzschaltung zu lösen.\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-024-spannungsmessung-1: Spannungsmessung 1 w1](assets/et1-03-024-spannungsmessung-1/02-Spannungsmessung_1_w1.png)\n\nAllgemein gilt: $\\text{Sollwert~~} U_{\\klemme{AB}} = U_L$\\;; \n$\\text{Istwert~~} U_{\\klemme{AB}\\text{M}} = U_L \\frac{R_V}{R_V + R_i}$\n\n\\smallskip\nrelative Abweichung: $\\frac{\\Delta U_{\\klemme{AB}}}{U_{\\klemme{AB}}} = \\frac{U_{\\klemme{AB}\\text{M}} - U_L}{U_L}\n= \\frac{U_{\\klemme{AB}\\text{M}}}{U_L} - 1 = \\frac{R_V}{R_V + R_i} - 1$,\n\\ \\ \n\\fbox{$\\frac{\\Delta U_{\\klemme{AB}}}{U_{\\klemme{AB}}} = -\\frac{R_i}{R_V + R_i}$}\n\n\\smallskip\n\nBestimmung von $R_i$:\n\n$R_i = R_1 \\Vert R_2 \\Vert R_3 = { 25\\Omega}$, \n$\\frac{\\Delta U_{\\klemme{AB}}}{U_\\klemme{AB}} = -\\frac{25}{1025} = -0,0244 \\approx { -2,4\\%}$\n\nHinweis: für kleine Messabweichungen bzw.\\ $R_V \\gg R_i$ gilt: \n\\fbox{$\\frac{\\Delta U_{\\klemme{AB}}}{U_{\\klemme{AB}}} \\approx -\\frac{R_i}{R_V}$}\n\n- $\\left| \\dfrac{\\Delta U_\\mathrm{AB}}{U_\\mathrm{AB}}\\right| = \\left| \\dfrac{-R_i}{R_V+R_i}\\right| < 0,01 $\n\n$ R_V+R_i > 100 R_i \\rightarrow R_V > 99 R_i = 2475 \\Omega \\approx 100 R_i = { 2,5\\mathrm{k}\\Omega}$",
    "figures": [
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        "source_asset": "3-Elementare_Schaltungsanalyse/bilder/Spannungsmessung_1.eps",
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        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-024-spannungsmessung-1: Spannungsmessung 1",
        "psfrag_substitutions": {
          "I": "$I$",
          "RV": "$R_V$",
          "Ri": "$R_i$",
          "UL": "$U_L$"
        }
      },
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        "role": "loesungsweg",
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        "source_asset": "3-Elementare_Schaltungsanalyse/bilder/Spannungsmessung_1_w1.eps",
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        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-024-spannungsmessung-1: Spannungsmessung 1 w1",
        "psfrag_substitutions": {
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  },
  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v025-c01",
      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 2",
      "heading": "Belasteter Spannungsteiler",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug",
      "content": "Der unbelastete Spannungsteiler, wie er zuvor eingeführt wurde, besteht aus einer Reihenschaltung von zwei Widerständen. Die Frage, die hier geklärt wird, ist, wie man vorgeht, wenn die Schaltung mehr als zwei Widerstände enthält, insbesondere wenn ein Lastwiderstand parallel zu einem der Widerstände geschaltet ist (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=38s}{[00:00:38]}).\n\nDie Schaltung besteht aus einem Widerstand $R_1$ in Reihe mit einer Parallelschaltung aus dem Widerstand $R_2$ und einem Lastwiderstand $R_L$. Über dieser Anordnung liegt die Gesamtspannung $U$ an. Gesucht ist die Ausgangsspannung $U_2$ über der Parallelschaltung.\n\nUm den Spannungsteiler anwenden zu können, wird eine Ersatzschaltung gebildet, indem die Parallelschaltung aus $R_2$ und $R_L$ zu einem Ersatzwiderstand zusammengefasst wird. Die Schaltung wird so auf eine Reihenschaltung von zwei Widerständen reduziert: $R_1$ und der Ersatzwiderstand $R_{2||L} = R_2 || R_L$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=130s}{[00:02:10]}).\n\nDie Spannungsteilerregel lautet dann:\n\\[ \\frac{U_2}{U} = \\frac{R_2 || R_L}{R_1 + (R_2 || R_L)} \\]\nDurch Auflösen des Parallel-Operators erhält man (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=213s}{[00:03:33]}):\n\\[ \\frac{U_2}{U} = \\frac{\\frac{R_2 \\cdot R_L}{R_2 + R_L}}{R_1 + \\frac{R_2 \\cdot R_L}{R_2 + R_L}} \\]\nNach weiterer Umformung ergibt sich die Formel für die Ausgangsspannung $U_2$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=271s}{[00:04:31]}):\n\\[ U_2 = U \\cdot \\frac{R_2}{R_1 + R_2 + \\frac{R_1 \\cdot R_2}{R_L}} \\]\nAus dieser Formel lässt sich der Einfluss des Lastwiderstandes $R_L$ auf die Ausgangsspannung $U_2$ ablesen:\n\\begin{itemize}\n\t\\item Für $R_L \\to 0$ (Kurzschluss) wird der Nenner unendlich groß und $U_2 \\to 0$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=404s}{[00:06:44]}).\n\t\\item Für $R_L \\to \\infty$ (Leerlauf) wird der Term $\\frac{R_1 \\cdot R_2}{R_L}$ zu Null und man erhält die Formel für den unbelasteten Spannungsteiler: $U_2 = U \\cdot \\frac{R_2}{R_1 + R_2}$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=436s}{[00:07:16]}).\n\\end{itemize}"
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v024-c02",
      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 1",
      "heading": "Anwendungsbeispiel: Messbereichserweiterung eines Spannungsmessers",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg",
      "content": "\\href{https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg&t=614s}{Ein weiteres Beispiel} ist die Erweiterung des Messbereichs eines Spannungsmessers. Um mit einem Messgerät, das für maximal 10V ausgelegt ist, Spannungen bis zu 100V messen zu können, wird ein Vorwiderstand in Reihe geschaltet.\n\nGegeben:\n\\begin{itemize}\n\t\\item Innenwiderstand des Spannungsmessers \\(R_V = 600k\\Omega\\)\n\t\\item Endausschlag bei \\(U_{V,max} = 10V\\)\n\t\\item Zu messende Spannung \\(U_{max} = 100V\\)\n\\end{itemize}\n\nGesucht: Vorwiderstand R\n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg&t=820s}{Die Formel zur Berechnung des Vorwiderstandes lautet}:\n\n\\begin{equation}\n\tR = R_V \\frac{U_{max} - U_{V,max}}{U_{V,max}}\n\\end{equation}\n\nEinsetzen der Werte ergibt:\n\n\\begin{equation}\n\tR = 600k\\Omega \\frac{100V - 10V}{10V} = 5,4M\\Omega\n\\end{equation}"
    }
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