skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.25.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "3.25",
    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Strommessung",
    "question": "\\mpBR{\\iffoil9cm\\else6.1cm}{\nBerechnen Sie allgemein und zahlenmäßig\n\n- den Strom $I$,\n\n- die relative Abweichung, wenn zur Messung dieses Stromes ein\nStrommesser mit dem Widerstand $R_\\mathrm{A} = 10 \\Omega$ verwendet wird.\n\n- Wie groß darf der Instrumentenwiderstand $R_\\mathrm{A}$ maximal sein, \nwenn der Strom $I$ mindestens auf $1\\%$ genau gemessen werden soll?\n\n}\n{\n\n\\psTdR{U_{q1}}{$U_\\mathrm{q}$}\n\\psMsL{R_1}\\psMsC{R_2}\\psMsC{R_3}\\psMsC{R_4}\\psMsC{R_5}\\psMsL{R_6}\n\\psTdL{A}{\\klemme{A}}\\psTdL{B}{\\klemme{B}}\n\\psMsL{I}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-025-strommessung-2: Strommessung 2](assets/et1-03-025-strommessung-2/01-Strommessung_2.png)\n\n$R_1 = 10\\Omega$, $R_2 = 50 \\Omega$, $R_3 = 40\\Omega$, $R_4 = 20\\Omega$, $R_5 = 30 \\Omega$, $R_6 = 100\\Omega$, $ U_\\mathrm{q} = 20 \\mathrm{V}$\n}",
    "short_solution": "a) $ I=0,1\\mathrm{A} $ \\:\\: b) $ \\dfrac{\\Delta I}{I}=-0,091 $ \\:\\: c) $R_\\mathrm{A} \\leq 1,01\\Omega $",
    "solution_path": "- mit Stromteilerregel: \n\\begin{align*}\nI &= \\frac{U_q}{R_1 + R_2 + R_3 + R_6 \\Vert (R_4 + R_5)} \\cdot \\frac{R_6}{R_4 + R_5 + R_6} \n\n&= \\frac{U_q R_6}{(R_1+R_2+R_3)(R_4+R_5+R_6)+R_6(R_4+R_5)}= { 0,1\\mathrm{A}}\n\\end{align*}\n\n- zweckmäßig mit der Zweipolersatzschaltung lösen\n\n\\mpBR{8cm}{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-025-strommessung-2: Strommessung 2 w2](assets/et1-03-025-strommessung-2/02-Strommessung_2_w2.png)\n\n}{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-025-strommessung-2: Strommessung 2 w1](assets/et1-03-025-strommessung-2/03-Strommessung_2_w1.png)\n\n}\n\nAllgemein gilt: $\\text{Sollwert}\\ I = I_K$, \n$ \\text{Istwert}\\ I_\\text{M} = I_K \\frac{R_i}{R_i + R_A}$,\n\n$\\text{Absolute Abweichung:}\\ \\Delta I = I_\\text{M} - I$\n\nRelative Abweichung: $ \\frac{\\Delta I}{I} \n= \\frac{I_\\text{M} - I_K}{I_K}\n= \\frac{I_\\text{M}}{I_K}-1 = \\frac{R_i}{R_A + R_i}-1 = -\\frac{R_A}{R_A + R_i}$\n\n\\medskip \nInnenwiderstand $R_i = (R_4 + R_5) + R_6 \\Vert (R_1 + R_2 + R_3) = { 100\\Omega}$\n\n$ \\frac{\\Delta I}{I} = \\frac{-10}{110} = -0,091 =\\ { -9,1\\%}$\n\n\\medskip\nNäherung für kleine Abweichungen bzw.\\ $R_A \\ll R_i$: \n$ \\frac{\\Delta I}{I} = \\frac{-R_A}{R_i}$\n\n- $\\left| \\frac{\\Delta I}{I} \\right| = \\frac{R_A}{R_A + R_i} \\leq k$, $k = 0,01$\n\n\\smallskip \n$R_A \\leq \\frac{k R_i}{1 - k}$\n\n\\smallskip \n$R_A \\leq { 1,01\\Omega}$\n\n\\smallskip \nFür obige Näherung gilt: $R_A \\leq 10^{-2} R_i = {1\\Omega}$",
    "figures": [
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        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-025-strommessung-2: Strommessung 2 w1",
        "psfrag_substitutions": {
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      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 3",
      "heading": "Anwendungsbeispiel Stromteiler",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE",
      "content": "Als Anwendungsbeispiel für die Stromteilerregel wird die Messbereichserweiterung eines Strommessers gezeigt. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE&t=450s}{[00:07:30]} Ein Strommesser mit einem Innenwiderstand von \\(R_A = 0,5 \\, \\Omega\\) und einem Endausschlag von \\(I_{A,max} = 3 \\, A\\) soll so erweitert werden, dass Ströme bis zu \\(I_{max} = 15 \\, A\\) gemessen werden können. Dazu wird ein Parallelwiderstand \\(R\\) benötigt. Die Formel für die Stromteilerregel wird nach dem gesuchten Widerstand \\(R\\) umgestellt:\n\\[ R = \\frac{I_{A,max} \\cdot R_A}{I_{max} - I_{A,max}} \\]\nEinsetzen der Werte ergibt:\n\\[ R = \\frac{3 \\, A \\cdot 0,5 \\, \\Omega}{15 \\, A - 3 \\, A} = \\frac{1,5 \\, V}{12 \\, A} = 0,125 \\, \\Omega = 125 \\, m\\Omega \\]\nEs wird also ein Parallelwiderstand von \\(125 \\, m\\Omega\\) benötigt. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE&t=728s}{[00:12:08]}"
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