skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.29.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "3.29",
    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Arbeitspunkt",
    "question": "Gegeben ist die im Bild dargestellte Diodenschaltung. Die Diode habe\n\nim Fall 1 die angegebene idealisierte Kennlinie,\n\nim Fall 2 die reale Kennlinie $I=I_\\mathrm{S}\\left(\\mathrm{e}^{\\frac{U}{m U_\\mathrm{T}}}-1\\right)$ mit $I_\\mathrm{S}=2,5\\nA$ und $m U_\\mathrm{T}=40\\mathrm{mV}$.\n\n- Ermitteln Sie für beide Fälle, in welchem Betriebszustand sich die\nDiode für die Spannungen $U_\\mathrm{q1} = 5 \\mathrm{V}$, $U_\\mathrm{q2} = 1 \\mathrm{V}$,\n$U_\\mathrm{q3} = 0,3 \\mathrm{V}$ und $U_\\mathrm{q4} = -3 \\mathrm{V}$ befindet und verdeutlichen Sie die\nErgebnisse grafisch.\n\n- Bestimmen Sie für beide Fälle die Spannung $U$ und den Strom $I$\nfür $U_\\mathrm{q1} = 5 \\mathrm{V}$.\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-029-arbeitspunkt-1: Arbeitspunkt 1](assets/et1-03-029-arbeitspunkt-1/01-Arbeitspunkt_1.png)\n\n{\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-029-arbeitspunkt-1: Diodenkennlinie ideal](assets/et1-03-029-arbeitspunkt-1/02-Diodenkennlinie_ideal.png)\n}\n\n{}",
    "short_solution": "\\begin{tabular}{p{1em}p{5em}p{7em}p{7,5em}}\nb) & Fall 1: & $U=0,7\\mathrm{V}$; & $ I=43\\mathrm{mA}$\n\n& Fall 2:& $ U=0,6667\\mathrm{V}$; & $ I=43,3\\mathrm{mA} $\n\\end{tabular}",
    "solution_path": "- Allgemein mit dem MS: \n$$\nU_q = IR + U(I) \n\\Rightarrow I = \\frac{U_q - U(I)}{R } > 0 \\text{für } U_{q} > U(I)\n$$\n\\begin{description}\n\n- Fall 1:: $U_{q} > U=U_{F} = 0,\\!7 \\mathrm{V} = \\mathrm{konst} \\Rightarrow $Diode leitet für \n$U_{q1}$ und $U_{q2 }$\n\n- Fall 2:: $U_{q} > U=U(I) > 0,\\!5 \\mathrm{V} \\Rightarrow $Diode leitet für \n$U_{q1}$ und $U_{q2}$.\n\\end{description}\n\n\\rBild{scale=1.4}{_w_1}\n\n\\rBild{scale=0.5}{_w_1}\n\n- \\begin{description}\n\n- Fall 1:: $U = U_F = U_{q1} - IR \n\\Rightarrow {U} = 0,\\!7 \\mathrm{V},\\; I = 43 \n\\mathrm{mA} $\n\n- Fall 2:: $U = U_{q1} - I_S R \\cdot e^\\frac{U}{mU_T } \\Rightarrow \n\nf (U) = U_{q1} - I_S R \\cdot e^\\frac{U}{mU_T } - U = 0$;\n\n\\end{description}\n\\ \n\nzahlenmäßige Auswertung für $I_{S} = 2,\\!5 \\cdot 10^{-9} \\mathrm{A}, {mU}_{T}= 40 \\mathrm{mV}, R = 100 \\Omega$:\n\n$ f(U) = 5 - 2,\\!5 \\cdot 10^{-7}\\cdot \\exp \\left(25\\cdot (U/\\mathrm{V})\\right) - (U/\\mathrm{V})= 0$\n[h!]\n\\begin{tabular}{|p{55pt}|l|l|}\n\\hline\nWert& \n$U/\\mathrm{V}$& \n$f(U)$ \n\n\\hline\n1& \n0,660& \n0,677 \n\n\\hline\n2& \n0,665& \n0,185 \n\n\\hline\n3& \n0,668& \n-0,142\n\n\\hline\n4& \n0,670& \n-0,373\n\n\\hline\n\\end{tabular}\n\nLineare Interpolation zwischen den Werten 2 und 3 liefert \n\\[\nU=0,665\\mathrm{V}+\\dfrac{0,668-0,665}{-0,142-0,185}\\cdot(-0,185) \\mathrm{V}\n\\]\n\\[U=0,6667\\mathrm{V}\n\\]\n\\[\nI=\\dfrac{U_q-U}{R}=43,3\\mathrm{mA} \\,.\n\\]",
    "figures": [
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        "role": "aufgabenstellung",
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        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-029-arbeitspunkt-1: Diodenkennlinie ideal"
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  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v031-c00",
      "lecture_chapter": "3.4",
      "video_title": "Kap. 3.4 Grafische Analyse",
      "heading": "Einführung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=7SIVRc0Pzmo",
      "content": "Dieses Video behandelt die \\href{https://www.youtube.com/watch?v=7SIVRc0Pzmo&t=38s}{grafische Analyse eines nichtlinearen Netzwerks}. Im Gegensatz zu Verfahren wie dem Überlagerungssatz oder der Zweipoltheorie, die nur auf lineare Netzwerke anwendbar sind, bietet die grafische Analyse eine Methode, um auch mit nichtlinearen Bauelementen wie Dioden oder Glühlampen umzugehen.\n\nGesucht sind der Strom und die Spannung in einem bestimmten Zweig des Netzwerks.\n\nDer Lösungsalgorithmus wird in drei Schritten vorgestellt:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=7SIVRc0Pzmo&t=59s}{Aufteilen des Netzwerks in zwei Zweipole (ZP 1 und ZP 2)}. An der Schnittstelle der beiden Zweipole gelten die folgenden Bedingungen für die Spannung U und den Strom I:\n\t\\begin{align*}\n\t\tU_1 &= U_2 \\\\\n\t\tI_1 &= I_2\n\t\\end{align*}\n\tHierbei wird für den einen Zweipol das Erzeugerzählpfeilsystem und für den anderen das Verbraucherzählpfeilsystem verwendet.\n\t\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=7SIVRc0Pzmo&t=93s}{Eintragen der Kennlinien der beiden Zweipole in ein gemeinsames I-U-Diagramm}.\n\t\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=7SIVRc0Pzmo&t=124s}{Ablesen der Lösung aus dem Schnittpunkt der beiden Kennlinien}. Dieser Schnittpunkt wird auch Arbeitspunkt genannt und stellt das Strom-Spannungs-Paar dar, das sich an den Anschlussklemmen einstellt.\n\\end{enumerate}\n\nAnschließend wird die Methode an einem \\href{https://www.youtube.com/watch?v=7SIVRc0Pzmo&t=169s}{Beispiel} demonstriert: Ein Netzwerk bestehend aus einer Konstantspannungsquelle, einem Vorwiderstand und einer Leuchtdiode.\n\\begin{itemize}\n\t\\item Spannungsquelle: $U_q = 5\\,\\text{V}$\n\t\\item Vorwiderstand: $R_v = 100\\,\\Omega$\n\\end{itemize}\n\nDas Netzwerk wird aufgeteilt in:\n\\begin{itemize}\n\t\\item ZP 1: Der aktive lineare Zweipol, bestehend aus Spannungsquelle und Vorwiderstand.\n\t\\item ZP 2: Der nichtlineare passive Zweipol, die Leuchtdiode.\n\\end{itemize}\n\nDie \\href{https://www.youtube.com/watch?v=7SIVRc0Pzmo&t=221s}{Kennlinien} werden gezeichnet:\n\\begin{itemize}\n\t\\item Die Kennlinie von ZP 1 ist eine Gerade, die durch die Leerlaufspannung ($5\\,\\text{V}$) und den Kurzschlussstrom ($50\\,\\text{mA}$) bestimmt ist.\n\t\\item Die Kennlinie von ZP 2 ist die typische exponentiell ansteigende Diodenkennlinie.\n\\end{itemize}\n\nDurch \\href{https://www.youtube.com/watch?v=7SIVRc0Pzmo&t=272s}{Ablesen des Schnittpunktes} der beiden Kennlinien im Diagramm ergibt sich die Lösung für den Arbeitspunkt:\n\\begin{align*}\n\tI &\\approx 28\\,\\text{mA} \\\\\n\tU &\\approx 2,2\\,\\text{V}\n\\end{align*}"
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