skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.3.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "3.3",
    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Spannungs- und Stromteiler",
    "question": "\\mpBR{7.7cm}{\nBerechnen Sie die Spannung $U_4$ (allgemeiner Ansatz und für $R_1=R_3=R_4=R$ und $R_2=2R$)\n\n- mit der Spannungsteilerregel und\n\n- mit der Stromteilerregel.\n\n}\n{\n\n\\psMsC{R_1}\\psMsC{R_3}\\psMsL{R_2}\\psMsR{R_4}\n\\psMsL{U_4}\\psTdR{U_q}{$U_\\mathrm{q}$}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-003-spannungs_und_stromteiler-3: Spannungs und Stromteiler 3](assets/et1-03-003-spannungs_und_stromteiler-3/01-Spannungs_und_Stromteiler_3.png)\n\n}",
    "short_solution": "$U_4=\\frac{U_\\mathrm{q}}{4}$",
    "solution_path": "- Doppelter Spannungsteiler\n\n\\begin{align*}\nU_4 &= U_\\mathrm{q}\\cdot \\dfrac{R_2||(R_3+R_4)}{R_1+R_2||(R_3+R_4)}\\cdot \\dfrac{R_4}{R_3+R_4}\t\n\nU_4 &= U_\\mathrm{q}\\cdot \\dfrac{2R||2R}{R+2R||2R}\\cdot \\dfrac{R}{2R}=U_\\mathrm{q}\\cdot \\dfrac{R}{R+R}\\cdot \\dfrac{1}{2}=\\dfrac{U_\\mathrm{q}}{4}\n\\end{align*}\n\n- Gesamtstrom und Stromteiler\n\n\\begin{align*}\nU_4 &= R_4\\cdot I_4=R_4 \\dfrac{U_\\mathrm{q}}{R_1+R_2||(R_3+R_4)}\\cdot \\dfrac{R_2}{R_2+R_3+R_4}\t\n\nU_4 &=R\\cdot \\dfrac{U_\\mathrm{q}}{R+2R||2R}\\cdot \\dfrac{2R}{2R+R+R}= \\dfrac{U_\\mathrm{q}}{2}\\cdot \\dfrac{1}{2}=\\dfrac{U_\\mathrm{q}}{4}\n\\end{align*}",
    "figures": [
      {
        "id": "et1-03-003-spannungs_und_stromteiler-3-fig-01",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "Spannungs_und_Stromteiler_3",
        "source_asset": "3-Elementare_Schaltungsanalyse/bilder/Spannungs_und_Stromteiler_3.eps",
        "asset": "assets/et1-03-003-spannungs_und_stromteiler-3/01-Spannungs_und_Stromteiler_3.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-003-spannungs_und_stromteiler-3: Spannungs und Stromteiler 3"
      }
    ]
  },
  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v024-c01",
      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 1",
      "heading": "Spannungsteiler",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg",
      "content": "Ein Spannungsteiler wird verwendet, um eine Spannung in kleinere Teilspannungen zu zerlegen. Er besteht aus einer \\textbf{Reihenschaltung von zwei Widerständen}, R1 und R2.\n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg&t=235s}{Die Formel für den Spannungsteiler lautet}:\n\n\\begin{equation}\n\t\\frac{U_2}{U} = \\frac{R_2}{R_1 + R_2}\n\\end{equation}\n\nDabei ist:\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\(U_2\\): die Teilspannung über dem Widerstand R2\n\t\\item U: die Gesamtspannung\n\t\\item \\(R_1\\), \\(R_2\\): die beiden Widerstände\n\\end{itemize}\n\nDas Verhältnis der Teilspannungen entspricht dem Verhältnis der Widerstände:\n\n\\begin{equation}\n\t\\frac{U_2}{U_1} = \\frac{R_2}{R_1}\n\\end{equation}\n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg&t=375s}{Als Anwendungsbeispiel} wird das \\textbf{Potentiometer} vorgestellt, bei dem durch einen verschiebbaren Abgriff das Verhältnis der Teilwiderstände und somit die Teilspannung stufenlos verändert werden kann."
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v026-c02",
      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 3",
      "heading": "Stromteiler",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE",
      "content": "Die Stromteilerregel ist das Äquivalent zur Spannungsteilerregel für Parallelschaltungen. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE&t=35s}{[00:00:35]} Hier teilt sich der Gesamtstrom \\(I\\) auf die beiden parallel geschalteten Widerstände \\(R_1\\) und \\(R_2\\) in die Teilströme \\(I_1\\) und \\(I_2\\) auf. An beiden Widerständen liegt dieselbe Spannung \\(U\\) an. Die Teilströme lassen sich wie folgt berechnen:\n\\begin{align*}\n\tI_1 &= \\frac{U}{R_1} = U \\cdot G_1 \\\\\n\tI_2 &= \\frac{U}{R_2} = U \\cdot G_2\n\\end{align*}\nHierbei ist \\(G\\) der Leitwert, der Kehrwert des Widerstandes. Der Gesamtstrom \\(I\\) ist die Summe der Teilströme:\n\\[ I = I_1 + I_2 = (G_1 + G_2) \\cdot U \\]\nDas Verhältnis der Teilströme zueinander ist:\n\\[ \\frac{I_2}{I_1} = \\frac{G_2}{G_1} = \\frac{R_1}{R_2} \\]\nDas Verhältnis der Teilströme ist also gleich dem Verhältnis der Leitwerte oder dem umgekehrten Verhältnis der Widerstände. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE&t=167s}{[00:02:47]}\n\nFür das Verhältnis des Teilstroms \\(I_2\\) zum Gesamtstrom \\(I\\) ergibt sich:\n\\[ \\frac{I_2}{I} = \\frac{G_2}{G_1 + G_2} = \\frac{\\frac{1}{R_2}}{\\frac{1}{R_1} + \\frac{1}{R_2}} = \\frac{R_1}{R_1 + R_2} \\]\nDas Verhältnis eines Teilstroms zum Gesamtstrom entspricht dem Verhältnis des Widerstandes des nicht durchflossenen Zweiges zur Summe der Widerstände. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE&t=320s}{[00:05:20]}"
    }
  ]
}