skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.5.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "3.5",
    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Spannungs- und Stromteiler",
    "question": "\\mpBR{7.2cm}{\nBerechnen Sie den Strom $I_3$ durch den Widerstand $R_3$\n\n- mit der Spannungsteilerregel,\n\n- mit der Stromteilerregel, \n\nfür $U_\\mathrm{q} = 10 \\mathrm{V}$, $R_1 = 20\\Omega$, $R_2 = 10\\Omega$,\n$R_3 =\nR_4 = R_5 = 30\\Omega$. } {\n\n\\psMsL{R_1}\\psMsC{R_2}\\psMsR{R_3}\\psMsR{R_4}\\psMsR{R_5}\n\\psMsR{I_3}\n\\psMsL{U_4}\\psTdR{U_q}{$U_\\mathrm{q}$}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-005-spannungs_und_stromteiler-4: Spannungs und Stromteiler 4](assets/et1-03-005-spannungs_und_stromteiler-4/01-Spannungs_und_Stromteiler_4.png)\n\n}",
    "short_solution": "$I_3= U_\\mathrm{q} \\cdot \\frac{R_4 R_5}{R_3 R_4 R_5 + R_2 (R_3 R_4 + R_4 R_5 + R_3 R_5)}=0,167\\mathrm{A}$",
    "solution_path": "\\hinw{Der Widerstand $R_1$ hat keinen Einfluss auf $I_3$.}\n\n- \\[ I_3 = \\frac{U_3}{R_3} = \\frac{U_q}{R_3} \\cdot \\frac{R_3 || R_4 || R_5}{R_2 + R_3 || R_4 || R_5} \n\\cdot U_q \n\\]\n\\[I_3= \\frac{U_q}{R_3} \\cdot \\frac{\\dfrac{1}{\\frac{1}{R_3}+\\frac{1}{R_4}+\\frac{1}{R_5}}}{R_2+\\dfrac{1}{\\frac{1}{R_3}+\\frac{1}{R_4}+\\frac{1}{R_5}}} = \\frac{U_q}{R_3} \\cdot \\dfrac{1}{1 + R_2 \\left(\\frac{1}{R_3}+\\frac{1}{R_4}+\\frac{1}{R_5}\\right)} \\Biggm| \\cdot R_3 R_4 R_5\n\\]\n\\[I_3= U_q \\cdot \\frac{R_4 R_5}{R_3 R_4 R_5 + R_2 (R_3 R_4 + R_4 R_5 + R_3 R_5)} =\\frac{1}{6}\\mathrm{A} = { 0,167\\mathrm{A}} \n\\]\n\n- \\[ I_3 = \\frac{U_q}{R_2 + R_3 || R_4 || R_5} \\cdot \\frac{R_4 || R_5}{R_3 + R_4 || R_5} \n\\]\n\\[I_3= \\frac{U_q}{R_2+\\dfrac{1}{\\frac{1}{R_3}+\\frac{1}{R_4}+\\frac{1}{R_5}}} \\cdot \\frac{R_4 R_5}{R_4 R_5 + R_3(R_4 + R_5)}\n\\]\n\\[ I_3 = U_q \\cdot \\frac{\\frac{1}{R_3}+\\frac{1}{R_4}+\\frac{1}{R_5}}{1+ R_2\\left(\\frac{1}{R_3}+\\frac{1}{R_4}+\\frac{1}{R_5} \\right) }\\cdot \\frac{R_4 R_5}{R_3 R_4 + R_4 R_5 + R_3 R_5} \\Biggm| \\cdot R_3 R_4 R_5\n\\]\n\\[ I_3 = U_q \\cdot \\frac{R_3 R_4 + R_4 R_5 + R_3 R_5}{R_3 R_4 R_5 + R_2 (R_3 R_4 + R_4 R_5 + R_3 R_5)}\\cdot \\frac{R_4 R_5}{R_3 R_4 + R_4 R_5 + R_3 R_5}\n\\]\n\\[I_3= U_q \\cdot \\frac{R_4 R_5}{R_3 R_4 R_5 + R_2 (R_3 R_4 + R_4 R_5 + R_3 R_5)} =\\frac{1}{6}\\mathrm{A} = { 0,167\\mathrm{A}} \n\\]",
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        "id": "et1-03-005-spannungs_und_stromteiler-4-fig-01",
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        "latex_reference": "Spannungs_und_Stromteiler_4",
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      "chunk_id": "get-2425-v024-c01",
      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 1",
      "heading": "Spannungsteiler",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg",
      "content": "Ein Spannungsteiler wird verwendet, um eine Spannung in kleinere Teilspannungen zu zerlegen. Er besteht aus einer \\textbf{Reihenschaltung von zwei Widerständen}, R1 und R2.\n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg&t=235s}{Die Formel für den Spannungsteiler lautet}:\n\n\\begin{equation}\n\t\\frac{U_2}{U} = \\frac{R_2}{R_1 + R_2}\n\\end{equation}\n\nDabei ist:\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\(U_2\\): die Teilspannung über dem Widerstand R2\n\t\\item U: die Gesamtspannung\n\t\\item \\(R_1\\), \\(R_2\\): die beiden Widerstände\n\\end{itemize}\n\nDas Verhältnis der Teilspannungen entspricht dem Verhältnis der Widerstände:\n\n\\begin{equation}\n\t\\frac{U_2}{U_1} = \\frac{R_2}{R_1}\n\\end{equation}\n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg&t=375s}{Als Anwendungsbeispiel} wird das \\textbf{Potentiometer} vorgestellt, bei dem durch einen verschiebbaren Abgriff das Verhältnis der Teilwiderstände und somit die Teilspannung stufenlos verändert werden kann."
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v026-c02",
      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 3",
      "heading": "Stromteiler",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE",
      "content": "Die Stromteilerregel ist das Äquivalent zur Spannungsteilerregel für Parallelschaltungen. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE&t=35s}{[00:00:35]} Hier teilt sich der Gesamtstrom \\(I\\) auf die beiden parallel geschalteten Widerstände \\(R_1\\) und \\(R_2\\) in die Teilströme \\(I_1\\) und \\(I_2\\) auf. An beiden Widerständen liegt dieselbe Spannung \\(U\\) an. Die Teilströme lassen sich wie folgt berechnen:\n\\begin{align*}\n\tI_1 &= \\frac{U}{R_1} = U \\cdot G_1 \\\\\n\tI_2 &= \\frac{U}{R_2} = U \\cdot G_2\n\\end{align*}\nHierbei ist \\(G\\) der Leitwert, der Kehrwert des Widerstandes. Der Gesamtstrom \\(I\\) ist die Summe der Teilströme:\n\\[ I = I_1 + I_2 = (G_1 + G_2) \\cdot U \\]\nDas Verhältnis der Teilströme zueinander ist:\n\\[ \\frac{I_2}{I_1} = \\frac{G_2}{G_1} = \\frac{R_1}{R_2} \\]\nDas Verhältnis der Teilströme ist also gleich dem Verhältnis der Leitwerte oder dem umgekehrten Verhältnis der Widerstände. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE&t=167s}{[00:02:47]}\n\nFür das Verhältnis des Teilstroms \\(I_2\\) zum Gesamtstrom \\(I\\) ergibt sich:\n\\[ \\frac{I_2}{I} = \\frac{G_2}{G_1 + G_2} = \\frac{\\frac{1}{R_2}}{\\frac{1}{R_1} + \\frac{1}{R_2}} = \\frac{R_1}{R_1 + R_2} \\]\nDas Verhältnis eines Teilstroms zum Gesamtstrom entspricht dem Verhältnis des Widerstandes des nicht durchflossenen Zweiges zur Summe der Widerstände. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE&t=320s}{[00:05:20]}"
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