skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.6.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "3.6",
    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Spannungsteiler",
    "question": "Zur Verfügung stehen eine Spannungsquelle $U_\\mathrm{q} = 15 \\mathrm{V}$ und 3 Widerstände von je \\linebreak \n$R = 10 \\mathrm{k}\\Omega$.\n\n- Wie sind diese Bauelemente zu schalten, damit an einem Klemmenpaar A~B eine Teilspannung von $U_\\mathrm{{AB}} = 5 \\mathrm{V}$ erzeugt werden kann?\n\n- Welcher minimale Belastungswiderstand $R_\\mathrm{L}$ darf an die Klemmen A~B angeschlossen werden, wenn die Spannung $U_\\mathrm{{AB}}$ um maximal $10\\%$ absinken darf?",
    "short_solution": "b) $ R_\\mathrm{L}=60\\mathrm{k}\\Omega $ oder $ R_\\mathrm{L}=30\\mathrm{k}\\Omega $",
    "solution_path": "- Variante 1: \n\n\\mpBL{ 12cm 9cm}{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-006-spannungsteiler-1: Spannungsteiler 1 w1](assets/et1-03-006-spannungsteiler-1/01-Spannungsteiler_1_w1.png)\n\n}\n{\n$ U_{AB} = U_q \\cdot \\frac{R}{3R} = 5\\mathrm{V}$\n}\n\nVariante 2: \n\n\\mpBL{ 12cm 9cm}{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-006-spannungsteiler-1: Spannungsteiler 1 w2](assets/et1-03-006-spannungsteiler-1/02-Spannungsteiler_1_w2.png)\n\n}\n{\n$ U_{AB} = U_q \\cdot \\frac{0,5 R}{1,5 R} = 5\\mathrm{V}$\n}\n\n- Variante 1: \n\n\\mpBL{ 14cm 9cm}{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-006-spannungsteiler-1: Spannungsteiler 1 w3](assets/et1-03-006-spannungsteiler-1/03-Spannungsteiler_1_w3.png)\n\n}\n{\n$ U_{ABL} = U_q \\cdot \\frac{R || R_L}{2R + R || R_L}$\n}\n\n\\begin{align*}\n\\frac{U_{ABL}-U_{AB}}{U_{AB}} &= -10\\% = -0,1\n\n\\frac{U_{ABL}}{U_{AB}}-1 &= -0,1\n\n\\frac{U_{ABL}}{U_{AB}} &= 0,9\n\\end{align*}\n\n\\begin{align*}\n\\frac{U_{ABL}}{U_q}= \\frac{U_{ABL}}{3 U_{AB}} &= \\frac{R||R_L}{2R+R||R_L} = \\frac{1}{1+\\frac{2R}{R||R_L}}\n\n0,3 &= \\frac{1}{1+ 2R \\left(\\frac{1}{R}+ \\frac{1}{R_L} \\right)}=\\frac{1}{3+2\\frac{R}{R_L}}\n\n\\frac{1}{0,3} &= 3 + 2\\frac{R}{R_L}\n\n\\frac{1}{3}&= 2\\frac{R}{R_L}\n\nR_L &= 6R = 60\\mathrm{k}\\Omega\n\\end{align*}\n\nVariante 2: \n\n\\mpBL{ 14cm 9cm}{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-006-spannungsteiler-1: Spannungsteiler 1 w4](assets/et1-03-006-spannungsteiler-1/04-Spannungsteiler_1_w4.png)\n\n}\n{\n$ U_{ABL} = U_q \\cdot \\frac{R || R || R_L}{R + R || R || R_L}$\n}\n\n\\begin{align*}\n\\frac{U_{ABL}}{U_q}= \\frac{U_{ABL}}{3 U_{AB}} &= \\frac{\\frac{R}{2}||R_L}{R+\\frac{R}{2}||R_L} = \\frac{1}{1+\\frac{R}{\\frac{R}{2}||R_L}}\n\n0,3 &= \\frac{1}{1+ R \\left(\\frac{2}{R}+ \\frac{1}{R_L} \\right)}=\\frac{1}{3+\\frac{R}{R_L}}\n\n\\frac{1}{0,3} &= 3 + \\frac{R}{R_L}\n\n\\frac{1}{3}&= \\frac{R}{R_L}\n\nR_L &= 3R = 30\\mathrm{k}\\Omega\n\\end{align*}",
    "figures": [
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      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 1",
      "heading": "Spannungsteiler",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg",
      "content": "Ein Spannungsteiler wird verwendet, um eine Spannung in kleinere Teilspannungen zu zerlegen. Er besteht aus einer \\textbf{Reihenschaltung von zwei Widerständen}, R1 und R2.\n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg&t=235s}{Die Formel für den Spannungsteiler lautet}:\n\n\\begin{equation}\n\t\\frac{U_2}{U} = \\frac{R_2}{R_1 + R_2}\n\\end{equation}\n\nDabei ist:\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\(U_2\\): die Teilspannung über dem Widerstand R2\n\t\\item U: die Gesamtspannung\n\t\\item \\(R_1\\), \\(R_2\\): die beiden Widerstände\n\\end{itemize}\n\nDas Verhältnis der Teilspannungen entspricht dem Verhältnis der Widerstände:\n\n\\begin{equation}\n\t\\frac{U_2}{U_1} = \\frac{R_2}{R_1}\n\\end{equation}\n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg&t=375s}{Als Anwendungsbeispiel} wird das \\textbf{Potentiometer} vorgestellt, bei dem durch einen verschiebbaren Abgriff das Verhältnis der Teilwiderstände und somit die Teilspannung stufenlos verändert werden kann."
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