skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/5.7.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "5.7",
    "chapter_number": 5,
    "chapter": "Gesteuerte Quellen",
    "title": "Operationsverstärker",
    "question": "Berechnen Sie für die beiden Operationsverstärkerschaltungen a) und b)\n\n\\psMsR{U_1}\\psMsL{U_2}\\psTdR{U_D}{$U_\\mathrm{D}$}\n\\psMdC{R1_1}{R_1}\\psMsR{R_1}\\psMsC{R_2}\n\\psTdL{aKl}{ a)}\n\\psTdL{bKl}{ b)}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-05-007-operationsverstaerker-1: Operationsverstaerker 1 2](assets/et1-05-007-operationsverstaerker-1/01-Operationsverstaerker_1_2.png)\n\njeweils die Spannung $U_\\mathrm{D}$ und das Verhältnis $U_2/U_1$ allgemein und für die Größenwerte $U_1 = 2 \\mathrm{V}$, $R_1= 10 \\mathrm{k}\\Omega$, $R_2 = 20 \\mathrm{k}\\Omega$, $v_\\mathrm{D} = 1000$.\n\nFassen Sie dazu den Operationsverstärker als spannungsgesteuerte Spannungsquelle auf.\n\n\\mpBL{8cm}{\n\n\\psTdC{I_N}{$I_\\mathrm{N}$}\\psTdC{I_P}{$I_\\mathrm{P}$}\n\\psTdL{U_N}{$U_\\mathrm{N}$}\\psTdR{U_P}{$U_\\mathrm{P}$}\\psTdL{U_a}{$U_\\mathrm{a}$}\\psTdR{U_D}{$U_\\mathrm{D}$}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-05-007-operationsverstaerker-1: Operationsverstaerker 1 1](assets/et1-05-007-operationsverstaerker-1/02-Operationsverstaerker_1_1.png)\n\n}\n{\n\\begin{align*}\nU_\\mathrm{a} &= v_\\mathrm{D}(U_\\mathrm{P}-U_\\mathrm{N}) = v_\\mathrm{D} \\cdot U_\\mathrm{D}\n\nI_\\mathrm{P} &= I_\\mathrm{N} = 0\n\\end{align*}\n}",
    "short_solution": "\\begin{tabular}{p{1em}p{14em}p{14em}}\na) & $U_\\mathrm{D}=-\\frac{R_2}{v\\,R_1+R_1+R_2}U_1$ & $ \\frac{U_2}{U_1}=-\\frac{R_2}{R_1}\\,\\frac{R_1}{R_1+\\frac{R_1+R_2}v}$\n\nb) & $U_\\mathrm{D}=\\frac{U_1}{1+v\\,\\frac{R_1}{R_1+R_2}}$ & $\\frac{U_2}{U_1}=\\left(1+\\frac{R_2}{R_1}\\right)\\,\\frac 1{1+\\frac{R_1+R_2}{v\\,R_1}}$\n\\end{tabular}",
    "solution_path": "- ~\n\n\\psMsC{I}\n\\psMsC{R_1}\n\\psMsC{R_2}\n\\psMsR{U_1}\n\\psMdL{U_a}{v\\,U_\\mathrm{D}=U_2=U_a}\n\\psMdR{U_D}{U_\\mathrm{D}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-05-007-operationsverstaerker-1: Operationsverstaerker 1 3](assets/et1-05-007-operationsverstaerker-1/03-Operationsverstaerker_1_3.png)\n\nMaschensätze:\n\\[ U_1=I\\,(R_1+R_2)+v\\,U_\\mathrm{D} \\Rightarrow I=\\frac{U_1-v\\,U_\\mathrm{D}}{R_1+R_2}\n\\]\n\\[\nU_\\mathrm{D}=-U_1+I\\,R_1 \\Rightarrow U_\\mathrm{D}=-U_1+R_1\\,\\frac{U_1-v\\,U_\\mathrm{D}}{R_1+R_2}\n\\]\n\n\\[\nU_\\mathrm{D}\\,\\left(1+\\frac{v\\,R_1}{R_1+R_2}\\right)=-U_1\\,\\left(1-\\frac{R_1}{R_1+R_2}\\right)=-U_1\\,\\frac{R_2}{R_1+R_2}\n\\]\n\n\\[\nU_\\mathrm{D}=\\frac{U_2}v=\\frac{-U_1}{1+\\frac{v\\,R_1}{R_1+R_2}}\\,\\frac{R_2}{R_1+R_2}=-\\frac{R_2}{v\\,R_1+R_1+R_2}\\,U_1\n\\]\n\noder Überlagerungssatz:\n\n\\[\nU_\\mathrm{D}=-\\frac{R_2}{R_1+R_2}U_1-\\frac{R_1}{R_1+R_2}v\\,U_\\mathrm{D}\n\\]\n\n\\[\nU_\\mathrm{D}=-\\frac{R_2}{v\\,R_1+R_1+R_2}U_1=-3,99\\mathrm{mV}\n\\]\n\n\\[\nU_2=v U_\\mathrm{D} = -\\frac{v R_2}{v\\,R_1+R_1+R_2}U_1=-3,99\\mathrm{V}\n\\]\n\\[\n\\frac{U_2}{U_1}=-\\frac v{1+\\frac{v\\,R_1}{R_1+R_2}}\\,\\frac{R_2}{R_1+R_2}=\\frac{R_2}{R_1+R_2}\\,\\frac 1{\\frac 1v+\\frac{R_1}{R_1+R_2}} = -\\frac{v\\,R_2}{v\\,R_1+R_1+R_2}\n\\]\n\\[\n\\frac{U_2}{U_1}=-\\frac{R_2}{R_1}\\cdot\\frac{1}{1+\\frac{R_1+R_2}{v\\,R_1}}=-1,99\n\\]\n\nSpezialfall $v\\rightarrow\\infty$\n\\[\n\\frac{U_2}{U_1}=-\\frac{R_2}{R_1}\n\\]\n\n- ~\n\n\\psMsC{R_1}\n\\psMsC{R_2}\n\\psMsR{U}\n\\psMsR{U_1}\n\\psMdL{U_a}{v\\,U_\\mathrm{D}=U_2=U_a}\n\\psMdR{U_D}{U_\\mathrm{D}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-05-007-operationsverstaerker-1: Operationsverstaerker 1 4](assets/et1-05-007-operationsverstaerker-1/04-Operationsverstaerker_1_4.png)\n\nSpannungsteiler:\n\\[\nU=\\frac{R_1}{R_1+R_2}\\cdot v U_\\mathrm{D}\n\\]\n\nMaschensatz:\n\\[\nU_1=U+U_\\mathrm{D}=v\\,U_\\mathrm{D}\\,\\frac{R_1}{R_1+R_2}+U_\\mathrm{D}=U_\\mathrm{D}\\,\\left(1+v\\,\\frac{R_1}{R_1+R_2}\\right)\n\\]\n\n\\[\nU_\\mathrm{D} = \\frac{U_1}{1+v\\,\\frac{R_1}{R_1+R_2}} = U_1\\frac{R_1+R_2}{R_1(1+v) + R_2} = 5,98\\mathrm{mV}\n\\]\n\noder Überlagerungssatz:\n\n\\[\nU_\\mathrm{D}=U_1-\\frac{R_1}{R_1+R_2}\\,v U_\\mathrm{D}\n\\]\n\n\\[\nU_\\mathrm{D}=\\frac{U_1}{1+v\\,\\frac{R_1}{R_1+R_2}}\n\\]\n\nhernach:\n\\[\nU_2=v\\,U_\\mathrm{D}=U_1\\,\\frac v{1+v\\,\\frac{R_1}{R_1+R_2}}=U_1\\,\\frac 1{\\frac{R_1}{R_1+R_2}+\\frac 1v}=5,98\\mathrm{V}\n\\]\n\n\\[\n\\frac{U_2}{U_1} = \\left(1+\\frac{R_2}{R_1}\\right)\\,\\frac 1{1+\\frac{R_1+R_2}{v\\,R_1}} = v \\frac{R_1+R_2}{R_1(1+v) + R_2} = 2,99\n\\]\noder direkt:\n\\[\nU_\\mathrm{D} = U_1 \\cdot k \\Rightarrow \n\\frac{U_2}{U_1} = \\frac{v U_\\mathrm{D}}{\\frac{U_\\mathrm{D}}{k}} = v \\cdot k =\nv \\frac{R_1+R_2}{R_1(1+v) + R_2} = 2,99\n\\]\n\nSpezialfall $v\\rightarrow\\infty$\n\\[\n\\frac{U_2}{U_1}=1+\\frac{R_2}{R_1} = 3\n\\]",
    "figures": [
      {
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      {
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      },
      {
        "id": "et1-05-007-operationsverstaerker-1-fig-03",
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      {
        "id": "et1-05-007-operationsverstaerker-1-fig-04",
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        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-05-007-operationsverstaerker-1: Operationsverstaerker 1 4"
      }
    ]
  },
  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v039-c01",
      "lecture_chapter": "5.3",
      "video_title": "Kap. 5.3 Beispiele und Anwendungen - Teil 2",
      "heading": "Eigenschaften des Operationsverstärkers",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=CbABvpfOujY",
      "content": "Der Operationsverstärker ist im Grunde ein \\href{https://www.youtube.com/watch?v=CbABvpfOujY&t=48s}{Differenzverstärker}, der eine sehr hohe Spannungsverstärkung $v_D$ aufweist. Typische Werte für diese Verstärkung liegen in der Größenordnung von $10^5$ \\href{https://www.youtube.com/watch?v=CbABvpfOujY&t=80s}{[00:01:20]}.\n\nDas Schaltsymbol des Operationsverstärkers ist ein Dreieck mit zwei Eingängen und einem Ausgang \\href{https://www.youtube.com/watch?v=CbABvpfOujY&t=98s}{[00:01:38]}. Die Eingänge werden als nicht-invertierender Eingang (+) und invertierender Eingang (-) bezeichnet. Für einen idealen Operationsverstärker gelten folgende Annahmen \\href{https://www.youtube.com/watch?v=CbABvpfOujY&t=205s}{[00:03:25]}:\n\\begin{itemize}\n\t\\item Die in die Eingänge fließenden Ströme sind null: $I_P = I_N = 0$. Dies ist äquivalent zu einem unendlich hohen Eingangswiderstand.\n\t\\item Die Ausgangsspannung $U_a$ ist das Produkt aus der Differenzverstärkung $v_D$ und der Differenzspannung $U_D$ zwischen den beiden Eingängen. Die Differenzspannung ist definiert als $U_D = U_P - U_N$.\n\\end{itemize}\nDaraus ergibt sich die grundlegende Gleichung für die Ausgangsspannung:\n\\[ U_a = v_D \\cdot U_D = v_D \\cdot (U_P - U_N) \\quad \\href{https://www.youtube.com/watch?v=CbABvpfOujY&t=243s}{[00:04:03]} \\]\n\nBasierend auf diesen Eigenschaften wird ein \\href{https://www.youtube.com/watch?v=CbABvpfOujY&t=297s}{Netzwerkmodell} (Ersatzschaltbild) für den idealen OPV hergeleitet. Am Eingang liegt ein Leerlauf vor, und der Ausgang wird durch eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle modelliert, deren Wert $v_D \\cdot U_D$ beträgt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=CbABvpfOujY&t=347s}{[00:05:47]}."
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v039-c02",
      "lecture_chapter": "5.3",
      "video_title": "Kap. 5.3 Beispiele und Anwendungen - Teil 2",
      "heading": "Anwendung: Invertierender Verstärker",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=CbABvpfOujY",
      "content": "Eine zentrale Anwendung des OPV ist der \\href{https://www.youtube.com/watch?v=CbABvpfOujY&t=466s}{invertierende Verstärker}. Bei dieser Schaltung wird das Eingangssignal $U_e$ über einen Widerstand $R_1$ an den invertierenden Eingang (-) angelegt. Der nicht-invertierende Eingang (+) liegt auf Masse. Eine Rückkopplung vom Ausgang zum invertierenden Eingang wird durch den Widerstand $R_2$ realisiert. Ziel ist es, die Gesamtverstärkung $v = \\frac{U_a}{U_e}$ zu bestimmen.\n\nZur Analyse wird die Schaltung durch ihr \\href{https://www.youtube.com/watch?v=CbABvpfOujY&t=640s}{Ersatzschaltbild} dargestellt. Mittels der Maschenstromanalyse werden drei Gleichungen aufgestellt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=CbABvpfOujY&t=1023s}{[00:17:03]}:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item Masche 1: $-U_e + I_e R_1 - U_D = 0 \\implies I_e = \\frac{U_e + U_D}{R_1}$\n\t\\item Masche 2: $U_D + I_e R_2 + v_D U_D = 0$\n\t\\item Masche 3: $-v_D U_D + U_a = 0 \\implies U_D = \\frac{U_a}{v_D}$\n\\end{enumerate}\n\nDurch Einsetzen der Gleichungen (1) und (3) in die Gleichung (2) erhält man einen Ausdruck, der nach der Ausgangsspannung $U_a$ umgestellt wird \\href{https://www.youtube.com/watch?v=CbABvpfOujY&t=1281s}{[00:21:21]}:\n\\[ U_a = - \\frac{R_2}{R_1} \\cdot U_e \\cdot \\frac{1}{1 + \\frac{1}{v_D} + \\frac{R_2}{R_1 v_D}} \\]\nDaraus ergibt sich die Spannungsverstärkung $v$:\n\\[ v = \\frac{U_a}{U_e} = - \\frac{R_2}{R_1} \\cdot \\frac{1}{1 + \\frac{1}{v_D} + \\frac{R_2}{R_1 v_D}} \\quad \\href{https://www.youtube.com/watch?v=CbABvpfOujY&t=1325s}{[00:22:05]} \\]\n\nFür den Grenzfall eines idealen Operationsverstärkers, bei dem die Differenzverstärkung gegen unendlich geht ($v_D \\to \\infty$), vereinfacht sich dieser Ausdruck, da die Terme mit $v_D$ im Nenner gegen null gehen \\href{https://www.youtube.com/watch?v=CbABvpfOujY&t=1416s}{[00:23:36]}. Die Verstärkung des idealen invertierenden Verstärkers ist somit:\n\\[ v \\approx - \\frac{R_2}{R_1} \\quad \\href{https://www.youtube.com/watch?v=CbABvpfOujY&t=1447s}{[00:24:07]} \\]\nDie Verstärkung hängt also nur vom Verhältnis der externen Widerstände ab. Das negative Vorzeichen zeigt die Invertierung des Signals an."
    }
  ]
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