skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/6.13.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "6.13",
    "chapter_number": 6,
    "chapter": "Netzwerkanalyse",
    "title": "Transistorverstärker",
    "question": "Gegeben ist eine einstufige Verstärkerschaltung (Eingangsspannung $U_\\mathrm{e}$, Ausgangsspannung $U_\\mathrm{a}$, Betriebsspannung $U_\\mathrm{q}$).\n\n\\mpBR{6.0cm}{\n\n- Geben Sie unter Verwendung der vereinfachten Ersatzschaltung\nvon Aufgabe~5.3 ($G_\\mathrm{CE} = 0$) eine Ersatzschaltung des\nVer\\-stärkers an. \n\n- Stellen Sie das zur Analyse der Schaltung erforderliche Gleichungssystem der\nKnotenspannungsanalyse auf. \n\n- Berechnen Sie alle Ströme und\nSpannungen für die Größenwerte:\n\n$R_1 = 11 \\mathrm{k}\\Omega$, $R_2 = 36 \\mathrm{k}\\Omega$, $R_\\mathrm{C} = 2,7 \\mathrm{k}\\Omega$, $R_\\mathrm{E} = 1 \\mathrm{k}\\Omega$, $R_\\mathrm{BE} = 1,5 \\mathrm{k}\\Omega$, $U_\\mathrm{q} = 12 \\mathrm{V}$, \\mbox{$U_\\mathrm{e} = 0$}, $U_\\mathrm{qBE} = 0,59 \\mathrm{V}$, $B = 100$.\n\n}\n{\n\n\\psMsR{R_1}\\psMsR{R_2}\\psTdR{R_C}{$R_\\mathrm{C}$}\\psTdR{R_E}{$R_\\mathrm{E}$}\n\\psTdR{U_e}{$U_\\mathrm{e}$}\\psTdL{U_a}{$U_\\mathrm{a}$}\\psTdC{U_q}{$U_\\mathrm{q}$}\n\\psTdL{U_{CE}}{$U_\\mathrm{CE}$}\\psTdL{U_{RE}}{$U_\\mathrm{RE}$}\n\\psTdR{I_C}{$I_\\mathrm{C}$}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-013-transistorverstaerker-1: Transistorverstaerker 1](assets/et1-06-013-transistorverstaerker-1/01-Transistorverstaerker_1.png)\n\n}",
    "short_solution": "b)\n$\n\\begin{array}{*{4}{@{\\;\\;}l}@{\\;\\;}}\n\\text{ 1} & (G_1+G_2+G_\\mathrm{BE})\\,U_{10} & -G_\\mathrm{BE}\\, U_{20} &=G_1\\, U_\\mathrm{e} + G_2\\, U_\\mathrm{q} +G_\\mathrm{BE}\\,U_\\mathrm{qBE} \n\n\\text{ 2} & - (1+B)\\, G_\\mathrm{BE}\\, U_{10} & +(G_\\mathrm{E}+G_\\mathrm{BE}\\,(1+B))\\, U_{20} &=-G_\\mathrm{BE}\\,(1+B)\\,U_\\mathrm{qBE}\n\\end{array}\n$ \n\nc)\n$U_\\mathrm{R1} = 2,64\\mathrm{V}$\\, , $U_\\mathrm{RE} = 2,02\\mathrm{V}$",
    "solution_path": "- ~\n\n\\psMsC{0}\n\\psMsC{1}\n\\psMsC{2}\n\\psMsC{3}\n\\psMsL{I_B}\n\\psMsR{I_C}\n\\psMsR{R_1}\n\\psMsR{R_2}\n\\psMsC{R_{BE}}\n\\psMsL{R_C}\n\\psMsR{R_E}\n\\psMsR{U_a}\n\\psMsR{U_{CE}}\n\\psMsR{U_e}\n\\psMsL{U_q}\n\\psMsR{U_{qBE}}\n\\psMsL{U_{RE}}\n\\psMdL{I_q}{I_q=B\\,I_B}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-013-transistorverstaerker-1: Transistorverstaerker 1 1](assets/et1-06-013-transistorverstaerker-1/02-Transistorverstaerker_1_1.png)\n\n- \\begin{footnotesize}\n$$\n\\begin{array}{*{5}{@{\\;\\;}l}@{\\;\\;}}\n\\text{ 1} & G_1(U_{10}-U_e) & +G_2 (U_{10}-U_q) & + G_{BE} (U_{10}-U_{qBE}-U_{20}) & =0 \n\n\\text{ 2} & G_{BE} (U_{20}+U_{qBE}-U_{10}) & +G_E U_{20} & -B\\,I_B & =0 \n\n\\end{array}\n$$\n\\end{footnotesize}\n\n$I_B$ als Funktion der Knotenspannungen ausdrücken und damit eliminieren, Gleichungen nach Knotenspannungen sortieren:\n\n\\[\nI_B=G_{BE} (U_{10}-U_{qBE}-U_{20})\n\\]\n\n\\begin{footnotesize}\n$$\n\\begin{array}{*{4}{@{\\;\\;}l}@{\\;\\;}}\n\\text{ 1} & (G_1+G_2+G_{BE})\\,U_{10} & -G_{BE}\\, U_{20} &=G_1\\, U_e + G_2\\, U_q +G_{BE}\\,U_{qBE} \n\n\\text{ 2} & - (1+B)\\, G_{BE}\\, U_{10} & +(G_E+G_{BE}\\,(1+B))\\, U_{20} &=-G_{BE}\\,(1+B)\\,U_{qBE}\n\\end{array}\n$$\n\\end{footnotesize}\n\n- $$\n\\begin{array}{rrr}\n(\\frac{1}{11}+\\frac{1}{36}+\\frac{2}{3})\\,U_{10} & -\\frac{2}{3}\\,U_{20}= & \\frac{12\\mathrm{V}}{36}+\\frac{2}{3}\\cdot 0,59\\mathrm{V} \n[1em]\n-101\\cdot \\frac{2}{3}\\,U_{10} & +(1+101\\cdot\\frac{2}{3})\\,U_{20}= & -101\\cdot\\frac{2}{3}\\cdot 0,59\\mathrm{V} \n\\end{array}\n$$\n\nLösen des Gleichungssystems liefert:\n\\[\n\\underline{U_{10}=2,64\\mathrm{V}} \\, , \\underline{U_{20}=2,02\\mathrm{V} }\n\\]\n\n\\begin{align*}\nU_{R1}=U_{10}=2,64\\mathrm{V} \\, , & U_{R2}=U_q-U_{R1}=9,36 \\mathrm{V} \\, , \n\nU_{RE}=U_{20}=2,02\\mathrm{V} \\, , & U_{RBE}=U_{10}-U_{qBE}-U_{20}=30\\mathrm{mV} \\, , \n\nI_{R1}=\\dfrac{U_{R1}}{R_1}=0,24\\mathrm{mA} \\, , & I_{R2}=\\dfrac{U_{R2}}{R_2}=0,26\\mathrm{mA} \\, , \nI_{E}=\\dfrac{U_{RE}}{R_E}=2,02\\mathrm{mA} \\, , & I_B=I_{R2}-I_{R1}=20\\mathrm{\\mu A} \\, , \n\nI_{C}=B\\,I_B=2\\mathrm{mA} \\, , & U_{RC}=R_C I_C=5,4\\mathrm{V} \\, , \n\nU_a=U_q-U_{RC}=6,6\\mathrm{V} \\, , & U_{CE}=U_a-U_{RE}=4,58\\mathrm{V}\n\\end{align*}",
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      "chunk_id": "get-2425-v038-c00",
      "lecture_chapter": "5.3",
      "video_title": "Kap. 5.3 Beispiele und Anwendungen - Teil 1",
      "heading": "Einführung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=eQVK4d1PdHM",
      "content": "In diesem Video werden verschiedene Anwendungsbeispiele für gesteuerte Quellen vorgestellt. \n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=eQVK4d1PdHM&t=35s}{Leistungsverstärker}\n\nAls erstes Beispiel wird ein Leistungsverstärker vorgestellt. Die Schaltung besteht aus einer Eingangsspannungsquelle $U_e$ und einem Eingangsstrom $I_e$. Als Verstärker dient ein npn-Bipolartransistor. Am Ausgang befindet sich ein Lastwiderstand R, an dem die Ausgangsspannung $U_a$ abfällt und durch den der Ausgangsstrom $I_a$ fließt. Zur Spannungsversorgung ist am Kollektor eine Konstantspannungsquelle $U_{0C}$ angeschlossen. Gesucht sind die Spannungsverstärkung $v_u = \\frac{U_a}{U_e}$ und die Leistungsverstärkung $v_p = \\frac{P_a}{P_e}$.\n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=eQVK4d1PdHM&t=234s}{Einfaches Transistormodell}\n\nUm die Schaltung zu analysieren, wird ein einfaches Transistormodell verwendet. Die wichtigste Eigenschaft des Transistors für diese Anwendung ist die Stromverstärkung. Das bedeutet, der Kollektorstrom ist proportional zum Basisstrom. Diese Eigenschaft wird mit Hilfe einer gesteuerten Quelle modelliert.\n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=eQVK4d1PdHM&t=425s}{Einsetzen in Schaltung}\n\nDas Transistormodell wird in die Schaltung des Leistungsverstärkers eingesetzt. Mit Hilfe des Maschensatzes und des Knotensatzes werden die Ausgangsspannung und der Ausgangsstrom berechnet.\n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=eQVK4d1PdHM&t=728s}{Spannungsverstärkung}\n\nDie Spannungsverstärkung wird berechnet als\n$v_u = \\frac{U_a}{U_e} = 1$\n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=eQVK4d1PdHM&t=743s}{Leistungsverstärkung}\n\nDie Leistungsverstärkung wird berechnet als\n$v_p = \\frac{P_a}{P_e} = \\frac{U_a \\cdot I_a}{U_e \\cdot I_e} = 1 + b$"
    },
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      "lecture_chapter": "6.3",
      "video_title": "Kap. 6.3 Knotenspannungsanalyse - Teil 1",
      "heading": "Algorithmus zur Knotenspannungsanalyse",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk",
      "content": "Der Algorithmus zur Knotenspannungsanalyse umfasst folgende Schritte:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=548s}{Wahl eines Bezugsknotens und Einführen der Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=570s}{Aufstellen von k-1 Knotengleichungen unter Verwendung der U-I-Relationen der Zweige und Ausdrücken der Zweigspannungen durch Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=579s}{Lösung der Gleichungen nach den Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=584s}{Berechnung der gesuchten Größen aus den Knotenspannungen}.\n\\end{enumerate}\nAls Hilfestellung kann eine \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=624s}{Quellentransformation} von Spannungsquellen mit Reihenwiderstand in Stromquellen mit Parallelwiderstand durchgeführt werden."
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