skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/6.14.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "6.14",
    "chapter_number": 6,
    "chapter": "Netzwerkanalyse",
    "title": "Knotenspannungsanalyse, gesteuerte Quelle",
    "question": "\\mpBR{\\iffoil11.5cm\\else8.1cm}{\nBerechnen Sie für die gegebene Schaltung mit Hilfe der Kno\\-ten\\-span\\-nungs\\-ana\\-lyse\ndie Knotenspannungen $U_{10}$ und $U_{20}$.\n\n$I = 5 \\mathrm{A}$, $G_1= G_3 = 0,1\\Si$, $G_2 = 50\\miSi$, $G_\\mathrm{m} = 0,1 \\Si $\n}\n{\n\\psMsR{I}\n\\psMsR{U_1}\n\\psTdL{R_1}{$G_1$}\n\\psTdC{R_2}{$G_2$}\n\\psTdR{R_3}{$G_3$}\n\\psTdL{GU}{$G_\\mathrm{m}U_1$}\n\\psTdC{0}{\\klemme{0}}\\psTdC{1}{\\klemme{1}}\\psTdC{2}{\\klemme{2}}\n\n\\rBild{scale=2.4}{}\n\n\\rBild{scale=1.41}{}\n\n}",
    "short_solution": "$ U_{10}=30\\mathrm{V} $; \\: $ U_{20}=-10\\mathrm{V} $",
    "solution_path": "Aufstellen der Knotengleichungen:\n\n\\begin{align*}\n-I + U_{10} G_1 + (U_{10} - U_{20}) G_2 &= 0 \n\n(U_{20}- U_{10}) G_2 + U_{20} G_3 + G_m U_{10} &= 0\n\\end{align*}\n\n$\\Rightarrow$\n\n\\[\n\\begin{array}{rrlr}\n(G_1+G_2)\\,U_{10} & -G_2\\,U_{20} & =I & (1) \n\n(G_m-G_2)\\,U_{10} & +(G_2+G_3)\\,U_{20} & =0 & (2) \n\n\\end{array}\n\\]\n\nUmstellen von (1):\n\\[\nU_{20}=U_{10}\\frac{G_1 + G_2}{G_2} - \\frac{I}{G_2}\n\\]\nEinsetzen in (2):\n\\[\nU_{10} (G_m - G_2) + \\left( U_{10} (G_1 + G_2) - I\\right)\\frac{G_2 + G_3}{G_2} = 0\n\\]\n\\[ \nU_{10}=I\\cdot \\frac{G_2+G_3}{G_2 (G_m - G_2) + (G_1 + G_2)(G_2 + G_3)}\n\\]\n\\[ \n\\underline{U_{10}=I\\cdot \\frac{G_2+G_3}{G_1\\,G_3+G_2\\,(G_1+G_3+G_m)}=30\\mathrm{V}}\n\n\\]\n\\[ \nU_{20}=I\\cdot \\frac{(G_2+G_3)(G_1 + G_2)}{G_2 (G_1\\,G_3+G_2\\,(G_1+G_3+G_m))} - \\frac{I}{G_2}\n\\]\n\\[ \n\\underline{U_{20}=I\\cdot\\frac{G_2-G_m}{G_1\\,G_3+G_2\\,(G_1+G_3+G_m)}=-10\\mathrm{V}} \n\\]",
    "figures": []
  },
  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v045-c03",
      "lecture_chapter": "6.3",
      "video_title": "Kap. 6.3 Knotenspannungsanalyse - Teil 1",
      "heading": "Algorithmus zur Knotenspannungsanalyse",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk",
      "content": "Der Algorithmus zur Knotenspannungsanalyse umfasst folgende Schritte:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=548s}{Wahl eines Bezugsknotens und Einführen der Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=570s}{Aufstellen von k-1 Knotengleichungen unter Verwendung der U-I-Relationen der Zweige und Ausdrücken der Zweigspannungen durch Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=579s}{Lösung der Gleichungen nach den Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=584s}{Berechnung der gesuchten Größen aus den Knotenspannungen}.\n\\end{enumerate}\nAls Hilfestellung kann eine \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=624s}{Quellentransformation} von Spannungsquellen mit Reihenwiderstand in Stromquellen mit Parallelwiderstand durchgeführt werden."
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v046-c00",
      "lecture_chapter": "6.3",
      "video_title": "Kap. 6.3 Knotenspannungsanalyse - Teil 2",
      "heading": "Einführung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=oh2lnFxsk74",
      "content": "Dieses Video behandelt ein \\href{https://www.youtube.com/watch?v=oh2lnFxsk74&t=34s}{Beispiel der Knotenspannungsanalyse} für den Fall, dass ein Netzwerk Zweige mit idealen Spannungsquellen enthält. Dies stellt einen Sonderfall dar, da eine Voraussetzung des Standardalgorithmus – dass sich alle Zweigströme durch Knotenspannungen ausdrücken lassen – bei idealen Spannungsquellen nicht erfüllt ist \\href{https://www.youtube.com/watch?v=oh2lnFxsk74&t=46s}{(00:46)}.\n\nAls Beispiel wird folgende Schaltung analysiert \\href{https://www.youtube.com/watch?v=oh2lnFxsk74&t=73s}{(01:13)}:\n\\begin{itemize}\n\t\\item Eine ideale Stromquelle $I_{q1}$.\n\t\\item Leitwerte $G_1, G_2, G_3, G_4$.\n\t\\item Eine ideale Spannungsquelle $U_{q2}$ zwischen Knoten 1 und 2.\n\t\\item Eine ideale Spannungsquelle $U_{q3}$, die parallel zum Leitwert $G_4$ liegt.\n\\end{itemize}\nZuerst werden die Knoten durchnummeriert (1, 2, 3) und ein Bezugsknoten (0) gewählt. Daraus ergeben sich die zu bestimmenden Knotenspannungen $U_{10}$, $U_{20}$ und $U_{30}$ \\href{https://www.youtube.com/watch?v=oh2lnFxsk74&t=164s}{(02:44)}.\n\nDas zentrale Problem ist, dass der Zweigstrom $I_{Z2}$, der durch die ideale Spannungsquelle $U_{q2}$ fließt, nicht durch die Knotenspannungen ausgedrückt werden kann \\href{https://www.youtube.com/watch?v=oh2lnFxsk74&t=227s}{(03:47)}.\n\nZur Lösung werden zwei Beziehungen hergeleitet:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item Durch Anwendung des \\href{https://www.youtube.com/watch?v=oh2lnFxsk74&t=302s}{Maschensatzes} auf die Masche, die $U_{10}$, $U_{q2}$ und $U_{20}$ enthält, ergibt sich die Gleichung:\n\t\\[ -U_{10} - U_{q2} + U_{20} = 0 \\]\n\tDaraus folgt eine lineare Abhängigkeit zwischen den Knotenspannungen $U_{10}$ und $U_{20}$:\n\t\\[ U_{20} = U_{10} + U_{q2} \\]\n\t\n\t\\item Die Knotenspannung $U_{30}$ liegt direkt parallel zur idealen Spannungsquelle $U_{q3}$. Daher ist ihre Spannung identisch \\href{https://www.youtube.com/watch?v=oh2lnFxsk74&t=371s}{(06:11)}:\n\t\\[ U_{30} = U_{q3} \\]\n\\end{enumerate}\n\nAufgrund dieser Abhängigkeiten gibt es \\href{https://www.youtube.com/watch?v=oh2lnFxsk74&t=400s}{nur noch eine unabhängige Knotenspannung}, nämlich $U_{10}$, die bestimmt werden muss.\n\nUm diese zu finden, wird das Konzept des \\href{https://www.youtube.com/watch?v=oh2lnFxsk74&t=445s}{Superknotens} eingeführt. Ein Superknoten (S) wird als eine Schnittmenge um die problematische ideale Spannungsquelle $U_{q2}$ und die dazugehörigen Knoten 1 und 2 gelegt. Für diesen Superknoten wird dann die Schnittmengengleichung aufgestellt.\n\nDie \\href{https://www.youtube.com/watch?v=oh2lnFxsk74&t=498s}{Gleichung für den Superknoten S} lautet, wobei abfließende Ströme positiv gezählt werden:\n\\[ -I_{q1} + U_{10}G_1 + U_{20}G_2 + (U_{20} - U_{30})G_3 = 0 \\]\n\nSetzt man die zuvor hergeleiteten Beziehungen für $U_{20}$ und $U_{30}$ in diese Gleichung ein, erhält man eine einzige Gleichung, die nur noch von der gesuchten Spannung $U_{10}$ abhängt.\n\nNach dem \\href{https://www.youtube.com/watch?v=oh2lnFxsk74&t=625s}{Auflösen dieser Gleichung} ergibt sich für $U_{10}$:\n\\[ U_{10} = \\frac{I_{q1} - (G_2+G_3)U_{q2} + G_3 U_{q3}}{G_1+G_2+G_3} \\]"
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