skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/6.6.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "6.6",
    "chapter_number": 6,
    "chapter": "Netzwerkanalyse",
    "title": "Netzwerkanalyse",
    "question": "\\mpBR{7.1cm}{\nBerechnen Sie die Spannung $U_2$ \n\n- mit der Knotenspannungsanalyse,\n\n- mit der Maschenstromanalyse,\n\n- mit dem Überlagerungssatz.\n\n$U_\\mathrm{q1} = 2 \\mathrm{V}$, $U_\\mathrm{q2} = 4 \\mathrm{V}$, $I_\\mathrm{q3} = 0,5 \\mathrm{A}$, $R_1 = R_2 = 10\\Omega$, $R_3 = 6\\Omega$,\n$R_4 = R_5 = 8\\Omega$\n}\n{\n\n\\psTdC{U_{q1}}{$U_\\mathrm{q1}$}\\psTdC{U_{q2}}{$U_\\mathrm{q2}$}\\psTdC{I_{q3}}{$I_\\mathrm{q3}$}\\psMsL{U_2}\n\\psMsR{R_1}\\psMsR{R_2}\\psMsC{R_3}\\psMsL{R_4}\\psMsR{R_5}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-006-netzwerkanalyse-2: Netzwerkanalyse 2](assets/et1-06-006-netzwerkanalyse-2/01-Netzwerkanalyse_2.png)\n\n}\n\\hinw{Rechnen Sie dabei wahlweise mit Widerständen oder Leitwerten.}",
    "short_solution": "$ U_2=1,0\\mathrm{V} $",
    "solution_path": "- z.\\;B. mit Transformation der Spannungsquellen:\n\n\\psMdC{1}{ 1}\n\\psMdC{2}{ 2}\n\\psMdC{0}{ 0}\n\\psMsL{I_{q3}}\n\\psMdL{R_1}{G_1}\n\\psMdL{R_2}{G_2}\n\\psMdC{R_3}{G_3}\n\\psMdL{R_4}{G_4}\n\\psMdL{R_5}{G_5}\n\\psMsR{U_{10}}\n\\psMsL{U_{20}}\n\\psMdR{I_{q1}}{U_\\mathrm{q1}G_1}\n\\psMdL{I_{q2}}{U_\\mathrm{q2}G_5}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-006-netzwerkanalyse-2: Netzwerkanalyse 2 1](assets/et1-06-006-netzwerkanalyse-2/02-Netzwerkanalyse_2_1.png)\n\nGesuchte Spannung $U_2=U_{10}$\n\n\\begin{align*}\nG_1 U_{10}+ G_2 U_{10} + G_3 (U_{10}-U_{20}) + G_1 U_\\mathrm{q1} - I_\\mathrm{q3} &=0\n\nG_3 (U_{20}-U_{10})+ G_5 U_{20} + G_4 U_{20} - G_5 U_\\mathrm{q2} + I_\\mathrm{q3}&=0\n\\end{align*}\n\n\\begin{align*}\n(G_1+G_2+G_3)&U_{10}& -G_3 & U_{20} & =& -U_\\mathrm{q1} G_1+I_\\mathrm{q3} & (1)\n\n-G_3 & U_{10} &+ (G_3+G_4+G_5) & U_{20}& = &U_\\mathrm{q2} G_5-I_\\mathrm{q3} & (2)\n\\end{align*}\n\n$(G_3+ G_4 + G_5) \\ast (1) + G_3 \\ast (2)$ liefert:\n\n\\[\nU_{10}\\left((G_1 + G_2 + G_3)(G_3 + G_4 + G_5) - G_3^2\\right) = (G_3 + G_4 + G_5) (I_\\mathrm{q3} - G_1 U_\\mathrm{q1}) + G_3 (G_5 U_\\mathrm{q2} -I_\\mathrm{q3} )\n\\]\n\\[\nU_{10}=\\dfrac{(G_3 + G_4 + G_5) (I_\\mathrm{q3} - G_1 U_\\mathrm{q1}) + G_3 (G_5 U_\\mathrm{q2} -I_\\mathrm{q3} )}{(G_1 + G_2 + G_3)(G_3 + G_4 + G_5) - G_3^2} = 1,0\\mathrm{V}\n\\]\n\n- z.\\;B. mit Transformation der Stromquellen:\n\n\\psMdC{A}{ A}\n\\psMdC{B}{ B}\n\\psMdC{C}{ C}\n\\psMdC{U_{q3}}{I_{q3}\\,R_3}\n\\psMsR{R_1}\n\\psMsL{R_2}\n\\psMsC{R_3}\n\\psMsR{R_4}\n\\psMsL{R_5}\n\\psMsC{U_{q1}}\n\\psMsC{U_{q2}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-006-netzwerkanalyse-2: Netzwerkanalyse 2 2](assets/et1-06-006-netzwerkanalyse-2/03-Netzwerkanalyse_2_2.png)\n\ngesuchte Spannung $U_2=-I_\\mathrm{B}\\,R_2$\n\n$\n\\begin{array}{lllll}\n\\text{ A~~~} & ~~I_A\\,(R_1+R_3+R_4) & +I_B\\,(R_3+R_4) & -I_C\\,R_4 & =-U_{q1}-I_{q3}\\,R_3 \n\n\\text{ B~~~} & ~~I_A\\,(R_3+R_4) & +I_B\\,(R_2+R_3+R_4) & -I_C\\,R_4 & =-I_{q3}\\,R_3 \n\n\\text{ C~~~} & -I_A\\,R_4 & -I_B\\,R_4 & +I_C\\,(R_4+R_5) & =-U_{q2} \n\n\\end{array}\n$\n\nLösung hier nur mit Größenwerten:\n\n$\n\\begin{array}{rrrl}\n24\\,I_A & +14\\,I_B & -8\\,I_C & =-5\\mathrm{A} \n\n14\\,I_A & +24\\,I_B & -8\\,I_C & =-3\\mathrm{A} \n\n-8\\,I_A & -8\\,I_B & +16\\,I_C & =-4\\mathrm{A} \n\n\\end{array}\n$\n\n$\\Rightarrow ~~\nI_A=-0,30\\mathrm{A}, ~~~~\nI_B=-0,10\\mathrm{A}, ~~~~\nI_C=-0,45\\mathrm{A}, ~~~~\n$\n\n$\\Rightarrow ~~\nU_2=1,0\\mathrm{V}\n$\n\n- Gesuchte Spannung $U_2=I_2\\,R_2$ mit $I_2=I_{21}+I_{22}+I_{23}~,$\n\n\\[\nI_{21}=\\frac{-U_{q1}}{R_1+R_2||(R_3+R_4||R_5)}\\cdot\\frac{R_3+R_4||R_5}{R_2+R_3+R_4||R_5}=-\\frac 1{15}\\mathrm{A}\n\\]\n\n\\[\nI_{22}=\\frac{U_{q2}}{R_5+R_4||(R_3+R_2||R_1)}\\cdot\\frac{R_4}{R_3+R_4+R_2||R_1}\\cdot\\frac{R_1}{R_1+R_2}=\\frac 1{15}\\mathrm{A}\n\\]\n\n\\[\nI_{23}=\\frac{I_{q3}\\,R_3}{R_1||R_2+R_3+R_4||R_5}\\cdot\\frac{R_1}{R_1+R_2}=\\frac 1{10}\\mathrm{A}\n\\]\n\n$\\Rightarrow ~~\nI_2=0,1\\mathrm{A}~~~\n\\Rightarrow ~~\nU_2=1,0\\mathrm{V}\n$",
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      "video_title": "Kap. 6.3 Knotenspannungsanalyse - Teil 1",
      "heading": "Algorithmus zur Knotenspannungsanalyse",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk",
      "content": "Der Algorithmus zur Knotenspannungsanalyse umfasst folgende Schritte:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=548s}{Wahl eines Bezugsknotens und Einführen der Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=570s}{Aufstellen von k-1 Knotengleichungen unter Verwendung der U-I-Relationen der Zweige und Ausdrücken der Zweigspannungen durch Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=579s}{Lösung der Gleichungen nach den Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=584s}{Berechnung der gesuchten Größen aus den Knotenspannungen}.\n\\end{enumerate}\nAls Hilfestellung kann eine \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=624s}{Quellentransformation} von Spannungsquellen mit Reihenwiderstand in Stromquellen mit Parallelwiderstand durchgeführt werden."
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      "content": "Der Algorithmus zur Maschenstromanalyse lässt sich in folgende Schritte unterteilen:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item Wahl von m unabhängigen Maschen und Einführung der Maschenströme.\n\t\\item Aufstellen der m Maschengleichungen und Ersetzen der Zweigströme durch Maschenströme.\n\t\\item Lösen des Gleichungssystems mit m Gleichungen für die m Maschenströme.\n\t\\item Berechnung der gesuchten Größen aus den Maschenströmen.\n\\end{enumerate}\nEine Hilfestellung bei diesem Verfahren ist die Transformation von Stromquellen mit einem Parallelwiderstand in eine äquivalente Spannungsquellenersatzschaltung."
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      "lecture_chapter": "3.2",
      "video_title": "Kap. 3.2 Überlagerungssatz - Teil 1",
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      "content": "In diesem Video wird der \\textbf{Überlagerungssatz} als eine Methode zur Netzwerkanalyse vorgestellt, die besonders dann nützlich ist, wenn ein Netzwerk mehr als eine unabhängige Quelle enthält."
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