skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/6.7.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "6.7",
    "chapter_number": 6,
    "chapter": "Netzwerkanalyse",
    "title": "Netzwerkanalyse",
    "question": "\\mpBR{7cm}{\nBerechnen Sie den Strom durch den Widerstand $R_5$\n\n- mit der Knotenspannungsanalyse,\n\n- mit der Maschenstromanalyse,\n\n- mit dem Überlagerungssatz,\n\n- mit der Zweipolersatzschaltung.\n\n}\n{\n\n\\psTdR{I_{q1}}{$I_\\mathrm{q1}$}\\psTdC{U_{q2}}{$U_\\mathrm{q2}$}\n\\psMsR{R_1}\\psMsC{R_2}\\psMsR{R_3}\\psMsR{R_4}\\psMsR{R_5}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-007-netzwerkanalyse-3: Netzwerkanalyse 3](assets/et1-06-007-netzwerkanalyse-3/01-Netzwerkanalyse_3.png)\n\n$R_1 = R_3 = 2\\Omega$, $R_2 = R_4 = R_5 = 1\\Omega$, $U_\\mathrm{q2} = 1 \\mathrm{V}$, \n$I_\\mathrm{q1} = 1 \\mathrm{A}$ \n\n}\n\\hinw{Rechnen Sie dabei wahlweise mit Widerständen oder Leitwerten.}",
    "short_solution": "$ I_5=-0,4\\mathrm{A} $",
    "solution_path": "- Spannungsquelle $(U_{q2},\\,R_2)$ in Stromquelle $I_{q2}$ transformieren, zweckmäßig einen Ersatzleitwert $G^*$ einführen:\n\n\\mpBL{0.7\\textwidth}\n{\n\\psMdC{1}{ 1}\n\\psMdL{2}{ 2}\n\\psMdR{0}{ 0}\n\\psMsR{I_{q1}}\n\\psMsC{I_{q2}}\n\\psMsL{R_1}\n\\psMsC{R_2}\n\\psMsL{R_3}\n\\psMsL{R_4}\n\\psMsL{R_5}\n\\psMsL{U_{10}}\n\\psMsL{U_{20}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-007-netzwerkanalyse-3: Netzwerkanalyse 3 1](assets/et1-06-007-netzwerkanalyse-3/02-Netzwerkanalyse_3_1.png)\n\n}\n{\n\\begin{align*}\nI_{q2} &=U_{q2}\\,G_2 \n\nG^* &=G_1+G_3\n\\end{align*}\n}\n\n\\begin{align*}\n\\begin{array}{llll}\n\\text{ 1~~~} & ~~U_{10}\\,(G^*+G_2) & -U_{20}\\,G_2 & = -I_{q1}+I_{q2} \n\n\\text{ 2~~~} & -U_{10}\\,G_2 & +U_{20}\\,(G_2+G_4+G_5) & = -I_{q2} \n\n\\end{array}\n\\end{align*}\n\nauflösen nach $U_{20}$:\n\\begin{align*}\nU_{20}=\\frac{-G_2(I_{q1}+U_{q2}\\,G^*)}{G_2\\,G_4+G_2\\,G_5+G_2\\,G^*+G_4\\,G^*+G_5\\,G^*} ~,~~\nI_5=U_{20}\\,G_5\n\\end{align*}\n\n**Zahlenrechnung:** $U_{20}=-0,4\\mathrm{V}, ~~ I_5=U_{20}\\,G_5=-0,4\\mathrm{A}$\n\n- Zweckmäßig einen Ersatzwiderstand $R^*=R_1||R_3$ einführen, Stromquelle $(I_{q1},\\,R^*)$\nin Spannungsquelle $(U_{q1},\\,R^*)$ transformieren, gesuchten Strom $I_5$ als Maschenstrom einführen:\n\n{\n\\psMdC{A}{ A}\n\\psMdC{B}{ B}\n\\psMsC{I_5}\n\\psMsR{R^*}\n\\psMsC{R_2}\n\\psMsR{R_4}\n\\psMsL{R_5}\n\\psMsC{U_{q1}}\n\\psMdL{U_{q1}=}{\\begin{minipage}{4cm}\\begin{align*}U_{q1} &=I_{q1} R^*\nR^* &=R_1||R_3 \\end{align*}\\end{minipage}}\n\\psMsC{U_{q2}}\n\\psTsC{vollständiger Baum}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-007-netzwerkanalyse-3: Netzwerkanalyse 3 2](assets/et1-06-007-netzwerkanalyse-3/03-Netzwerkanalyse_3_2.png)\n\n}\n\n\\begin{align*}\n\\begin{array}{llll}\n\\text{ A~~~} & ~~I_A\\,(R^*+R_2+R_4) & -I_B\\,R_4 & = -(U_{q1}+U_{q2}) \n\n\\text{ B~~~} & -I_A\\,R_4 & +I_B\\,(R_4+R_5) & = 0 \n\n\\end{array}\n\\end{align*}\n\nauflösen nach $I_B$ (z.~B. mit Cramerscher Regel):\n\\begin{align*}\nI_B=\\frac{-R_4\\,(I_{q1}\\,R^*+U_{q2})}{R_4\\,R^*+R_5\\,R^*+R_2\\,R_4+R_2\\,R_5+R_4\\,R_5} ~~,~~~\nI_5=I_B\n\\end{align*}\n\n**Zahlenrechnung:** $I_5 = I_B = -0,4\\mathrm{A}$\n\n- Der Strom $I_5$ ist die Überlagerung der Teilströme $I_{5,q1}$ und $I_{5,q2}$ herrührend von den Quellen $I_{q1}$ ($U_{q2} = 0$) und $U_{q2}$ ($I_{q_1} = 0$).\n\\begin{align*}\nI_5 &= I_{5,q1}+I_{5,q2} \n\nI_{5,q1} &= \\frac{-I_{q1}\\,R^*}{R^*+R_2+R_4||R_5}\\cdot\\frac{R_4}{R_4+R_5} \n\nI_{5,q2} &= \\frac{-U_{q2}}{R^*+R_2+R_4||R_5}\\cdot\\frac{R_4}{R_4+R_5} \\text{oder ähnliche Formen.}\n\\end{align*}\n\n**Zahlenrechnung:** $I_{5,q1} = I_{5,q2} = -0,2\\mathrm{A}, ~~ I_5 = I_{5,q_1} + I_{5,q2} = -0,4\\mathrm{A}$\n\n- Auftrennung des Netzwerks vor dem Widerstand $R_5$ und ersetzen des linken Teils des Netzwerks durch die Zweipolersatzschaltung bestehend aus Spannungsquelle $U_L$ in Reihe mit Widerstand $R_i$ (alternativ könnte auch eine Stromquelle $I_K = U_L/R_i$ parallel zum Widerstand $R_i$ gewählt werden.)\n\n{\n\\psMsR{I_{q1}}\n\\psMsL{R^*}\n\\psMsC{R_2}\n\\psMsR{R_4}\n\\psMsC{R_i}\n\\psMsR{U_L}\n\\psMsC{U_{q2}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-007-netzwerkanalyse-3: Netzwerkanalyse 3 3](assets/et1-06-007-netzwerkanalyse-3/04-Netzwerkanalyse_3_3.png)\n\n}\n\n\\begin{align*}\nR_i &=R_4||(R_2+R^*), \n\n\\intertext{mit dem Überlagerungssatz folgt}\nU_L &=\\frac{-I_{q1}\\,R_4\\,R^*}{R^*+R_2+R_4} + \\frac{-U_{q2}\\,R_4}{R^*+R_2+R_4}~~, \n\nI_5 &=\\frac{U_L}{R_i+R_5} ~~.\n\\end{align*}\n\n**Zahlenrechnung:** $U_L=-\\frac 23\\mathrm{V}, ~~ R_i=\\frac 23\\Omega, ~~ I_5=-0,4\\mathrm{A}$",
    "figures": [
      {
        "id": "et1-06-007-netzwerkanalyse-3-fig-01",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "Netzwerkanalyse_3",
        "source_asset": "6-Netzwerkanalyse/bilder/Netzwerkanalyse_3.eps",
        "asset": "assets/et1-06-007-netzwerkanalyse-3/01-Netzwerkanalyse_3.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-06-007-netzwerkanalyse-3: Netzwerkanalyse 3"
      },
      {
        "id": "et1-06-007-netzwerkanalyse-3-fig-02",
        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "Netzwerkanalyse_3_1",
        "source_asset": "6-Netzwerkanalyse/bilder/Netzwerkanalyse_3_1.eps",
        "asset": "assets/et1-06-007-netzwerkanalyse-3/02-Netzwerkanalyse_3_1.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-06-007-netzwerkanalyse-3: Netzwerkanalyse 3 1"
      },
      {
        "id": "et1-06-007-netzwerkanalyse-3-fig-03",
        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "Netzwerkanalyse_3_2",
        "source_asset": "6-Netzwerkanalyse/bilder/Netzwerkanalyse_3_2.eps",
        "asset": "assets/et1-06-007-netzwerkanalyse-3/03-Netzwerkanalyse_3_2.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-06-007-netzwerkanalyse-3: Netzwerkanalyse 3 2"
      },
      {
        "id": "et1-06-007-netzwerkanalyse-3-fig-04",
        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "Netzwerkanalyse_3_3",
        "source_asset": "6-Netzwerkanalyse/bilder/Netzwerkanalyse_3_3.eps",
        "asset": "assets/et1-06-007-netzwerkanalyse-3/04-Netzwerkanalyse_3_3.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-06-007-netzwerkanalyse-3: Netzwerkanalyse 3 3"
      }
    ]
  },
  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v045-c03",
      "lecture_chapter": "6.3",
      "video_title": "Kap. 6.3 Knotenspannungsanalyse - Teil 1",
      "heading": "Algorithmus zur Knotenspannungsanalyse",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk",
      "content": "Der Algorithmus zur Knotenspannungsanalyse umfasst folgende Schritte:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=548s}{Wahl eines Bezugsknotens und Einführen der Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=570s}{Aufstellen von k-1 Knotengleichungen unter Verwendung der U-I-Relationen der Zweige und Ausdrücken der Zweigspannungen durch Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=579s}{Lösung der Gleichungen nach den Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=584s}{Berechnung der gesuchten Größen aus den Knotenspannungen}.\n\\end{enumerate}\nAls Hilfestellung kann eine \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=624s}{Quellentransformation} von Spannungsquellen mit Reihenwiderstand in Stromquellen mit Parallelwiderstand durchgeführt werden."
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v047-c02",
      "lecture_chapter": "6.4",
      "video_title": "Kap. 6.4 Maschenstromanalyse",
      "heading": "Algorithmus zur Maschenstromanalyse",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=5F8GFijEAbc",
      "content": "Der Algorithmus zur Maschenstromanalyse lässt sich in folgende Schritte unterteilen:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item Wahl von m unabhängigen Maschen und Einführung der Maschenströme.\n\t\\item Aufstellen der m Maschengleichungen und Ersetzen der Zweigströme durch Maschenströme.\n\t\\item Lösen des Gleichungssystems mit m Gleichungen für die m Maschenströme.\n\t\\item Berechnung der gesuchten Größen aus den Maschenströmen.\n\\end{enumerate}\nEine Hilfestellung bei diesem Verfahren ist die Transformation von Stromquellen mit einem Parallelwiderstand in eine äquivalente Spannungsquellenersatzschaltung."
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v027-c00",
      "lecture_chapter": "3.2",
      "video_title": "Kap. 3.2 Überlagerungssatz - Teil 1",
      "heading": "Einführung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=gObUbEZ5IPo",
      "content": "In diesem Video wird der \\textbf{Überlagerungssatz} als eine Methode zur Netzwerkanalyse vorgestellt, die besonders dann nützlich ist, wenn ein Netzwerk mehr als eine unabhängige Quelle enthält."
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v029-c02",
      "lecture_chapter": "3.3",
      "video_title": "Kap. 3.3 Zweipoltheorie - Teil 1",
      "heading": "Ersatzschaltungen",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=_N-jxoUe2f8",
      "content": "Jeder aktive lineare Zweipol kann durch eine von zwei einfachen Ersatzschaltungen repräsentiert werden, die sich bezüglich des Klemmenverhaltens identisch verhalten:\n\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=_N-jxoUe2f8&t=371s}{Spannungsquellenersatzschaltung (Thévenin-Theorem)}: Eine ideale Spannungsquelle mit der Spannung $U_L$ in Reihe mit dem Innenwiderstand $R_i$.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=_N-jxoUe2f8&t=387s}{Stromquellenersatzschaltung (Norton-Theorem)}: Eine ideale Stromquelle mit dem Strom $I_K$ parallel zum Innenwiderstand $R_i$.\n\\end{itemize}"
    }
  ]
}