skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/7.2.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "7.2",
    "chapter_number": 7,
    "chapter": "Thermisch-elektrische Analogien",
    "title": "Maximalleistung, Drahtwiderstand",
    "question": "Der zylindrische Vollkörper eines Drahtwiderstandes mit einzementierter Wicklung besitzt eine Länge $l = 45 \\mim$ und einen Durchmesser $d = 11 \\mim$.\n\nDie maximale Oberflächentemperatur darf $\\vartheta_0 = 310\\gC$\nbetragen.\n\n- Berechnen Sie die zulässige Verlustleistung des Widerstandes, \nwenn die Tem\\-per\\-atur\\-differenz zwischen Oberfläche und Umgebung maximal \n$270\\mathrm{K}$ betragen darf und die Wärmeabfuhr ausschließlich durch Konvektion erfolgt \n(Wärme\\-über\\-gangs\\-zahl \\mbox{$\\alpha = 12,5\\frac{\\mathrm{W}}{\\mathrm{K}\\mathrm{m}^2}$}).\n\n- Mit wie viel Prozent der unter a) berechneten Leistung darf der Wi\\-der\\-stand betrieben werden, wenn seine Umgebungstemperatur $120\\gC$ beträgt?",
    "short_solution": "a) $ P_\\mathrm{V}=5,89\\mathrm{W} $ \\:\\: b) $ 70,4\\% $",
    "solution_path": "- \\[\nP_\\mathrm{V}=\\dfrac{\\Delta \\vartheta}{R_\\mathrm{th}}\n\\]\n\\[\nR_\\mathrm{th} = \\dfrac{1}{\\alpha \\cdot A} = \\dfrac{1}{\\alpha \\left(\\pi d l + 2\\frac{\\pi}{4}d^2\\right)} = 45,84\\; \\mathrm{K/W}\n\\]\n\\[\nP_\\mathrm{V} = 5,89\\mathrm{W}\n\\]\n\n- \\[\n\\dfrac{P_\\mathrm{V2}}{P_\\mathrm{V1}}=\\dfrac{\\dfrac{\\vartheta_{o2}-\\vartheta_{u2}}{R_\\mathrm{th}}}{\\dfrac{\\Delta\\vartheta_{1}}{R_\\mathrm{th}}} = \\dfrac{\\vartheta_{o2}-\\vartheta_{u2}}{\\Delta\\vartheta_{1}} = \\dfrac{190\\mathrm{K}}{270\\mathrm{K}} = 70,4\\%\n\\]",
    "figures": []
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  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v050-c02",
      "lecture_chapter": "7.3",
      "video_title": "Kap. 7.3 Wärmetransportmechanismen",
      "heading": "Wärmeströmung (Konvektion)",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=VJZMi3DesOI",
      "content": "Der Wärmetransport durch ein bewegtes Medium, wie Gas oder Flüssigkeit, wird als Konvektion bezeichnet \\href{https://www.youtube.com/watch?v=VJZMi3DesOI&t=316s}{[00:05:16]}. Die Bemessungsgleichung des Übergangswiderstandes bei Konvektion lautet:\n\\[ R_{thK} = \\frac{\\Delta T}{P_{thK}} = \\frac{1}{\\alpha_K A} \\]\nDie Wärmeübergangszahl für Konvektion, $\\alpha_K$, ist abhängig von der Oberflächenbeschaffenheit und der Konvektionsart \\href{https://www.youtube.com/watch?v=VJZMi3DesOI&t=430s}{[00:07:10]}."
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