skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/7.3.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "7.3",
    "chapter_number": 7,
    "chapter": "Thermisch-elektrische Analogien",
    "title": "Thermischer Widerstand, Diode",
    "question": "An einer vom Strom $I = 5 \\mathrm{A}$ durchflossenen Diode wird ein Spannungsabfall \n$U = 1 \\mathrm{V}$ erzeugt.\n\nDabei tritt eine Übertemperatur gegen die Umgebung von $50 \\mathrm{K}$ auf.\n\nWelchen thermischen Widerstand besitzt die Diode?",
    "short_solution": "$R_\\mathrm{th}=10\\mathrm{K}/\\mathrm{W} $",
    "solution_path": "\\[\nP_\\mathrm{el} = UI , P_\\mathrm{V} = \\dfrac{\\Delta \\vartheta}{R_\\mathrm{th}} \n\\]\n\n\\[\nP_\\mathrm{V} = P_\\mathrm{el} \\Rightarrow R_\\mathrm{th} = \\dfrac{\\Delta \\vartheta}{UI} = 10\\;\\mathrm{K/W}\n\\]",
    "figures": []
  },
  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v049-c00",
      "lecture_chapter": "7.2",
      "video_title": "Kap. 7.2 Thermische Ersatzelemente",
      "heading": "Einführung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0",
      "content": "Das Video führt in die thermischen Ersatzelemente ein, um technische Systeme unter thermischen Aspekten zu modellieren.\n\nEin technisches System, dem elektrische Leistung zugeführt wird, wird betrachtet (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=22s}{[00:00:22]}). Es wird angenommen, dass die zugeführte elektrische Leistung vollständig in Wärmeleistung umgewandelt wird. Die Formel für diese Umwandlung lautet:\n\\begin{equation}\n\tP_{el} = P_{th} = U \\cdot I\n\\end{equation}\nDiese Wärmeleistung wird als thermischer Strom aufgefasst und das System kann als thermische Stromquelle modelliert werden (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=96s}{[00:01:36]}).\n\nDie erzeugte Wärme wird durch ein umgebendes Medium an die Umgebung abgeführt (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=145s}{[00:02:25]}). Dieser Wärmetransport wird durch die Temperaturdifferenz zwischen der Oberfläche des Systems und der Umgebung angetrieben. Die Temperaturdifferenz ist definiert als:\n\\begin{equation}\n\t\\Delta T = T_O - T_U\n\\end{equation}\nwobei $T_O$ die Oberflächentemperatur und $T_U$ die Umgebungstemperatur ist.\n\nDie Eigenschaften des Mediums, durch das die Wärme transportiert wird, werden durch den thermischen Widerstand $R_{th}$ charakterisiert (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=222s}{[00:03:42]}). Die Umgebungstemperatur wird als konstant angenommen und kann durch eine thermische Spannungsquelle modelliert werden (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=252s}{[00:04:12]}).\n\nDer thermische Widerstand stellt den Zusammenhang zwischen dem Wärmestrom und der Temperaturdifferenz her. Wenn ein linearer Zusammenhang angenommen wird, gilt analog zum Ohmschen Gesetz (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=494s}{[00:08:14]}):\n\\begin{equation}\n\tR_{th} = \\frac{\\Delta T}{P_{th}} = \\frac{\\Delta \\vartheta}{P_{th}}\n\\end{equation}\nDie Einheit des thermischen Widerstandes ist Kelvin pro Watt ($\\frac{K}{W}$).\n\nAls Anwendungsbeispiel wird eine Heizplatte betrachtet (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=575s}{[00:09:35]}) mit folgenden Werten:\n\\begin{itemize}\n\t\\item Leistung: $P_{el} = 2 \\, kW$\n\t\\item Oberflächentemperatur: $\\vartheta_O = 60 \\, ^\\circ C$\n\t\\item Zimmertemperatur: $\\vartheta_U = 18 \\, ^\\circ C$\n\\end{itemize}\n\nDaraus wird der thermische Widerstand berechnet:\n\\begin{equation}\n\tR_{th} = \\frac{60\\,^\\circ C - 18\\,^\\circ C}{2\\,kW} = \\frac{42\\,K}{2\\,kW} = 21\\,\\frac{K}{kW} = 0.021\\,\\frac{K}{W}\n\\end{equation}"
    }
  ]
}