skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/7.4.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "7.4",
    "chapter_number": 7,
    "chapter": "Thermisch-elektrische Analogien",
    "title": "Wärmeübergangswiderstand, Kupferdraht",
    "question": "Ein vom Strom $I = 30 \\mathrm{A}$ durchflossener Kupferdraht soll sich höchstens um $60 \\mathrm{K}$ gegenüber seiner Umgebung erwärmen.\n\nDie Wärmeabfuhr an die Umgebung erfolgt durch Konvektion mit der Wärmeübergangszahl $\\alpha = 12,5 \\mathrm{W}/\\mathrm{K}\\mathrm{m}^2$.\n\nWelcher Drahtdurchmesser muss gewählt werden?",
    "short_solution": "$d=2,05\\mim $",
    "solution_path": "\\rBild{scale=1.00}{_w_1}\n\n\\begin{align*}\nA_K & = \\pi dL, \nA_D = \\frac{\\pi d^2}{4}, \n\nP_{el} & = I^2R = \\frac{4I^2\\rho L}{\\pi d^2}, \nP_K = \\alpha A_{K} \\Delta \\vartheta = \\alpha \n\\pi dL\\Delta \\vartheta ,\n\nP_{el} & = P_K \\Rightarrow \\alpha \\pi dL\\Delta \\vartheta \n= \\frac{4I^2\\rho L}{\\pi d^2} \\Rightarrow \nd = \\sqrt[3]{\\frac{4I^2\\rho }{\\pi ^2\\alpha \\Delta \\vartheta }} \n\\end{align*}\nZahlenwerte:\n\\begin{align*}\nd& = \\sqrt[3]{\\frac{\n4\\cdot 900 \\mathrm{A}^2\\cdot 17,\\!8\\frac{\n\\miOhm \\mim^2}{\\mathrm{m}\n}\n}{\n\\pi^2 \\cdot 1,\\!25\\frac{\\miW}{\\mathrm{cm}^2 \\mathrm{K}}\\cdot 60 \\mathrm{K}\n}} = \\sqrt[3]{8,\\!66 \\mim^3} = 2,\\!05 \\mim.\n\nS&=\\frac{I}{A_D }={4I}{\\pi d^2}=9,\\!09 \\frac{A}{\\mim^{2}}\n\\end{align*}",
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      "chunk_id": "get-2425-v050-c02",
      "lecture_chapter": "7.3",
      "video_title": "Kap. 7.3 Wärmetransportmechanismen",
      "heading": "Wärmeströmung (Konvektion)",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=VJZMi3DesOI",
      "content": "Der Wärmetransport durch ein bewegtes Medium, wie Gas oder Flüssigkeit, wird als Konvektion bezeichnet \\href{https://www.youtube.com/watch?v=VJZMi3DesOI&t=316s}{[00:05:16]}. Die Bemessungsgleichung des Übergangswiderstandes bei Konvektion lautet:\n\\[ R_{thK} = \\frac{\\Delta T}{P_{thK}} = \\frac{1}{\\alpha_K A} \\]\nDie Wärmeübergangszahl für Konvektion, $\\alpha_K$, ist abhängig von der Oberflächenbeschaffenheit und der Konvektionsart \\href{https://www.youtube.com/watch?v=VJZMi3DesOI&t=430s}{[00:07:10]}."
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