skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/7.7.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "7.7",
    "chapter_number": 7,
    "chapter": "Thermisch-elektrische Analogien",
    "title": "Thermischer Widerstand, Widerstand",
    "question": "Ein Widerstand mit den angegebenen Abmessungen ist auf einer\nLeiterplatte eingelötet.\n\n(Widerstand: Länge $l_\\mathrm{W} = 6 \\mim$, Durchmesser\n$d_\\mathrm{W} = 2,5 \\mim$\n\nCu-Anschlussdraht (eine Seite): Länge $l_\\mathrm{D} = 12,5 \\mim$,\nDurchmesser $d_\\mathrm{D} = 0,6 \\mim$)\n\nDie in dem Widerstand entstehende Wärmeleistung wird über seine\nOberfläche (Konvektion) und über seine Anschlussdrähte\n(Wärmeleitung) abgeführt.\n\n- Berechnen Sie den Wärmeübergangswiderstand der Oberfläche\ndes Widerstandes und den Wärmeleitungswiderstand eines\nAnschlussdrahtes. \\item Die Leiterplattentemperatur ist gleich der\nUmgebungstemperatur. Zeichnen Sie die thermische Ersatzschaltung\nder Anordnung.\n\n- Wie groß ist die Oberflächentemperatur $\\vartheta_\\mathrm{o}$ des\nWiderstandes, wenn an ihm eine\nelektrische Leistung $P = 0,35 \\mathrm{W}$ umgesetzt wird und die\nLeiterplatte und die Umgebungsluft die Temperatur $\\vartheta_\\mathrm{u}= 40\\gC$ haben?\n\n\\hinw{\\begin{tabular}[t]{l}\nWärmeleitungszahl für Cu: $\\lambda = 390 \\frac{\\dW}{\\dmiK}$\n\nWärmeübergangszahl $\\alpha = 12,5\\frac{\\dW}{\\dm^2\\dK}$\n\\end{tabular}\n}\n\n\\psTdR{l_D}{$l_\\mathrm{D}$}\\psTdR{d_D}{$d_\\mathrm{D}$}\n\\psTdC{l_W}{$l_\\mathrm{W}$}\\psTdC{d_W}{$d_\\mathrm{W}$}\n\\psTsC{Leiterplatte}\\psTdC{Loetstelle}{Lötstelle}\n\\psTsL{Cu-Anschlussdraht}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-07-007-thermischer_widerstand_widerstand-1: Thermischer Widerstand 2](assets/et1-07-007-thermischer_widerstand_widerstand-1/01-Thermischer_Widerstand_2.png)",
    "short_solution": "a) $R_\\mathrm{th}=54,5\\mathrm{K}/\\mathrm{W} $ \\:\\: c) $ \\vartheta_\\mathrm{o}=59,1\\gC $",
    "solution_path": "- Ersatzschaltung:\n\n\\rBild{scale=1.41}{_w_1}\n\nWärmeleitungswiderstand: \n$$\nR_{thL} = \\frac{l_D }{\\lambda A_{D} } ,\nR_{thL} = \\frac{2\\cdot 12,\\!5 \\mim \\cdot \n10^3 \\mim\\mathrm{K}}{390 W\\cdot \\pi \n\\left(\\frac{0,\\!6}{2}\\right)^2} = 226,\\!7 \\frac{K}{W} ,\n$$\nWärmeübergangswiderstand:\n\n\\begin{align*}\nR_{\\text{ thÜ}} &= \\frac{1}{\\alpha A_{ W} }, \n\\text{Widerstandsoberfläche} A_{ W} = \\pi d_W l_W \n+ 2\\cdot \\frac{\\pi {d_W}^2 }{4}, \\Rightarrow \n\nA_{W} &= 47,\\!1 \\mim^{2} + 9,\\!8\\mim^{2} = 56,\\!9 \\mim^{2 }, \nR_{\\text{ thÜ}} = 1406,\\!0 \\frac{\\mathrm{K}}{\\mathrm{W}},\n\\end{align*}\nGesamter thermischer Widerstand: $R_{th} = R_{thL} \n\\| R_{\\text{ thÜ}} = 54,\\!5 \\frac{\\mathrm{K}}{\\mathrm{W}}.$\n\n- Wegen $P = \\frac{\\vartheta_o - \\vartheta_u \n}{R_{ th} }$, $\\Delta \\vartheta = \\vartheta_o \n- \\vartheta_u = PR_{ th} $ ist \n\\begin{align*}\n\\Delta \\vartheta & = 0,\\!35W\\cdot 195,\\!2 \\frac{\\mathrm{K}}{\\mathrm{W}} = 68,\\!3 \\mathrm{K},\n\n\\vartheta_{o} &= \\vartheta_{u} + 19,\\!1 \\mathrm{K} = 59,\\!1 \\gC. \n\\end{align*}",
    "figures": [
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        "id": "et1-07-007-thermischer_widerstand_widerstand-1-fig-01",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "Thermischer_Widerstand_2",
        "source_asset": "7-Thermisch_elektrische_Analogien/bilder/Thermischer_Widerstand_2.eps",
        "asset": "assets/et1-07-007-thermischer_widerstand_widerstand-1/01-Thermischer_Widerstand_2.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-07-007-thermischer_widerstand_widerstand-1: Thermischer Widerstand 2"
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  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v049-c00",
      "lecture_chapter": "7.2",
      "video_title": "Kap. 7.2 Thermische Ersatzelemente",
      "heading": "Einführung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0",
      "content": "Das Video führt in die thermischen Ersatzelemente ein, um technische Systeme unter thermischen Aspekten zu modellieren.\n\nEin technisches System, dem elektrische Leistung zugeführt wird, wird betrachtet (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=22s}{[00:00:22]}). Es wird angenommen, dass die zugeführte elektrische Leistung vollständig in Wärmeleistung umgewandelt wird. Die Formel für diese Umwandlung lautet:\n\\begin{equation}\n\tP_{el} = P_{th} = U \\cdot I\n\\end{equation}\nDiese Wärmeleistung wird als thermischer Strom aufgefasst und das System kann als thermische Stromquelle modelliert werden (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=96s}{[00:01:36]}).\n\nDie erzeugte Wärme wird durch ein umgebendes Medium an die Umgebung abgeführt (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=145s}{[00:02:25]}). Dieser Wärmetransport wird durch die Temperaturdifferenz zwischen der Oberfläche des Systems und der Umgebung angetrieben. Die Temperaturdifferenz ist definiert als:\n\\begin{equation}\n\t\\Delta T = T_O - T_U\n\\end{equation}\nwobei $T_O$ die Oberflächentemperatur und $T_U$ die Umgebungstemperatur ist.\n\nDie Eigenschaften des Mediums, durch das die Wärme transportiert wird, werden durch den thermischen Widerstand $R_{th}$ charakterisiert (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=222s}{[00:03:42]}). Die Umgebungstemperatur wird als konstant angenommen und kann durch eine thermische Spannungsquelle modelliert werden (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=252s}{[00:04:12]}).\n\nDer thermische Widerstand stellt den Zusammenhang zwischen dem Wärmestrom und der Temperaturdifferenz her. Wenn ein linearer Zusammenhang angenommen wird, gilt analog zum Ohmschen Gesetz (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=494s}{[00:08:14]}):\n\\begin{equation}\n\tR_{th} = \\frac{\\Delta T}{P_{th}} = \\frac{\\Delta \\vartheta}{P_{th}}\n\\end{equation}\nDie Einheit des thermischen Widerstandes ist Kelvin pro Watt ($\\frac{K}{W}$).\n\nAls Anwendungsbeispiel wird eine Heizplatte betrachtet (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=575s}{[00:09:35]}) mit folgenden Werten:\n\\begin{itemize}\n\t\\item Leistung: $P_{el} = 2 \\, kW$\n\t\\item Oberflächentemperatur: $\\vartheta_O = 60 \\, ^\\circ C$\n\t\\item Zimmertemperatur: $\\vartheta_U = 18 \\, ^\\circ C$\n\\end{itemize}\n\nDaraus wird der thermische Widerstand berechnet:\n\\begin{equation}\n\tR_{th} = \\frac{60\\,^\\circ C - 18\\,^\\circ C}{2\\,kW} = \\frac{42\\,K}{2\\,kW} = 21\\,\\frac{K}{kW} = 0.021\\,\\frac{K}{W}\n\\end{equation}"
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v050-c01",
      "lecture_chapter": "7.3",
      "video_title": "Kap. 7.3 Wärmetransportmechanismen",
      "heading": "Wärmeleitung im homogenen Strömungsfeld",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=VJZMi3DesOI",
      "content": "Zunächst wird die Wärmeleitung in einem homogenen Strömungsfeld betrachtet \\href{https://www.youtube.com/watch?v=VJZMi3DesOI&t=46s}{[00:00:46]}. Für ein Volumenelement mit der Querschnittsfläche A und der Länge l wird die Bemessungsgleichung des thermischen Widerstandes hergeleitet:\n\\[ R_{th} = \\frac{l}{\\lambda A} = \\frac{1}{\\alpha A} \\]\nDabei ist $\\lambda$ die Wärmeleitfähigkeit, eine Materialkonstante mit der Einheit $\\frac{W}{m \\cdot K}$ \\href{https://www.youtube.com/watch?v=VJZMi3DesOI&t=146s}{[00:02:26]}, und $\\alpha$ die Wärmeübergangszahl mit der Einheit $\\frac{W}{m^2 \\cdot K}$ \\href{https://www.youtube.com/watch?v=VJZMi3DesOI&t=192s}{[00:03:12]}. Der Wärmestrom $P_{th}$ ist proportional zur Temperaturdifferenz $\\Delta T$:\n\\[ P_{th} = \\frac{\\Delta T}{R_{th}} = \\lambda A \\frac{\\Delta T}{l} = \\alpha A \\Delta T \\]\nAnschließend wird eine Tabelle mit den Wärmeleitfähigkeiten verschiedener Stoffe wie Silber, Kupfer, Glas, Wasser und Luft gezeigt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=VJZMi3DesOI&t=231s}{[00:03:51]}."
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