skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/0.1.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "0.1",
    "chapter_number": 0,
    "chapter": "Voraussetzungen",
    "title": "Funktionsgleichungen",
    "question": "In Abbildung~fig:Funktionsgleichungen sind verschiedene Funktionen grafisch dargestellt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen $U(t)$, $I(t)$, $Q(t)$, $Q_1(t)$ und $y(x)$ aus den gegebenen grafischen Darstellungen.\n\n\\psset{unit=2.0cm}\n\\subfigure[lineare Funktion $U(t)$]{\n\n[Direkt gezeichnete PSTricks-Abbildung; Quellcode siehe JSON-Metadaten]\n\n}\n\n\\subfigure[quadratische Funktion]{\n\n[Direkt gezeichnete PSTricks-Abbildung; Quellcode siehe JSON-Metadaten]\n\n}\n\n\\subfigure[stückweise lineare Funktion]{\n\n[Direkt gezeichnete PSTricks-Abbildung; Quellcode siehe JSON-Metadaten]\n\n}\n\n\\subfigure[Exponentialfunktion $Q_1(t)=A \\e^{-t/\\tau}$ Wie groß sind $A$ und $\\tau$?]{\n\n[Direkt gezeichnete PSTricks-Abbildung; Quellcode siehe JSON-Metadaten]\n\n}\n\n\\subfigure[quadratische Funktion]{\n\n[Direkt gezeichnete PSTricks-Abbildung; Quellcode siehe JSON-Metadaten]\n\n}\n\n*Abbildung: Funktionen*",
    "short_solution": "",
    "solution_path": "- Lineare Funktion $U(t) = at+b$\n\\[b = U(0)=U_1\n\\]\n\\[a = \\frac{U(t_1)-U(0)}{t_1-0} = \\frac{0-U_1}{t_1-0} = \\frac{-U_1}{t_1}\n\\]\n\\[\\underline{U(t) = \\frac{-U_1}{t_1}t + U_1 = U_1 \\left(1- \\frac{t}{t_1}\\right)}\n\\]\n\n- Quadratische Funktion (Scheitelpunktsform) $I(t)=a(t-b)^2+c$\n\nScheitelpunkt bei $t=0$ liefert folgende Bedingungen:\n\\[(1) I(0)=a(0-b)^2+c=0\n\\]\n\\[(2) \\dot{I}(t)\\bigm|_{t=0}=2a(t-b)\\bigm|_{t=0}=-2ab=0\n\\]\n\\[\n\\text{da } a\\neq0 \\Rightarrow b=0 \\text{ und } c=0 \\Rightarrow I(t)=at^2\n\\]\n\\[ (3) I(t_1)=a t_1^2=I_1 \\Rightarrow a=\\frac{I_1}{t_1^2}\n\\]\n\\[\\underline{I(t)=\\frac{I_1}{t_1^2}t^2}\n\\]\n\n- Stückweise lineare Funktion \n\nFür den Teilbereich $t_2 \\le t \\le t_3$: $Q(t) = at+b$\n\\[ a=\\dfrac{Q(t_3)-Q(t_2)}{t_3-t_2}=-\\dfrac{Q_0}{t_3-t_2}\n\\] \n\\[ Q(t_3) = 0 = a \\cdot t_3 + b \\Rightarrow b = - a \\cdot t_3 = \\dfrac{Q_0}{t_3-t_2} t_3\n\\]\n\\[\nQ(t) = \\begin{cases}\n\\frac{Q_0}{t_1}t & 0 \\le t < t_1 \n\nQ_0 & t_1 \\le t < t_2 \n\n\\frac{-Q_0}{t_3-t_2} t + \\frac{Q_0}{t_3 - t_2} t_3 & t_2 \\le t \\le t_3\n\\end{cases}\n\\]\n\nMan beachte, dass die Funktion $Q(t)$ an den Bereichsgrenzen $t_1$ und $t_2$ jeweils nur einmal definiert sein darf.\n\n- Exponentialfunktion $Q_1(t) = A\\e^{-t/\\tau}$\n\n\\[\n(1) Q_1(t_0) = -Q_0 = A \\e^{-t_0/\\tau} \\Rightarrow A = -Q_0 \\e^{\\frac{t_0}{\\tau}} \n\\]\nAnstieg der Funktion bei $t=t_0$:\n\\[\n(2) \\dot{Q}_1(t)\\bigm|_{t=t_0} = -\\frac{A}{\\tau}\\e^{-t/\\tau}\\Bigm|_{t=t_0}\n= -\\frac{A}{\\tau}\\e^{-t_0/\\tau} = \\underbrace{\\frac{Q_0}{t_1-t_0} }_{\\text{Anstieg der Tangente}}\n\\]\n\nEinsetzen von (1) in (2) liefert:\n\\[\\tau=t_1-t_0 , A = -Q_0 \\e^{\\frac{t_0}{t_1-t_0}} \\]\n\\[\nQ_1(t) = -Q_0 \\e^{\\frac{t_0}{t_1-t_0}}\\e^{\\frac{-t}{t_1-t_0}} \n= \\underline{-Q_0 \\e^{-\\frac{t-t_0}{t_1-t_0}}}\n\\]\n\n- Quadratische Funktion, siehe Teilaufgabe b): $y(x)=a(x-b)^2+c$\n\nScheitelpunkt bei $x=0$:\n\n\\[(1) y(0)=y_0=a(0-b)^2+c\n\\]\n\\[(2) y^\\prime(x)\\bigm|_{x=0}=2a(x-b)\\bigm|_{x=0}=-2ab=0\n\\]\n\\[\n\\text{da } a\\neq0 \\Rightarrow b=0 \\text{ und } c=y_0 \\Rightarrow y(x)=ax^2+y_0\n\\]\n\\[ (3) y(x_1)=a x_1^2+y_0 = 0 \\Rightarrow a=-\\frac{y_0}{x_1^2}\n\\]\n\\[\ny(x) = - \\frac{y_0}{x_1^2}x^2 + y_0 = \\underline{- y_0 (\\frac{x^2}{x_1^2}-1)}\n\\]",
    "figures": [
      {
        "id": "et1-00-001-funktionsgleichungen-1-fig-01",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "inline-pstricks",
        "source_asset": null,
        "asset": null,
        "conversion_status": "inline_latex_preserved",
        "alt_text": "Direkt in LaTeX/PSTricks gezeichnete Abbildung zur Aufgabe et1-00-001-funktionsgleichungen-1",
        "source_latex": "\\begin{pspicture*}[showgrid=false](-0.6,-0.5)(2.1,1.6)\n\\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(2,1.5)\n\\psplot[algebraic,linecolor=red,linewidth=1pt]{-0.1}{1.7}{-0.667*x+1}\n\\rput[rt](-0.1,-0.1){$0$}\n\\rput[r](-0.1,1.5){$U$}\n\\rput[t](2,-0.1){$t$}\n\\psline{-}(-0.1,1)(+0.1,1)\n\\rput[r](-0.15,1){$U_1$}\n\\psline{-}(1.5,-0.1)(1.5,+0.1)\n\\rput[t](1.5,-0.2){$t_1$}\n\\end{pspicture*}"
      },
      {
        "id": "et1-00-001-funktionsgleichungen-1-fig-02",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "inline-pstricks",
        "source_asset": null,
        "asset": null,
        "conversion_status": "inline_latex_preserved",
        "alt_text": "Direkt in LaTeX/PSTricks gezeichnete Abbildung zur Aufgabe et1-00-001-funktionsgleichungen-1",
        "source_latex": "\\begin{pspicture*}[showgrid=false](-0.5,-0.5)(2.1,1.6)\n\\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(2,1.5)\n\\psplot[algebraic,linecolor=red,linewidth=1pt]{0}{1.7}{0.4*x^2}\n\\rput[rt](-0.1,-0.1){$0$}\n\\rput[r](-0.1,1.5){$I$}\n\\rput[t](2,-0.1){$t$}\n\\psline{-}(-0.1,0.8)(+0.1,0.8)\n\\rput[r](-0.15,0.8){$I_1$}\n\\psline{-}(1.414,-0.1)(1.414,+0.1)\n\\rput[t](1.414,-0.2){$t_1$}\n\\psline[linestyle=dotted]{-}(0.0,0.8)(1.414,+0.8)\n\\psline[linestyle=dotted]{-}(1.414,0.0)(1.414,+0.8)\n\\rput[l](0.2,1.3){\\footnotesize Scheitelpunkt bei $t=0$}\n\\end{pspicture*}"
      },
      {
        "id": "et1-00-001-funktionsgleichungen-1-fig-03",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "inline-pstricks",
        "source_asset": null,
        "asset": null,
        "conversion_status": "inline_latex_preserved",
        "alt_text": "Direkt in LaTeX/PSTricks gezeichnete Abbildung zur Aufgabe et1-00-001-funktionsgleichungen-1",
        "source_latex": "\\begin{pspicture*}[showgrid=false](-0.6,-0.5)(3.1,1.6)\n\\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(3,1.5)\n\\psplot[algebraic,linecolor=red,linewidth=1pt]{0}{1}{x}\n\\psplot[algebraic,linecolor=red,linewidth=1pt]{1}{1.8}{1}\n\\psplot[algebraic,linecolor=red,linewidth=1pt]{1.8}{2.4}{-1.667*x+4}\n\\rput[rt](-0.1,-0.1){$0$}\n\\rput[r](-0.1,1.5){$Q$}\n\\rput[t](3,-0.1){$t$}\n\\psline{-}(-0.1,1.0)(+0.1,1.0)\n\\rput[r](-0.15,1.0){$Q_0$}\n\\psline{-}(1,-0.1)(1,+0.1)\n\\rput[t](1,-0.2){$t_1$}\n\\psline{-}(1.8,-0.1)(1.8,+0.1)\n\\rput[t](1.8,-0.2){$t_2$}\n\\psline{-}(2.4,-0.1)(2.4,+0.1)\n\\rput[t](2.4,-0.2){$t_3$}\n\\psline[linestyle=dotted]{-}(0.0,1.0)(1.0,+1.0)\n\\psline[linestyle=dotted]{-}(1,0.0)(1,1)\n\\psline[linestyle=dotted]{-}(1.8,0.0)(1.8,1)\n\\end{pspicture*}"
      },
      {
        "id": "et1-00-001-funktionsgleichungen-1-fig-04",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "inline-pstricks",
        "source_asset": null,
        "asset": null,
        "conversion_status": "inline_latex_preserved",
        "alt_text": "Direkt in LaTeX/PSTricks gezeichnete Abbildung zur Aufgabe et1-00-001-funktionsgleichungen-1",
        "source_latex": "\\begin{pspicture*}[showgrid=false](-0.7,-2)(2.3,0.7)\n\\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-0.0,-2)(2.2,0.5)\n\\psplot[algebraic,linestyle=dashed]{0.1}{1.4}{1.5*x-1.95}\n\\psplot[algebraic,linecolor=red,linewidth=1pt]{0.3}{2}{-0.9*Euler^((0.7-x)/0.6)}\n\\qquad\n\\rput[r](-0.1,0.0){$0$}\n\\rput[r](-0.1,0.5){$Q_1$}\n\\rput[t](2.2,-0.1){$t$}\n\\psline{-}(-0.1,-0.9)(+0.1,-0.9)\n\\rput[r](-0.15,-0.9){$-Q_0$}\n\\psline{-}(0.7,-0.1)(0.7,+0.1)\n\\rput[b](0.7,0.2){$t_0$}\n\\psline{-}(1.3,-0.1)(1.3,+0.1)\n\\rput[b](1.3,0.2){$t_1$}\n\\psline[linestyle=dotted]{-}(0.0,-0.9)(0.7,-0.9)\n\\psline[linestyle=dotted]{-}(0.7,0.0)(0.7,-0.9)\n\\rput[l](0.6,-1.5){\\footnotesize Tangente im Punkt}\n\\rput[l](0.6,-1.7){$(t_0,-Q_0)$}\n\\psline[,linewidth=0.25pt]{-}(0.26,-1.55)(0.6,-1.5)\n\\end{pspicture*}"
      },
      {
        "id": "et1-00-001-funktionsgleichungen-1-fig-05",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "inline-pstricks",
        "source_asset": null,
        "asset": null,
        "conversion_status": "inline_latex_preserved",
        "alt_text": "Direkt in LaTeX/PSTricks gezeichnete Abbildung zur Aufgabe et1-00-001-funktionsgleichungen-1",
        "source_latex": "\\begin{pspicture*}[showgrid=false](-0.6,-0.5)(2.1,1.6)\n\\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(2,1.5)\n\\psplot[algebraic,linecolor=red,linewidth=1pt]{0}{1.6}{-0.445*(x^2)+1}\n\\rput[rt](-0.1,-0.1){$0$}\n\\rput[r](-0.1,1.5){$y$}\n\\rput[t](2,-0.1){$x$}\n\\psline{-}(-0.1,1)(+0.1,1)\n\\rput[r](-0.15,1){$y_0$}\n\\psline{-}(1.5,-0.1)(1.5,+0.1)\n\\rput[t](1.5,-0.2){$x_1$}\n\\rput[l](0.2,1.2){\\footnotesize Scheitelpunkt bei $x=0$}\n\\end{pspicture*}"
      }
    ]
  },
  "video_refs": []
}