← Files KI-Tutor Grundlagen der ETARCHIVED FILE
skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.15.json
14.5 KB · Oct 7, 2026 · 00:35 UTC
{
"exercise": {
"exercise_number": "3.15",
"chapter_number": 3,
"chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
"title": "Spannungsteiler mit konstantem Laststrom",
"question": "Bei einem veränderbaren Spannungsteiler fließt\nunabhängig von der Spannung $U$ ein konstanter Laststrom $I$.\n\n\\mpBR{6.5cm}{\n\n- Ersetzen Sie in der gegebenen Schaltung das Potentiometer durch zwei variable Widerstände.\n\n- Berechnen Sie die Spannung $U$ allgemein.\n\n- Stellen Sie $U/U_\\mathrm{q}$ als Funktion von $a$ mit $I~/~I_\\mathrm{T}$ als Parameter rechnerisch und grafisch dar (Parameter~$I/I_\\mathrm{T}~=~0,1$;~$0,5$;~$1$).\n\nDie Normierungsgröße $I_\\mathrm{T}$ ist dabei der Strom, der ohne Belastung, also bei $I=0$, durch den Widerstand $R$ fließen würde (Querstrom).\n}\n{\n\n\\psMsR{R}\n\\psMsR{a=1}\n\\psMsR{a=0}\n\\psMsL{(1-a)R}\\psMsL{aR}\n\\psTdR{U_q}{$U_\\mathrm{q}$}\\psMsR{U}\\psMsL{I}\n\n\n\n}\n\n- Berechnen Sie die Spannungsdifferenz zwischen der Spannung\n$U_0$ ohne Laststrom und der Spannung $U$ mit Laststrom $I$ und\nstellen Sie sie auf $U_\\mathrm{q}$ normiert als Funktion von $a$ grafisch\ndar (Parameter~$I/I_\\mathrm{T}~=~0,1$;~$0,5$;~$1$). \\item Berechnen Sie die\nStröme in den beiden Teilwiderständen des Spannungsteilers und\nstellen Sie sie auf $I_\\mathrm{T}$ normiert in Abhängigkeit von $a$\ngrafisch dar (Parameter $I/I_\\mathrm{T}~=~0,1$;~$0,5$;~$1$).",
"short_solution": "c) $ \\dfrac{\\Delta U}{U_\\mathrm{q}}={\\dfrac{I}{I_\\mathrm{T}}}a(1-a)$; \\:\\: d) $\n\\dfrac{I_2}{I_\\mathrm{T}}=1-\\dfrac{I}{I_\\mathrm{T}}(1-a) $; \\: $\n\\dfrac{I_1}{I_\\mathrm{T}}=1+\\dfrac{I}{I_\\mathrm{T}}a $",
"solution_path": "- Ersatzschaltung\n\n\\centerline{\n\n}\n\n- mit Überlagerungssatz: $U = a U_\\mathrm{q} - I(aR || (1-a)R)$\n\n$\\frac{U}{U_\\mathrm{q}} = a - \\frac{I}{U_\\mathrm{q}} (aR || (1-a)R)$\n\nEinführung des sog.\\ \"`Querstromes\"' $I_\\mathrm{T}$ des Teilers: $I_\\mathrm{T} = \\frac{U_\\mathrm{q}}{R}$\n\n$\\frac{U}{U_\\mathrm{q}} = a - \\frac{I}{I_\\mathrm{T}}a(1 - a)$\n\nAlternativlösungen mit Zweipolersatzschaltung (z.\\,B.\\ wenn der Überlagerungssatz { noch nicht} \nzur Verfügung steht): \n\n\\centerline{\n\n}\n\n$I^* = \\frac{U_\\mathrm{q} + I aR}{R} = \\frac{U_\\mathrm{q}}{R} + aI$, $U = I^* aR - I aR = aU_\\mathrm{q} + I a^2 R - I aR$\n\n$\\frac{U}{U_\\mathrm{q}} = a - \\frac{I}{I_\\mathrm{T}} a(1 - a)$\n\noder\n\n\\centerline{\n\n}\n\n$U = \\left( \\frac{U_\\mathrm{q}}{(1 - a)R} - I \\right) aR || (1 - a)R = aU_\\mathrm{q} - I aR || (1 - a)R$\n\n$\\frac{U}{U_\\mathrm{q}} = a - \\frac{I}{I_\\mathrm{T}} a(1 - a)$\n\n- Parameter $\\frac{I}{I_\\mathrm{T}}$ \n\n\\centerline{\n\n}\n\n- $U_0 = aU_\\mathrm{q} \\Rightarrow \\Delta U = U_0 - U_\\mathrm{q} \\Rightarrow \n\\frac{\\Delta U}{U_\\mathrm{q}} = a - a + \\frac{I}{I_\\mathrm{T}}a(1 - a)$\n\n$\\frac{\\Delta U}{U_\\mathrm{q}} = \\frac{I}{I_\\mathrm{T}}a(1 - a)$\n\nParameter $\\frac{I}{I_\\mathrm{T}}$ \n\n\\centerline{\n\n}\n\n- $I_1 = I + I_2$, $I_2 = \\frac{U}{aR}$\n\n$I_2 = \\frac{aU_\\mathrm{q} - U_\\mathrm{q} \\frac{I}{I_\\mathrm{T}}a(1 - a)}{aR} = I_\\mathrm{T} - I(1 - a)$\n\ndamit folgt \n\n$\\frac{I_2}{I_\\mathrm{T}} = 1 - \\frac{I}{I_\\mathrm{T}}(1 - a)$ und $\\frac{I_1}{I_\\mathrm{T}} = 1 + \\frac{I}{I_\\mathrm{T}}a$\n\nParameter $\\frac{I}{I_\\mathrm{T}}$ \n\n\\centerline{\n\n}\n\n\\centerline{\n\n}",
"figures": [
{
"id": "et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1-fig-01",
"role": "aufgabenstellung",
"latex_reference": "Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1",
"source_asset": "3-Elementare_Schaltungsanalyse/bilder/Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1.eps",
"asset": "assets/et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1/01-Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1.png",
"conversion_status": "converted",
"alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1: Spannungsteiler mit konstantem Laststrom 1",
"psfrag_substitutions": {
"I": "$I$",
"aR": "$aR$",
"1maR": "$(1-a)R$",
"U": "$U$",
"IaR": "$I aR$",
"IS": "$I^*$",
"a": "$a$"
}
},
{
"id": "et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1-fig-02",
"role": "loesungsweg",
"latex_reference": "Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w7.eps",
"source_asset": "3-Elementare_Schaltungsanalyse/bilder/Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w7.eps",
"asset": "assets/et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1/02-Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w7.png",
"conversion_status": "converted",
"alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1: Spannungsteiler mit konstantem Laststrom 1 w7",
"psfrag_substitutions": {
"I": "$I$",
"aR": "$aR$",
"1maR": "$(1-a)R$",
"U": "$U$",
"IaR": "$I aR$",
"IS": "$I^*$",
"a": "$a$"
}
},
{
"id": "et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1-fig-03",
"role": "loesungsweg",
"latex_reference": "Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w1.eps",
"source_asset": "3-Elementare_Schaltungsanalyse/bilder/Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w1.eps",
"asset": "assets/et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1/03-Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w1.png",
"conversion_status": "converted",
"alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1: Spannungsteiler mit konstantem Laststrom 1 w1",
"psfrag_substitutions": {
"I": "$I$",
"aR": "$aR$",
"1maR": "$(1-a)R$",
"U": "$U$",
"IaR": "$I aR$",
"IS": "$I^*$",
"a": "$a$"
}
},
{
"id": "et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1-fig-04",
"role": "loesungsweg",
"latex_reference": "Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w2.eps",
"source_asset": "3-Elementare_Schaltungsanalyse/bilder/Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w2.eps",
"asset": "assets/et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1/04-Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w2.png",
"conversion_status": "converted",
"alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1: Spannungsteiler mit konstantem Laststrom 1 w2",
"psfrag_substitutions": {
"I": "$I$",
"aR": "$aR$",
"1maR": "$(1-a)R$",
"U": "$U$",
"IaR": "$I aR$",
"IS": "$I^*$",
"a": "$a$"
}
},
{
"id": "et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1-fig-05",
"role": "loesungsweg",
"latex_reference": "Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w3.eps",
"source_asset": "3-Elementare_Schaltungsanalyse/bilder/Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w3.eps",
"asset": "assets/et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1/05-Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w3.png",
"conversion_status": "converted",
"alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1: Spannungsteiler mit konstantem Laststrom 1 w3",
"psfrag_substitutions": {
"I": "$I$",
"aR": "$aR$",
"1maR": "$(1-a)R$",
"U": "$U$",
"IaR": "$I aR$",
"IS": "$I^*$",
"a": "$a$"
}
},
{
"id": "et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1-fig-06",
"role": "loesungsweg",
"latex_reference": "Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w4.eps",
"source_asset": "3-Elementare_Schaltungsanalyse/bilder/Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w4.eps",
"asset": "assets/et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1/06-Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w4.png",
"conversion_status": "converted",
"alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1: Spannungsteiler mit konstantem Laststrom 1 w4",
"psfrag_substitutions": {
"I": "$I$",
"aR": "$aR$",
"1maR": "$(1-a)R$",
"U": "$U$",
"IaR": "$I aR$",
"IS": "$I^*$",
"a": "$a$"
}
},
{
"id": "et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1-fig-07",
"role": "loesungsweg",
"latex_reference": "Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w5.eps",
"source_asset": "3-Elementare_Schaltungsanalyse/bilder/Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w5.eps",
"asset": "assets/et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1/07-Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w5.png",
"conversion_status": "converted",
"alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1: Spannungsteiler mit konstantem Laststrom 1 w5",
"psfrag_substitutions": {
"I": "$I$",
"aR": "$aR$",
"1maR": "$(1-a)R$",
"U": "$U$",
"IaR": "$I aR$",
"IS": "$I^*$",
"a": "$a$"
}
},
{
"id": "et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1-fig-08",
"role": "loesungsweg",
"latex_reference": "Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w6.eps",
"source_asset": "3-Elementare_Schaltungsanalyse/bilder/Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w6.eps",
"asset": "assets/et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1/08-Spannungsteiler_mit_konstantem_Laststrom_1_w6.png",
"conversion_status": "converted",
"alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-015-spannungsteiler_mit_konstantem_laststrom-1: Spannungsteiler mit konstantem Laststrom 1 w6",
"psfrag_substitutions": {
"I": "$I$",
"aR": "$aR$",
"1maR": "$(1-a)R$",
"U": "$U$",
"IaR": "$I aR$",
"IS": "$I^*$",
"a": "$a$"
}
}
]
},
"video_refs": [
{
"chunk_id": "get-2425-v025-c01",
"lecture_chapter": "3.1",
"video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 2",
"heading": "Belasteter Spannungsteiler",
"video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug",
"content": "Der unbelastete Spannungsteiler, wie er zuvor eingeführt wurde, besteht aus einer Reihenschaltung von zwei Widerständen. Die Frage, die hier geklärt wird, ist, wie man vorgeht, wenn die Schaltung mehr als zwei Widerstände enthält, insbesondere wenn ein Lastwiderstand parallel zu einem der Widerstände geschaltet ist (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=38s}{[00:00:38]}).\n\nDie Schaltung besteht aus einem Widerstand $R_1$ in Reihe mit einer Parallelschaltung aus dem Widerstand $R_2$ und einem Lastwiderstand $R_L$. Über dieser Anordnung liegt die Gesamtspannung $U$ an. Gesucht ist die Ausgangsspannung $U_2$ über der Parallelschaltung.\n\nUm den Spannungsteiler anwenden zu können, wird eine Ersatzschaltung gebildet, indem die Parallelschaltung aus $R_2$ und $R_L$ zu einem Ersatzwiderstand zusammengefasst wird. Die Schaltung wird so auf eine Reihenschaltung von zwei Widerständen reduziert: $R_1$ und der Ersatzwiderstand $R_{2||L} = R_2 || R_L$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=130s}{[00:02:10]}).\n\nDie Spannungsteilerregel lautet dann:\n\\[ \\frac{U_2}{U} = \\frac{R_2 || R_L}{R_1 + (R_2 || R_L)} \\]\nDurch Auflösen des Parallel-Operators erhält man (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=213s}{[00:03:33]}):\n\\[ \\frac{U_2}{U} = \\frac{\\frac{R_2 \\cdot R_L}{R_2 + R_L}}{R_1 + \\frac{R_2 \\cdot R_L}{R_2 + R_L}} \\]\nNach weiterer Umformung ergibt sich die Formel für die Ausgangsspannung $U_2$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=271s}{[00:04:31]}):\n\\[ U_2 = U \\cdot \\frac{R_2}{R_1 + R_2 + \\frac{R_1 \\cdot R_2}{R_L}} \\]\nAus dieser Formel lässt sich der Einfluss des Lastwiderstandes $R_L$ auf die Ausgangsspannung $U_2$ ablesen:\n\\begin{itemize}\n\t\\item Für $R_L \\to 0$ (Kurzschluss) wird der Nenner unendlich groß und $U_2 \\to 0$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=404s}{[00:06:44]}).\n\t\\item Für $R_L \\to \\infty$ (Leerlauf) wird der Term $\\frac{R_1 \\cdot R_2}{R_L}$ zu Null und man erhält die Formel für den unbelasteten Spannungsteiler: $U_2 = U \\cdot \\frac{R_2}{R_1 + R_2}$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=436s}{[00:07:16]}).\n\\end{itemize}"
}
]
}
SHA-256: 223ced20141be0af6b7612a7bf15dd745590c6a52005d7679ea0cf4541bfe693