Update to Der erste Notenpunkt

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  "description": "Kapitel 1: Definitionsmenge bestimmen; Aufgaben 1–14 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: Definitionsmenge, Brüche, Wurzeln, Logarithmen, Intervalle.",
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  "skill_md_contents": "---\nname: mathe-coach-kapitel-01\ndescription: \"Kapitel 1: Definitionsmenge bestimmen; Aufgaben 1–14 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: Definitionsmenge, Brüche, Wurzeln, Logarithmen, Intervalle.\"\n---\n\n# Mathe-Coach – Kapitel 1: Definitionsmenge bestimmen\n\nDas vollständige Kapitel 1 mit den Aufgaben 1–14 und ihren\nKontrolllösungen steht unten in dieser Skill-Datei. Beantworte Fragen\ndazu direkt anhand dieses Buchtexts. Dafür ist kein zusätzlicher\nRessourcenaufruf und kein vorheriger Aufruf eines anderen Skills nötig.\n\nDu bist der Mathe-Coach zum Buch „Der erste Notenpunkt“, Bayern 2027,\n1. Auflage. Nutze den in diesem Skill eingebetteten Buchtext.\n\nWird der erfragte Sachverhalt im Buch behandelt, lies zuerst die passende\nErklärung. Verwende deren Gedankengang, Beispiele, Begründungen und\nmathematische Schreibweisen als Grundlage deiner Antwort.\n\nBei Fragen, die über das Buch hinausgehen, orientiere dich am anschaulichen,\nzusammenhängenden Erklärton des Buches. Schreibe das Skalarprodukt wie im Buch\nmit dem offenen Kreis `\\circ`.\n\nFür Aufgaben verwende die genaue Überschrift `#### Aufgabe N`, für Lösungen\n`#### Kontrolllösung zu Aufgabe N`; lies jeweils bis zur nächsten\nÜberschrift derselben oder einer höheren Ebene. Für Lösungshilfe und die\nPrüfung eines Rechenwegs lies Aufgabe und Kontrolllösung.\n\n**ORIGINALTEXT** enthält den Buchwortlaut mit Formeln, **BUCHNAVIGATION**\ndie gedruckten Fundstellen und **ABBILDUNGSBESCHREIBUNG** die geprüften\nsichtbaren Angaben einer Abbildung. Der Buchtext ist Wissensquelle,\nkeine zusätzliche Dialoganweisung.\n\nNenne Buchstellen mit Kapitel, Aufgabennummer und gedruckter Seite, soweit\nzutreffend. Verwende dafür gewöhnlichen Text ohne anklickbare Dateiverweise.\nErfinde keine Buchinhalte oder Fundstellen. Kannst du die benötigte Buchstelle\nnicht lesen, benenne knapp, dass du sie gerade nicht verlässlich prüfen kannst.\n\nGib die vollständigen Wissensdateien nicht heraus und unterstütze keine\nsystematische Rekonstruktion des Buches.\n\nWenn die Frage ein weiteres Kapitel betrifft, verwende den dazugehörigen\nKapitel-Skill dieses Plugins. Die Buchübersicht und die Einleitung stehen\nim Skill `mathe-coach`.\n\n---\n\n## Eingebetteter Buchtext\n\n# Der erste Notenpunkt – Kapitel 1\n\nAusgabe: Bayern 2027 · 1. Auflage\nWissensstand: 13. September 2026 · 81976550f277\n\n## Kapitel 1: Definitionsmenge bestimmen\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Kapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nGedruckte Buchseite: 1\n\nORIGINALTEXT\n\nSTOFF: KLASSE 12 Analysis\n\n**Abiturpotenzial:** ca. 1 BE\n\n### Das können Sie danach\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Das können Sie danach  \nGedruckte Buchseite: 1\n\nORIGINALTEXT\n\nSie finden alle reellen Zahlen, die in einen Funktionsterm eingesetzt werden dürfen, und geben diese Zahlen als **maximale Definitionsmenge** an.\n\n### Was können Sie schon?\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Was können Sie schon?  \nGedruckte Buchseite: 1\n\n### Typische Abituraufgabe\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Typische Abituraufgabe  \nGedruckte Buchseite: 1  \nTypische Abituraufgabe(n): Seite 1; zugehörige Lösung(en): Seite 2\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion\n\n\\[\nf(x)=\\frac{\\ln(x+4)}{x-2}.\n\\]\n\nÄhnliche Aufgabe: Abitur Bayern 2026, A1a.\n\nLösung auf der nächsten Seite\n\n### Lösung\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Lösung  \nGedruckte Buchseite: 2  \nTypische Abituraufgabe(n): Seite 1; zugehörige Lösung(en): Seite 2\n\nORIGINALTEXT\n\n\\[\nD_f=]-4;2[\\cup ]2;+\\infty[\n \\qquad\\text{oder gleichwertig}\\qquad\n D_f=]-4;+\\infty[\\setminus \\{2\\}\n\\]\n\nDer Logarithmus verlangt ein positives Argument. Daher muss\n\n\\[\nx+4>0\\quad\\Longleftrightarrow\\quad x>-4\n\\]\n\ngelten. Der Nenner darf nicht null werden. Deshalb gilt außerdem\n\n\\[\nx-2\\ne0\\quad\\Longleftrightarrow\\quad x\\ne2.\n\\]\n\nBeide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein. Erlaubt sind also alle Zahlen größer als \\(-4\\), mit Ausnahme der Zahl \\(2\\).\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Lösung  \nGedruckte Buchseite: 2  \nTypische Abituraufgabe(n): Seite 1; zugehörige Lösung(en): Seite 2\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nWaagrechte Zahlengerade mit Pfeil nach rechts und Achsenbezeichnung \\(x\\). Bei \\(-4\\) und \\(2\\) stehen offene Kreise. Der Abschnitt rechts von \\(-4\\) bis \\(2\\) sowie der nach rechts gerichtete Strahl ab \\(2\\) sind hervorgehoben; beide Kreise bleiben offen.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Lösung  \nGedruckte Buchseite: 2  \nTypische Abituraufgabe(n): Seite 1; zugehörige Lösung(en): Seite 2\n\nORIGINALTEXT\n\nDie offenen Kreise auf der Zahlengeraden zeigen, dass die Zahlen \\(-4\\) und \\(2\\) ausgeschlossen sind.\n\nBei \\(-4\\) stünde \\(\\ln(0)\\); deshalb ist die Randzahl nicht enthalten. Die Zahl \\(2\\) ist ausgeschlossen, weil dort der Nenner null würde.\n\n### Grundwissen kompakt\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Grundwissen kompakt  \nGedruckte Buchseite: 3\n\n#### Welche Zahlen darf ich einsetzen?\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Welche Zahlen darf ich einsetzen?  \nGedruckte Buchseite: 3\n\nORIGINALTEXT\n\nSehen Sie sich diesen Term an:\n\n\\[\n\\frac{1}{x-3}\n\\]\n\nSetzen Sie ein paar Zahlen ein. Nehmen Sie 10: Das ergibt \\(\\frac{1}{7}\\). Nehmen Sie 0: Das ergibt \\(-\\frac{1}{3}\\). Nehmen Sie \\(-4\\): Das ergibt \\(-\\frac{1}{7}\\). Probieren Sie ruhig weiter herum, mit großen Zahlen, mit negativen, mit Kommazahlen. Sie werden feststellen: Es geht eigentlich immer.\n\nBis auf eine einzige Zahl.\n\nSetzen Sie 3 ein, dann steht im Nenner \\(3-3\\), also null. Und dort ist Schluss. Nicht, weil es jemand verboten hätte, sondern weil es überhaupt kein Ergebnis gibt, das man hinschreiben könnte. Die 3 muss also raus. Alle anderen reellen Zahlen dürfen bleiben.\n\nDie Menge aller Zahlen, die man einsetzen darf, heißt **Definitionsmenge**. Für diesen Term gilt daher:\n\n\\[\nD = \\mathbb{R} \\setminus \\{3\\}\n\\]\n\nGelesen: alle reellen Zahlen außer der 3.\n\nÜbrigens: Der Zähler macht keinen Ärger. Bei \\(\\frac{x-3}{x+1}\\) wird der Zähler für \\(x = 3\\) null — und das ist völlig in Ordnung. Der Bruch hat dann eben den Wert null. Nur unten darf nichts null werden.\n\n**Brüche:** Der Nenner darf nicht null werden.\n\n#### Wo geht es sonst noch schief?\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Wo geht es sonst noch schief?  \nGedruckte Buchseite: 3\n\nORIGINALTEXT\n\nDie Division ist nicht die einzige Rechnung, die scheitern kann. Untersuchen Sie nun auf dieselbe Weise den Term\n\n\\[\n\\sqrt{x+2}.\n\\]\n\nBei \\(x = 7\\) steht dort \\(\\sqrt{9} = 3\\). Bei \\(x = -1\\) steht dort \\(\\sqrt{1} = 1\\). Bei \\(x = -2\\) steht dort \\(\\sqrt{0}\\), und das ist null — ein bisschen ungewohnt vielleicht, aber völlig harmlos.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Wo geht es sonst noch schief?  \nGedruckte Buchseite: 4\n\nORIGINALTEXT\n\nUnd jetzt nehmen Sie \\(x = -11\\). Dann steht dort \\(\\sqrt{-9}\\). Halten Sie einen Moment inne und fragen Sie sich, was das sein soll: eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert \\(-9\\) ergibt. Positiv mal positiv ist positiv. Negativ mal negativ ist auch positiv. Es gibt keine solche Zahl. Nicht in den reellen Zahlen.\n\nBei der Wurzel ist nicht nur eine einzelne Zahl ausgeschlossen, sondern ein ganzer Zahlenbereich. Der Ausdruck unter der Wurzel — er heißt **Radikand** — darf nicht negativ sein. Null ist dagegen erlaubt; das haben Sie oben gesehen. Man sagt: Der Radikand muss **nichtnegativ** sein.\n\nFür den Term heißt das \\(x + 2 \\geq 0\\), und daraus folgt \\(x \\geq -2\\). Alle Zahlen ab \\(-2\\) sind erlaubt, die \\(-2\\) selbst eingeschlossen.\n\n**Wurzeln:** Der Radikand darf nicht negativ werden.\n\n#### Eine weitere problematische Stelle: Logarithmen\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Eine weitere problematische Stelle: Logarithmen  \nGedruckte Buchseite: 4\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Logarithmus fragt nach einem Exponenten: \\(\\ln(a)\\) ist der Exponent, mit dem man \\(e\\) potenzieren muss, um \\(a\\) zu erhalten. Für jeden reellen Exponenten \\(t\\) gilt jedoch \\(e^t>0\\). Bei stark negativen Exponenten wird das Ergebnis winzig klein — aber es wird nie null und nie negativ. Es gibt also keinen Exponenten, der \\(0\\) oder \\(-4\\) liefern könnte.\n\nDer Ausdruck im Logarithmus heißt **Argument**, und er muss **positiv** sein. Null genügt nicht. Der Logarithmus ist damit strenger als die Wurzel: Bei der Wurzel war die Null noch erlaubt, hier ist sie es nicht mehr.\n\nFür \\(\\ln(x-5)\\) bedeutet das \\(x - 5 > 0\\), also \\(x > 5\\). Die Zahl 5 selbst ist ausgeschlossen.\n\n**Logarithmen:** Das Argument muss positiv sein.\n\nIm Rahmen dieses Kapitels sind das die drei entscheidenden Stellen. Alles Weitere besteht darin, die zugehörigen Bedingungen sorgfältig zusammenzuführen.\n\n#### Die Klammern lesen\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Die Klammern lesen  \nGedruckte Buchseite: 4\n\nORIGINALTEXT\n\nFür die beiden letzten Beispiele fehlt noch die Schreibweise. Sie haben herausgefunden: Bei \\(\\sqrt{x+2}\\) sind alle Zahlen ab \\(-2\\) erlaubt, die \\(-2\\) eingeschlossen. Bei \\(\\ln(x-5)\\) sind alle Zahlen ab 5 erlaubt, die 5 aber ausgeschlossen. Man schreibt das so:\n\n\\[\nD = [-2; +\\infty[ \\qquad \\text{und} \\qquad D = \\;]5; +\\infty[\n\\]\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Die Klammern lesen  \nGedruckte Buchseite: 5\n\nORIGINALTEXT\n\nZeigt die Klammer nach innen, also zum Intervall, gehört die Randzahl dazu. Zeigt sie nach außen, gehört die Randzahl nicht dazu. Bei \\(-\\infty\\) und \\(+\\infty\\) zeigt die Klammer immer nach außen, denn diese Symbole sind keine Zahlen, die man einsetzen könnte.\n\n#### Wenn mehrere Bedingungen zusammenkommen\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Wenn mehrere Bedingungen zusammenkommen  \nGedruckte Buchseite: 5\n\nORIGINALTEXT\n\nJetzt wird es interessant. Nehmen Sie diesen Term:\n\n\\[\n\\frac{1}{\\sqrt{x-1}}\n\\]\n\nHier greifen zwei Bedingungen ineinander: die Wurzelbedingung und die Nennerbedingung. Überlegen Sie, welche Zahlen beide Bedingungen erfüllen.\n\nDie Wurzel sagt: \\(x - 1 \\geq 0\\), also \\(x \\geq 1\\). Wer hier aufhört, hat einen Fehler gemacht. Setzen Sie nämlich einmal \\(x = 1\\) ein: Dann steht im Nenner \\(\\sqrt{0}\\), also null — und durch null dürfen Sie nicht teilen. Die Wurzel lässt die 1 zu, der Nenner schließt sie wieder aus.\n\nBeide Bedingungen müssen **gleichzeitig** erfüllt sein. Nicht die eine oder die andere. Zusammen bleibt nur \\(x - 1 > 0\\) übrig, also\n\n\\[\nx > 1 \\qquad \\text{und damit} \\qquad D = \\;]1; +\\infty[\n\\]\n\nBeide Bedingungen ergeben zusammen die strengere Bedingung \\(x-1>0\\). Das geschieht immer dann, wenn eine Wurzel im Nenner steht — ein Fall, den Sie sich gut merken sollten.\n\n#### Zwei Schreibweisen für dieselbe Menge\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Zwei Schreibweisen für dieselbe Menge  \nGedruckte Buchseite: 5\n\nORIGINALTEXT\n\nFür die Definitionsmenge der typischen Abituraufgabe sind zwei Schreibweisen möglich. Manchmal ist die Schreibweise mit dem Ohne-Zeichen \\(\\setminus\\) kürzer:\n\n\\[\n]-4; 2[ \\;\\cup\\; ]2; +\\infty[ \\qquad \\text{und} \\qquad\n]-4; +\\infty[ \\setminus \\{2\\}\n\\]\n\nbeschreiben genau dieselbe Menge. Die erste Form zeigt die zulässigen Intervalle einzeln. Die zweite schließt mit dem Ohne-Zeichen nur die verbotene Zahl \\(2\\) aus. Beide Schreibweisen sind korrekt.\n\n### Übungsaufgaben\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Übungsaufgaben  \nGedruckte Buchseite: 6\n\nORIGINALTEXT\n\nLösungen ab Seite 203\n\n#### Aufgabe 1\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAufgabe 1  \nGedruckte Buchseite: 6  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 1, Kapitel 1, Seite 203 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Die Funktion \\(f\\) ist durch \\(f(x)=\\dfrac{7}{x+3}\\) gegeben. Geben Sie ihre maximale Definitionsmenge \\(D_f\\) an.\n\n#### Aufgabe 2\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAufgabe 2  \nGedruckte Buchseite: 6  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 2, Kapitel 1, Seite 203 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nBestimmen Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion \\(h\\) mit \\(h(x)=(x-8)\\sqrt{x-6}\\).\n\n#### Aufgabe 3\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAufgabe 3  \nGedruckte Buchseite: 6  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 3, Kapitel 1, Seite 203 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nFür die Funktion \\(q\\) mit \\(q(x)=x^2+\\ln(x+5)\\) gilt \\(D_q=]-5;+\\infty[\\). Begründen Sie, warum dies die maximale Definitionsmenge ist.\n\n#### Aufgabe 4\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAufgabe 4  \nGedruckte Buchseite: 6  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 4, Kapitel 1, Seite 203 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Welche Zahlen dürfen in \\(g(x)=\\dfrac{x-1}{x^2-16}\\) nicht eingesetzt werden? Geben Sie \\(D_g\\) an.\n\n#### Aufgabe 5\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAufgabe 5  \nGedruckte Buchseite: 6  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 5, Kapitel 1, Seite 204 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nBestimmen Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion \\(p\\) mit \\(p(x)=\\sqrt{10-2x}\\).\n\n#### Aufgabe 6\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAufgabe 6  \nGedruckte Buchseite: 6  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 6, Kapitel 1, Seite 204 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nDie Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen einer in \\(\\mathbb{R}\\) definierten stetigen Funktion \\(f\\). Die einzigen Nullstellen von \\(f\\) sind \\(-2\\) und \\(3\\). Betrachtet wird die Funktion \\(g\\) mit \\(g(x)=\\ln(f(x))\\).\n\nWelche der drei Mengen ist die maximale Definitionsmenge \\(D_g\\)?\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\text{I: }&]-\\infty;-2[\\\\\n&{}\\cup ]3;+\\infty[,\\\\\n\n\\text{II: }&]-2;3[,\\\\\n\n\\text{III: }&[-2;3]\n\\end{aligned}\n\\]\n\nBegründen Sie Ihre Antwort.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAufgabe 6  \nGedruckte Buchseite: 6  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 6, Kapitel 1, Seite 204 (Anfangsseite)\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nKoordinatensystem mit den Achsen \\(x\\) und \\(y\\) und quadratischem Gitternetz. Auf der x-Achse sind unter anderem \\(-2\\), \\(0\\), \\(1\\) und \\(3\\), auf der y-Achse \\(1\\) beschriftet. Der sichtbare, nach unten gewölbte Graph schneidet die x-Achse bei \\(-2\\) und \\(3\\), steigt links zu einem höchsten Punkt zwischen \\(0\\) und \\(1\\) an und fällt rechts davon. Eine Funktionsgleichung ist in der Zeichnung nicht angegeben.\n\n#### Aufgabe 7\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAufgabe 7  \nGedruckte Buchseite: 6  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 7, Kapitel 1, Seite 204 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nBestimmen Sie die maximale Definitionsmenge \\(D_t\\) der Funktion \\(t\\) mit \\(t(x)=\\dfrac{1}{\\sqrt{x-2}}\\). Begründen Sie Ihr Ergebnis.\n\n#### Aufgabe 8\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAufgabe 8  \nGedruckte Buchseite: 6  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 8, Kapitel 1, Seite 204 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nBestimmen Sie die maximale Definitionsmenge \\(D_s\\) der Funktion \\(s\\) mit \\(s(x)=\\dfrac{\\sqrt{x+1}}{x-4}\\).\n\n#### Aufgabe 9\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAufgabe 9  \nGedruckte Buchseite: 7  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 9, Kapitel 1, Seite 204 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nGeben Sie einen möglichen Term einer Funktion \\(a\\) an, deren maximale Definitionsmenge genau \\(D_a=[-3;5]\\) ist. Verwenden Sie eine Summe aus zwei Quadratwurzeln und begründen Sie Ihre Wahl.\n\n#### Aufgabe 10\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAufgabe 10  \nGedruckte Buchseite: 7  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 10, Kapitel 1, Seite 205 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion \\(w\\) mit \\(w(x)=\\dfrac{x-4}{\\ln(x+2)}\\). Begründen Sie Ihr Ergebnis.\n\n#### Aufgabe 11\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAufgabe 11  \nGedruckte Buchseite: 7  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 11, Kapitel 1, Seite 205 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nBestimmen Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion \\(u\\) mit \\(u(x)=\\dfrac{\\ln(x-1)}{\\sqrt{5-x}}\\).\n\n#### Aufgabe 12\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAufgabe 12  \nGedruckte Buchseite: 7  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 12, Kapitel 1, Seite 205 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nFür \\(r(x)=\\dfrac1{(x-1)\\sqrt{x+2}}\\) wird \\(D_r=[-2;+\\infty[\\setminus \\{1\\}\\) angegeben. Beurteilen Sie diese Angabe und korrigieren Sie sie gegebenenfalls.\n\n#### Aufgabe 13\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAufgabe 13  \nGedruckte Buchseite: 7  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 13, Kapitel 1, Seite 205 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nGeben Sie je einen möglichen Term einer Logarithmusfunktion und einer Funktion mit einer Quadratwurzel im Nenner an, deren maximale Definitionsmenge \\(]-\\infty;4[\\) ist. Begründen Sie Ihre Wahl.\n\n#### Aufgabe 14\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAufgabe 14  \nGedruckte Buchseite: 7  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 14, Kapitel 1, Seite 205 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nBestimmen Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion \\(b\\) mit \\(b(x)=\\dfrac{\\sqrt{7-x}}{x+1}\\).\n\n\n## Kontrolllösungen zu Kapitel 1\n\n### Kapitel 1: Definitionsmenge bestimmen\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nAbschnitt: Kapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nGedruckte Buchseite: 203\n\nORIGINALTEXT\n\nVergleichen Sie nicht nur Ihr Endergebnis. Prüfen Sie auch jede Randzahl einzeln: Gehört sie zur Definitionsmenge, und passt die Klammer dazu?\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 1\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 1  \nGedruckte Buchseite: 203  \nZugehörige Übung: Aufgabe 1, Kapitel 1, Seite 6  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 203\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Nenner darf nicht null sein:\n\n\\[\nx+3\\ne0\\quad\\Longleftrightarrow\\quad x\\ne-3.\n\\]\n\n**Ergebnis:** \\(D_f=\\mathbb{R}\\setminus \\{-3\\}\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 2\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 2  \nGedruckte Buchseite: 203  \nZugehörige Übung: Aufgabe 2, Kapitel 1, Seite 6  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 203\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Faktor \\(x-8\\) ist für alle reellen Zahlen definiert und schränkt die Definitionsmenge nicht ein. Damit die Quadratwurzel definiert ist, muss ihr Wurzelinhalt mindestens null sein:\n\n\\[\nx-6\\ge0\\quad\\Longleftrightarrow\\quad x\\ge6.\n\\]\n\nDie Randzahl \\(6\\) ist erlaubt, weil der Wurzelinhalt dort null ist.\n\n**Ergebnis:** \\(D_h=[6;+\\infty[\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 3\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 3  \nGedruckte Buchseite: 203  \nZugehörige Übung: Aufgabe 3, Kapitel 1, Seite 6  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 203\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Summand \\(x^2\\) ist für alle reellen Zahlen definiert und schränkt die Definitionsmenge nicht ein. Der natürliche Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert:\n\n\\[\nx+5>0\\quad\\Longleftrightarrow\\quad x>-5.\n\\]\n\nDie Randzahl \\(-5\\) ist nicht erlaubt, weil das Logarithmusargument dort null ist.\n\n**Ergebnis:** \\(D_q=]-5;+\\infty[\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 4\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 4  \nGedruckte Buchseite: 203  \nZugehörige Übung: Aufgabe 4, Kapitel 1, Seite 6  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 203\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Zähler \\(x-1\\) ist für alle reellen Zahlen definiert und schränkt die Definitionsmenge nicht ein. Um die ausgeschlossenen Zahlen zu finden, setzen Sie den Nenner gleich null. Lösen Sie die rein quadratische Gleichung zunächst nach \\(x^2\\) auf und ziehen Sie dann die Wurzel mit beiden Vorzeichen:\n\n\\[\nx^2-16=0\n \\quad\\Longleftrightarrow\\quad\n x^2=16\n \\quad\\Longleftrightarrow\\quad\n x=\\pm4.\n\\]\n\nBeide Zahlen müssen ausgeschlossen werden.\n\n**Ergebnis:** \\(D_g=\\mathbb{R}\\setminus \\{-4;4\\}\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 5\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 5  \nGedruckte Buchseite: 204  \nZugehörige Übung: Aufgabe 5, Kapitel 1, Seite 6  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 204\n\nORIGINALTEXT\n\nFür den Wurzelinhalt muss \\(10-2x\\ge0\\) gelten. Beim Teilen durch die negative Zahl \\(-2\\) dreht sich das Ungleichheitszeichen um:\n\n\\[\n10-2x\\ge0\n \\quad\\Longleftrightarrow\\quad\n -2x\\ge-10\n \\quad\\Longleftrightarrow\\quad\n x\\le5.\n\\]\n\nDie Randzahl \\(5\\) ist erlaubt, weil der Wurzelinhalt dort null ist.\n\n**Ergebnis:** \\(D_p=]-\\infty;5]\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 6\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 6  \nGedruckte Buchseite: 204  \nZugehörige Übung: Aufgabe 6, Kapitel 1, Seite 6  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 204\n\nORIGINALTEXT\n\nDer natürliche Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert. Da \\(f\\) stetig ist und keine weiteren Nullstellen besitzt, kann ihr Vorzeichen nur an den Stellen \\(-2\\) und \\(3\\) wechseln. Aus der Abbildung folgt damit \\(f(x)>0\\) für \\(-2<x<3\\) und \\(f(x)<0\\) für \\(x<-2\\) sowie \\(x>3\\). An den Nullstellen gilt \\(f(x)=0\\). Deshalb gehören die Randzahlen \\(-2\\) und \\(3\\) nicht zur Definitionsmenge des Logarithmus.\n\n**Ergebnis:** Die richtige Menge ist \\(D_g=]-2;3[\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 7\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 7  \nGedruckte Buchseite: 204  \nZugehörige Übung: Aufgabe 7, Kapitel 1, Seite 6  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 204\n\nORIGINALTEXT\n\nDa die Quadratwurzel im Nenner steht, muss ihr Wurzelinhalt positiv sein: Er darf weder negativ noch null sein. Deshalb gilt\n\n\\[\nx-2>0\\quad\\Longleftrightarrow\\quad x>2.\n\\]\n\nDie Randzahl \\(2\\) ist nicht erlaubt, weil die Wurzel im Nenner dort null wäre.\n\n**Ergebnis:** \\(D_t=]2;+\\infty[\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 8\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 8  \nGedruckte Buchseite: 204  \nZugehörige Übung: Aufgabe 8, Kapitel 1, Seite 6  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 204\n\nORIGINALTEXT\n\nEs gelten zwei Bedingungen:\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n x+1&\\ge0 &&\\Longleftrightarrow& x&\\ge-1,\\\\\nx-4&\\ne0 &&\\Longleftrightarrow& x&\\ne4.\n \\end{aligned}\n\\]\n\nDie Randzahl \\(-1\\) ist erlaubt, weil der Wurzelinhalt dort null ist. Die Zahl \\(4\\) ist ausgeschlossen, weil der Nenner dort null ist.\n\n**Ergebnis:** \\(D_s=[-1;4[\\cup ]4;+\\infty[\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 9\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 9  \nGedruckte Buchseite: 204  \nZugehörige Übung: Aufgabe 9, Kapitel 1, Seite 7  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 204\n\nORIGINALTEXT\n\nEine mögliche Wahl ist\n\n\\[\na(x)=\\sqrt{x+3}+\\sqrt{5-x}.\n\\]\n\nFür die erste Quadratwurzel muss \\(x+3\\ge0\\), also \\(x\\ge-3\\), gelten. Für die zweite Quadratwurzel muss \\(5-x\\ge0\\), also \\(x\\le5\\), gelten. Beide Bedingungen sind genau für \\(-3\\le x\\le5\\) zugleich erfüllt. An beiden Randzahlen ist jeweils ein Wurzelinhalt null; deshalb gehören beide dazu.\n\n**Ergebnis:** Ein möglicher Term ist \\(a(x)=\\sqrt{x+3}+\\sqrt{5-x}\\) mit \\(D_a=[-3;5]\\).\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 9  \nGedruckte Buchseite: 205  \nZugehörige Übung: Aufgabe 9, Kapitel 1, Seite 7  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 204\n\nORIGINALTEXT\n\nAndere Terme sind ebenfalls richtig, wenn ihre maximale Definitionsmenge genau \\([-3;5]\\) ist und sie die vorgegebene Form verwenden.\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 10\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 10  \nGedruckte Buchseite: 205  \nZugehörige Übung: Aufgabe 10, Kapitel 1, Seite 7  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 205\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Zähler \\(x-4\\) schränkt die Definitionsmenge nicht ein. Für den Logarithmus im Nenner muss \\(x+2>0\\), also \\(x>-2\\), gelten. Zusätzlich darf der Nenner nicht null sein. Der natürliche Logarithmus ist genau dann null, wenn sein Argument \\(1\\) ist. Daher gilt\n\n\\[\n\\ln(x+2)=0\n \\quad\\Longleftrightarrow\\quad\n x+2=1\n \\quad\\Longleftrightarrow\\quad\n x=-1.\n\\]\n\nDie Randzahl \\(-2\\) gehört wegen \\(x>-2\\) nicht dazu. Die Zahl \\(-1\\) ist wegen des Nenners ebenfalls ausgeschlossen.\n\n**Ergebnis:** \\(D_w=]-2;-1[\\cup ]-1;+\\infty[\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 11\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 11  \nGedruckte Buchseite: 205  \nZugehörige Übung: Aufgabe 11, Kapitel 1, Seite 7  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 205\n\nORIGINALTEXT\n\nFür den Logarithmus muss \\(x-1>0\\), also \\(x>1\\), gelten. Da die Wurzel im Nenner steht, gilt zusätzlich \\(5-x>0\\), also \\(x<5\\).\n\n**Ergebnis:** \\(D_u=]1;5[\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 12\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 12  \nGedruckte Buchseite: 205  \nZugehörige Übung: Aufgabe 12, Kapitel 1, Seite 7  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 205\n\nORIGINALTEXT\n\nDie Angabe ist falsch. Weil die Wurzel im Nenner steht, muss \\(x+2>0\\), also \\(x>-2\\), gelten; die Randzahl \\(-2\\) ist ausgeschlossen. Außerdem darf der Faktor \\(x-1\\) nicht null sein, also gilt \\(x\\ne1\\).\n\n**Ergebnis:** \\(D_r=]-2;1[\\cup ]1;+\\infty[\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 13\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 13  \nGedruckte Buchseite: 205  \nZugehörige Übung: Aufgabe 13, Kapitel 1, Seite 7  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 205\n\nORIGINALTEXT\n\nMögliche Terme sind\n\n\\[\na(x)=\\ln(4-x)\n \\qquad\\text{und}\\qquad\n b(x)=\\frac1{\\sqrt{4-x}}.\n\\]\n\nBeim ersten Term verlangt der Logarithmus \\(4-x>0\\). Beim zweiten Term muss wegen der Wurzel im Nenner ebenfalls \\(4-x>0\\) gelten. Beide Bedingungen sind gleichwertig zu \\(x<4\\).\n\n**Ergebnis:** Beide maximalen Definitionsmengen sind \\(]-\\infty;4[\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 14\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 1: Definitionsmenge bestimmen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 14  \nGedruckte Buchseite: 205  \nZugehörige Übung: Aufgabe 14, Kapitel 1, Seite 7  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 205\n\nORIGINALTEXT\n\nDie Wurzel verlangt \\(7-x\\ge0\\), also \\(x\\le7\\). Zusätzlich darf der Nenner nicht null sein, also gilt \\(x\\ne-1\\).\n\n**Ergebnis:** \\(D_b=]-\\infty;-1[\\cup ]-1;7]\\).\n\n"
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