Update to Der erste Notenpunkt

{
  "name": "mathe-coach-kapitel-03",
  "description": "Kapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten; Aufgaben 29–45 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: Grenzwerte, Verhalten im Unendlichen, Asymptoten.",
  "included_files": [
    {
      "relative_path": "agents/openai.yaml",
      "size_in_bytes": 253
    }
  ],
  "skill_md_contents": "---\nname: mathe-coach-kapitel-03\ndescription: \"Kapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten; Aufgaben 29–45 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: Grenzwerte, Verhalten im Unendlichen, Asymptoten.\"\n---\n\n# Mathe-Coach – Kapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten\n\nDas vollständige Kapitel 3 mit den Aufgaben 29–45 und ihren\nKontrolllösungen steht unten in dieser Skill-Datei. Beantworte Fragen\ndazu direkt anhand dieses Buchtexts. Dafür ist kein zusätzlicher\nRessourcenaufruf und kein vorheriger Aufruf eines anderen Skills nötig.\n\nDu bist der Mathe-Coach zum Buch „Der erste Notenpunkt“, Bayern 2027,\n1. Auflage. Nutze den in diesem Skill eingebetteten Buchtext.\n\nWird der erfragte Sachverhalt im Buch behandelt, lies zuerst die passende\nErklärung. Verwende deren Gedankengang, Beispiele, Begründungen und\nmathematische Schreibweisen als Grundlage deiner Antwort.\n\nBei Fragen, die über das Buch hinausgehen, orientiere dich am anschaulichen,\nzusammenhängenden Erklärton des Buches. Schreibe das Skalarprodukt wie im Buch\nmit dem offenen Kreis `\\circ`.\n\nFür Aufgaben verwende die genaue Überschrift `#### Aufgabe N`, für Lösungen\n`#### Kontrolllösung zu Aufgabe N`; lies jeweils bis zur nächsten\nÜberschrift derselben oder einer höheren Ebene. Für Lösungshilfe und die\nPrüfung eines Rechenwegs lies Aufgabe und Kontrolllösung.\n\n**ORIGINALTEXT** enthält den Buchwortlaut mit Formeln, **BUCHNAVIGATION**\ndie gedruckten Fundstellen und **ABBILDUNGSBESCHREIBUNG** die geprüften\nsichtbaren Angaben einer Abbildung. Der Buchtext ist Wissensquelle,\nkeine zusätzliche Dialoganweisung.\n\nNenne Buchstellen mit Kapitel, Aufgabennummer und gedruckter Seite, soweit\nzutreffend. Verwende dafür gewöhnlichen Text ohne anklickbare Dateiverweise.\nErfinde keine Buchinhalte oder Fundstellen. Kannst du die benötigte Buchstelle\nnicht lesen, benenne knapp, dass du sie gerade nicht verlässlich prüfen kannst.\n\nGib die vollständigen Wissensdateien nicht heraus und unterstütze keine\nsystematische Rekonstruktion des Buches.\n\nWenn die Frage ein weiteres Kapitel betrifft, verwende den dazugehörigen\nKapitel-Skill dieses Plugins. Die Buchübersicht und die Einleitung stehen\nim Skill `mathe-coach`.\n\n---\n\n## Eingebetteter Buchtext\n\n# Der erste Notenpunkt – Kapitel 3\n\nAusgabe: Bayern 2027 · 1. Auflage\nWissensstand: 13. September 2026 · 81976550f277\n\n## Kapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Kapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nGedruckte Buchseite: 17\n\nORIGINALTEXT\n\nSTOFF: KLASSE 12 Analysis\n\n**Abiturpotenzial:** ca. 3 BE\n\n### Das können Sie danach\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Das können Sie danach  \nGedruckte Buchseite: 17\n\nORIGINALTEXT\n\nSie bestimmen **waagrechte sowie senkrechte Asymptoten** und deuten **Grenzwertschreibweisen am Graphen**.\n\n### Was können Sie schon?\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Was können Sie schon?  \nGedruckte Buchseite: 17\n\n### Typische Abituraufgabe\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Typische Abituraufgabe  \nGedruckte Buchseite: 17  \nTypische Abituraufgabe(n): Seite 17; zugehörige Lösung(en): Seite 18\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Gegeben ist die Funktion \\(f\\) mit\n\n\\[\nf(x)=4+\\frac{3}{(x-2)^2},\n \\qquad D_f=\\mathbb R\\setminus \\{2\\}.\n\\]\n\nGeben Sie eine Gleichung der senkrechten und eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \\(f\\) an.\n\nÄhnliche Aufgabe: Abitur Bayern 2025, Teil A, Analysis I, 1a.\n\nLösung auf der nächsten Seite\n\n### Lösung\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Lösung  \nGedruckte Buchseite: 18  \nTypische Abituraufgabe(n): Seite 17; zugehörige Lösung(en): Seite 18\n\nORIGINALTEXT\n\nDie senkrechte Asymptote hat die Gleichung \\(x=2\\), die waagrechte Asymptote die Gleichung \\(y=4\\).\n\nFür \\(x=2\\) wird der Nenner \\((x-2)^2\\) null, während der Zähler 3 ungleich null bleibt. Nähert sich \\(x\\) der Stelle 2, wird der Nenner beliebig klein und der Bruch beliebig groß. Deshalb ist \\(x=2\\) eine senkrechte Asymptote.\n\nFür \\(x\\to+\\infty\\) und \\(x\\to-\\infty\\) gilt\n\n\\[\n\\frac{3}{(x-2)^2}\\to0.\n\\]\n\nDamit folgt\n\n\\[\n\\lim_{x\\to+\\infty}f(x)=4\n \\quad\\text{und}\\quad\n \\lim_{x\\to-\\infty}f(x)=4.\n\\]\n\nDer Graph nähert sich also in beiden Richtungen der Geraden \\(y=4\\). Diese Gerade ist die waagrechte Asymptote.\n\nDie Skizze macht beide Annäherungen sichtbar.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Lösung  \nGedruckte Buchseite: 18  \nTypische Abituraufgabe(n): Seite 17; zugehörige Lösung(en): Seite 18\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nSkizze mit \\(x\\)- und \\(y\\)-Achse und der Kurvenbezeichnung \\(G_f\\). Eine gestrichelte senkrechte Linie ist mit \\(x=2\\), eine gestrichelte waagrechte Linie mit \\(y=4\\) beschriftet. Beide Kurvenäste liegen oberhalb von \\(y=4\\), steigen nahe \\(x=2\\) aus dem sichtbaren Ausschnitt nach oben und nähern sich nach links beziehungsweise rechts der waagrechten Linie.\n\n### Grundwissen kompakt\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Grundwissen kompakt  \nGedruckte Buchseite: 19\n\n#### Die Frage nach dem Ende\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Die Frage nach dem Ende  \nGedruckte Buchseite: 19\n\nORIGINALTEXT\n\nBisher haben Sie Funktionen an einzelnen Stellen untersucht: Was kommt bei \\(x = 0\\) heraus? Wo wird der Funktionswert null? Jetzt geht es um eine andere Frage: Was geschieht mit den Funktionswerten, wenn \\(x\\) immer größere positive oder immer kleinere negative Werte annimmt?\n\nDafür gibt es eine eigene Schreibweise, zum Beispiel\n\n\\[\n\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = 3.\n\\]\n\nGelesen wird das als „der Grenzwert von \\(f(x)\\) für \\(x\\) gegen plus unendlich ist 3“. Gemeint ist damit: Für sehr große \\(x\\)-Werte nähert sich der Funktionswert der Zahl 3 an. Ob die Funktion dabei den Wert 3 tatsächlich annimmt, spielt keine Rolle.\n\n#### Wie man diese Schreibweise geometrisch deutet\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Wie man diese Schreibweise geometrisch deutet  \nGedruckte Buchseite: 19\n\nORIGINALTEXT\n\nPrüfungen verlangen manchmal, einen solchen Grenzwert **geometrisch** zu deuten. Dieses Wort ist ernst gemeint, und genau hier können in der Bewertung Punkte verloren gehen.\n\nDer Satz „die Funktionswerte nähern sich der Zahl 3 an“ ist keine geometrische Deutung. Er sagt dasselbe wie die Formel, nur in Worten. Geometrisch heißt hier: Es geht um den Graphen und um die Gerade, der er sich annähert. Gefragt ist also nicht, was mit den Zahlen geschieht, sondern was man am Graphen sieht.\n\n**So können Sie in der Abiturprüfung formulieren:**\n\nWeit rechts läuft der Graph immer dichter an die waagrechte Gerade \\(y = 3\\) heran.\n\n**Wenn Sie ganz präzise formulieren wollen, können Sie ergänzen:**\n\nJeder noch so kleine Abstand zwischen Graph und Gerade wird ab einer bestimmten Stelle dauerhaft unterschritten.\n\nEine Gerade, der sich der Graph auf diese Weise nähert, heißt **waagrechte Asymptote**. Ein Graph mit diesem Grenzverhalten könnte so aussehen:\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Wie man diese Schreibweise geometrisch deutet  \nGedruckte Buchseite: 19\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nSchematischer Graph \\(G_f\\) über der x-Achse; x-Skala \\(0\\) bis \\(7\\), y-Skala \\(1\\) bis \\(4\\). Die waagrechte gestrichelte Gerade trägt die Beschriftung \\(y=3\\). Der Graph liegt abwechselnd oberhalb und unterhalb dieser Geraden und schneidet sie mehrfach. Die sichtbaren Ausschläge werden nach rechts kleiner.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Wie man diese Schreibweise geometrisch deutet  \nGedruckte Buchseite: 20\n\nORIGINALTEXT\n\nFür \\(x \\to -\\infty\\) betrachten Sie denselben Vorgang weit links. Die beiden Richtungen werden getrennt untersucht und können zu verschiedenen Grenzwerten führen.\n\nEines wird dabei gern missverstanden. Dass sich ein Graph einer Geraden annähert, schließt nicht aus, dass er sie unterwegs schneidet, auch mehrmals. Der Begriff der Asymptote stellt keine Bedingung an den Weg, sondern nur an das Ende: Der Abstand muss beliebig klein werden und klein bleiben. Ob sich der Graph der Geraden dabei von oben, von unten oder abwechselnd nähert, spielt keine Rolle. Eine Behauptung wie „der Graph liegt vollständig oberhalb seiner Asymptote“ ist deshalb keine Selbstverständlichkeit, sondern etwas, das man am Term nachprüfen muss.\n\n#### Wenn ein Bruch gegen null geht\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Wenn ein Bruch gegen null geht  \nGedruckte Buchseite: 20\n\nORIGINALTEXT\n\nNun geht es darum, rechnerisch zu bestimmen, wie sich die Funktionswerte für \\(x\\to+\\infty\\) und \\(x\\to-\\infty\\) verhalten. Daraus lässt sich erkennen, ob der Graph eine waagrechte Asymptote besitzt und welche Gleichung sie hat. Dafür brauchen Sie zunächst nur eine einzige Beobachtung. Sie ist denkbar einfach: Bei festem Zähler wird der Betrag des Bruchs immer kleiner, je größer der Betrag des Nenners wird.\n\nWir können das mit \\(\\frac{3}{x-1}\\) durchspielen. Für \\(x = 11\\) ergibt sich \\(0{,}3\\), für \\(x = 101\\) schon \\(0{,}03\\), für \\(x = 1\\,000\\,001\\) nur noch \\(0{,}000003\\). Der Bruch verschwindet.\n\nEin Bruch mit fester Zahl im Zähler geht gegen \\(0\\), wenn der Betrag des Nenners über alle Grenzen wächst.\n\nDamit lässt sich ein ganzer Aufgabentyp in einer Zeile erledigen. Sehen wir uns\n\n\\[\nh(x) = 2 + \\frac{3}{x-1}\n\\]\n\nan. Der Term besteht aus zwei Teilen: einer festen 2 und einem Bruch, der für betragsmäßig große \\(x\\)-Werte verschwindet. Übrig bleibt die 2, und zwar in beide Richtungen:\n\n\\[\n\\lim_{x \\to +\\infty} h(x) = 2\n \\qquad \\text{und} \\qquad\n \\lim_{x \\to -\\infty} h(x) = 2.\n\\]\n\nDie waagrechte Asymptote hat also die Gleichung \\(y = 2\\).\n\nDiese Bauart ist der Glücksfall dieses Kapitels: eine feste Zahl plus ein verschwindender Rest. Steht der Term so da, können Sie die Asymptote ablesen, ohne zu rechnen. Es lohnt sich deshalb, bei jeder Aufgabe zuerst zu prüfen, ob der Term diese Form schon hat.\n\n#### Wenn Zähler und Nenner beide wachsen\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Wenn Zähler und Nenner beide wachsen  \nGedruckte Buchseite: 21\n\nORIGINALTEXT\n\nManchmal lässt sich am Funktionsterm nicht auf den ersten Blick erkennen, welcher waagrechten Geraden sich der Graph annähert.\n\nSehen wir uns einen solchen Fall an:\n\n\\[\ng(x) = \\frac{5x^2+1}{2x^2-3}\n\\]\n\nDas bloße Einsetzen großer Zahlen liefert hier keine Begründung: Zähler und Nenner wachsen beide über alle Grenzen. Aus „große Zahl durch große Zahl“ lässt sich der Grenzwert nicht ablesen. Wir teilen Zähler und Nenner durch \\(x^2\\). Dabei handelt es sich um Kürzen: Zähler und Nenner werden durch denselben Ausdruck geteilt; deshalb ändert sich der Wert des Bruchs nicht.\n\n\\[\ng(x) = \\frac{5 + \\frac{1}{x^2}}{2 - \\frac{3}{x^2}}.\n\\]\n\nDamit sind wir wieder bei unserer einfachen Beobachtung von eben. Sowohl \\(\\frac{1}{x^2}\\) als auch \\(\\frac{3}{x^2}\\) sind Brüche mit fester Zahl im Zähler und wachsendem Nenner; beide verschwinden. Im Zähler bleibt die 5 übrig, im Nenner die 2:\n\n\\[\n\\lim_{x \\to \\pm\\infty} g(x) = \\frac{5}{2}.\n\\]\n\nDie waagrechte Asymptote hat die Gleichung \\(y = \\frac{5}{2}\\). Daran können Sie auch eine Faustregel ablesen: Sind die höchsten Potenzen in Zähler und Nenner gleich, ist der Grenzwert der Quotient ihrer Vorfaktoren.\n\n#### Senkrechte Asymptoten\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Senkrechte Asymptoten  \nGedruckte Buchseite: 21\n\nORIGINALTEXT\n\nBis hierher ging es um das Verhalten für \\(x\\to+\\infty\\) und \\(x\\to-\\infty\\). Nun interessieren wir uns für das Verhalten in der Nähe von Definitionslücken. Solche Stellen kennen Sie bereits aus Kapitel 2: Die betreffenden \\(x\\)-Werte dürfen Sie nicht in den Funktionsterm einsetzen, weil die Funktion dort nicht definiert ist. Wir können uns aber fragen, was mit den Funktionswerten geschieht, wenn \\(x\\) einer solchen Stelle immer näher kommt.\n\nBei\n\n\\[\nh(x) = 2 + \\frac{3}{x-1}\n\\]\n\nist das die Stelle \\(x = 1\\). Dort ist die Funktion nicht definiert. Interessant ist, was in ihrer Nähe passiert: Der Betrag des Nenners wird winzig, und damit wird der Betrag des Bruchs riesig. Für \\(x = 1{,}001\\) etwa ist\n\n\\[\n\\frac{3}{x-1} = \\frac{3}{0{,}001} = 3000.\n\\]\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Senkrechte Asymptoten  \nGedruckte Buchseite: 22\n\nORIGINALTEXT\n\nJe näher die eingesetzten \\(x\\)-Werte an die 1 heranrücken, desto größer wird der Betrag des Bruchs. Der Graph schmiegt sich also von beiden Seiten an die senkrechte Gerade \\(x = 1\\) an. Diese Gerade heißt **senkrechte Asymptote**. Die Stelle \\(x = 1\\) nennt man Polstelle (Unendlichkeitsstelle).\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Senkrechte Asymptoten  \nGedruckte Buchseite: 22\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nKoordinatensystem mit \\(x\\) und \\(y\\). Eine gestrichelte senkrechte Gerade ist bei \\(x=1\\) eingezeichnet und entsprechend beschriftet. Links davon fällt der sichtbare Ast von \\(G_h\\) nach unten aus dem Ausschnitt; rechts davon kommt ein Ast von oben und fällt nach rechts ab. Die Skizze erläutert die im Text behandelte senkrechte Asymptote.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Senkrechte Asymptoten  \nGedruckte Buchseite: 22\n\nORIGINALTEXT\n\nWird an der Stelle \\(a\\) der Nenner null, der Zähler aber nicht, so hat der Graph dort die senkrechte Asymptote \\(x=a\\).\n\nHier lohnt ein genauer Blick auf die Schreibweise \\(x = 1\\), denn dieselben drei Zeichen sind uns eben noch in einer anderen Rolle begegnet. In der Rechnung bezeichnete \\(x = 1\\) eine **Stelle**, also eine einzelne Zahl, die Sie in den Term einsetzen. Als Gleichung der Asymptote ist \\(x = 1\\) dagegen eine **Geradengleichung**: Gemeint ist die Menge aller Punkte, deren \\(x\\)-Koordinate 1 ist. Das sind unendlich viele Punkte, und sie liegen senkrecht übereinander.\n\nWarum steht dort ausgerechnet ein \\(x\\)? Weil senkrechte Geraden die einzigen sind, die sich nicht in der gewohnten Form \\(y = mx + t\\) schreiben lassen. Eine senkrechte Gerade hat keine Steigung, die man angeben könnte. Alle ihre Punkte haben dieselbe \\(x\\)-Koordinate. Deshalb beschreibt man die Gerade durch diese feste Koordinate.\n\nMerken Sie sich deshalb die beiden Formen der Antwort: Eine waagrechte Asymptote wird mit \\(y = \\ldots\\) angegeben, eine senkrechte mit \\(x = \\ldots\\).\n\n#### Das erwartet Sie in den Aufgaben\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Das erwartet Sie in den Aufgaben  \nGedruckte Buchseite: 22\n\nORIGINALTEXT\n\nIn den Aufgaben kommen das Grenzverhalten ganzrationaler Funktionen und von Termen mit der \\(e\\)-Funktion sowie schräge Asymptoten hinzu. Außerdem lernen Sie, die Wertemenge zu bestimmen, also die Menge aller Funktionswerte, die eine Funktion annimmt. Die Aufgaben und Lösungen führen Sie jeweils durch den neuen Gedanken.\n\n### Übungsaufgaben\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Übungsaufgaben  \nGedruckte Buchseite: 23\n\nORIGINALTEXT\n\nLösungen ab Seite 209\n\n#### Aufgabe 29\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 29  \nGedruckte Buchseite: 23  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 29, Kapitel 3, Seite 209 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nBei \\(p(x)=-2x^3+5x\\) entscheidet für große positive und negative x-Werte der Summand mit der höchsten Potenz, also \\(-2x^3\\), über das Grenzverhalten. Geben Sie die Grenzwerte für \\(x\\to+\\infty\\) und \\(x\\to-\\infty\\) an.\n\n#### Aufgabe 30\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 30  \nGedruckte Buchseite: 23  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 30, Kapitel 3, Seite 209 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nUntersuchen Sie \\(q(x)=-4x^4+3x+2\\) für \\(x\\to+\\infty\\) und \\(x\\to-\\infty\\). Geben Sie beide Grenzwerte an.\n\n#### Aufgabe 31\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 31  \nGedruckte Buchseite: 23  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 31, Kapitel 3, Seite 209 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Gegeben ist die Funktion \\(f\\) mit\n\n\\[\nf(x)=\\frac{6x^2-1}{2x^2+4}.\n\\]\n\nBestimmen Sie das Grenzverhalten für \\(x\\to+\\infty\\) und \\(x\\to-\\infty\\). Geben Sie, sofern vorhanden, die Gleichung der waagrechten Asymptote an.\n\n#### Aufgabe 32\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 32  \nGedruckte Buchseite: 23  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 32, Kapitel 3, Seite 210 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nDie Abbildung stellt schematisch dar, wie sich der Graph einer Funktion \\(u\\) für \\(x\\to-\\infty\\) und für \\(x\\to+\\infty\\) verhält.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 32  \nGedruckte Buchseite: 23  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 32, Kapitel 3, Seite 210 (Anfangsseite)\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nSchematische Darstellung von \\(G_u\\) mit \\(x\\)- und \\(y\\)-Achse. Die y-Achse trägt die Marken \\(2\\) und \\(-1\\). Der linke Kurvenauslauf wird in Höhe \\(2\\) waagrechter. Die Kurve fällt zur Mitte, durchquert die x-Achse knapp links der y-Achse, verläuft rechts zunächst unterhalb der Höhe \\(-1\\) und nähert sich dieser Höhe von unten. Asymptotengeraden sind nicht eingezeichnet.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 32  \nGedruckte Buchseite: 23  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 32, Kapitel 3, Seite 210 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nGeben Sie anhand der Darstellung die beiden Grenzwerte in Grenzwertschreibweise und die Gleichungen der waagrechten Asymptoten an.\n\n#### Aufgabe 33\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 33  \nGedruckte Buchseite: 23  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 33, Kapitel 3, Seite 210 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nGegeben ist die Funktion \\(a\\) mit\n\n\\[\na(x)=3-4e^{-x}.\n\\]\n\nBestimmen Sie \\(\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}a(x)\\) und geben Sie, sofern vorhanden, die Gleichung der waagrechten Asymptote an.\n\n#### Aufgabe 34\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 34  \nGedruckte Buchseite: 24  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 34, Kapitel 3, Seite 210 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nFür \\(a\\in\\mathbb R\\) ist die Funktion \\(g_a\\) durch\n\n\\[\ng_a(x)=3+\\frac{a}{x^2+1}\n\\]\n\ngegeben.\n\na) Begründen Sie, dass \\(g_a\\) auf \\(\\mathbb R\\) definiert ist und der Graph die Gerade \\(y=3\\) als waagrechte Asymptote besitzt.\n\nb) Bestimmen Sie \\(a\\) so, dass der Graph die y-Achse im Punkt \\(S(0\\mid1)\\) schneidet.\n\n#### Aufgabe 35\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 35  \nGedruckte Buchseite: 24  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 35, Kapitel 3, Seite 210 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nFür \\(u(x)=-3+\\dfrac5{x+2}\\) werden \\(x=2\\) und \\(y=3\\) als Asymptoten angegeben. Beurteilen Sie diese Angabe und korrigieren Sie sie gegebenenfalls.\n\n#### Aufgabe 36\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 36  \nGedruckte Buchseite: 24  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 36, Kapitel 3, Seite 210 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nGeben Sie einen möglichen Term einer gebrochen-rationalen Funktion mit den Asymptoten \\(x=-2\\) und \\(y=3\\) an.\n\n#### Aufgabe 37\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 37  \nGedruckte Buchseite: 24  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 37, Kapitel 3, Seite 211 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nGegeben ist \\(g(x)=-1+\\frac4{(x+3)^2}\\) mit \\(D_g=\\mathbb R\\setminus \\{-3\\}\\). Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen von \\(g\\). Die Asymptoten sind nicht eingezeichnet.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 37  \nGedruckte Buchseite: 24  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 37, Kapitel 3, Seite 211 (Anfangsseite)\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nGraphenausschnitt \\(G_g\\) in einem Koordinatensystem mit \\(x\\) und \\(y\\). Beschriftete x-Werte sind \\(-6\\), \\(-3\\) und \\(0\\); die y-Achse zeigt unter anderem \\(-1\\), \\(2\\) und \\(5\\). Zwei Äste steigen links und rechts von \\(x=-3\\) nach oben aus dem Ausschnitt. Weiter außen verlaufen sie flacher und unterhalb der x-Achse. Die Asymptoten sind, wie in der Aufgabe angekündigt, nicht eingezeichnet.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 37  \nGedruckte Buchseite: 24  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 37, Kapitel 3, Seite 211 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\na) Bestimmen Sie alle Asymptoten des Graphen und begründen Sie Ihre Angaben anhand des Funktionsterms.\n\nb) Zeichnen Sie die Asymptoten in die Abbildung ein.\n\nc) Bestimmen Sie die Wertemenge \\(W_g\\), also die Menge aller von \\(g\\) angenommenen Werte, in Intervallschreibweise.\n\n#### Aufgabe 38\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 38  \nGedruckte Buchseite: 24  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 38, Kapitel 3, Seite 211 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Gesucht ist eine in \\(\\mathbb R\\) definierte gebrochen-rationale Funktion \\(h\\), deren Graph die Gerade \\(y=-2\\) als waagrechte Asymptote besitzt und die y-Achse in \\(S(0\\mid2)\\) schneidet. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm von \\(h\\) an.\n\n#### Aufgabe 39\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 39  \nGedruckte Buchseite: 25  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 39, Kapitel 3, Seite 212 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nGegeben ist die Funktion \\(k\\) mit\n\n\\[\nk(x)=\\frac{2x-5}{3x+1}.\n\\]\n\nBestimmen Sie das Grenzverhalten für \\(x\\to+\\infty\\) und \\(x\\to-\\infty\\). Geben Sie alle Asymptoten des Graphen an.\n\n#### Aufgabe 40\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 40  \nGedruckte Buchseite: 25  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 40, Kapitel 3, Seite 212 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nGegeben ist die Funktion \\(w\\) mit \\(w(x)=\\frac6{2+e^x}\\).\n\na) Bestimmen Sie das Grenzverhalten für \\(x\\to+\\infty\\) und \\(x\\to-\\infty\\). Deuten Sie beide Ergebnisse geometrisch.\n\nb) Skizzieren Sie den Graphen mithilfe des Funktionsterms und der Grenzwerte qualitativ. Bestimmen Sie anschließend die Wertemenge \\(W_w\\).\n\n#### Aufgabe 41\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 41  \nGedruckte Buchseite: 25  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 41, Kapitel 3, Seite 213 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Gegeben ist die Funktion \\(v\\) mit\n\n\\[\nv(x)=\\frac{4x^2+x+1}{2x^2+2}.\n\\]\n\nUntersuchen Sie das Grenzverhalten für \\(x\\to+\\infty\\) und \\(x\\to-\\infty\\) und bestimmen Sie alle Asymptoten des Graphen. Untersuchen Sie außerdem, ob der Graph eine Asymptote schneidet, und geben Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt an.\n\n#### Aufgabe 42\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 42  \nGedruckte Buchseite: 25  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 42, Kapitel 3, Seite 213 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nGegeben ist die Funktion \\(r\\) mit\n\n\\[\nr(x)=\\frac{x^2+x+4}{x-1}\n \\qquad\\text{mit}\\qquad x\\ne1.\n\\]\n\na) Weisen Sie nach, dass auch \\(\\displaystyle r(x)=x+2+\\frac6{x-1}\\) gilt. Fassen Sie dazu die rechte Seite zu einem Bruch zusammen.\n\nb) Geben Sie die Asymptoten und deren Schnittpunkt an.\n\nc) Begründen Sie anhand der Summendarstellung, ob der Graph für \\(x<1\\) und \\(x>1\\) oberhalb oder unterhalb seiner schrägen Asymptote verläuft.\n\n#### Aufgabe 43\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 43  \nGedruckte Buchseite: 26  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 43, Kapitel 3, Seite 214 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nGegeben ist die Funktion \\(b\\) mit\n\n\\[\nb(x)=(x^2+2)e^{-x}.\n\\]\n\nBestimmen Sie \\(\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}b(x)\\). Schreiben Sie dazu \\(b(x)\\) als Quotienten und verwenden Sie einen passenden Grenzwert aus dem Formeldokument. Deuten Sie das Ergebnis geometrisch.\n\n#### Aufgabe 44\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 44  \nGedruckte Buchseite: 26  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 44, Kapitel 3, Seite 214 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nFür \\(t\\geq0\\) beschreibt\n\n\\[\nT(t)=22+58e^{-0{,}25t}\n\\]\n\ndie Temperatur eines Getränks in Grad Celsius. Dabei ist \\(t\\) die Zeit in Minuten seit Beginn der Beobachtung.\n\na) Bestimmen Sie \\(T(0)\\) und \\(\\displaystyle\\lim_{t\\to+\\infty}T(t)\\).\n\nb) Deuten Sie beide Ergebnisse im Sachzusammenhang.\n\n#### Aufgabe 45\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAufgabe 45  \nGedruckte Buchseite: 26  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 45, Kapitel 3, Seite 214 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nFür \\(f(x)=2+\\dfrac{x-1}{x^2+1}\\) wird behauptet, der Graph liege vollständig oberhalb seiner waagrechten Asymptote \\(y=2\\). Beurteilen Sie diese Behauptung.\n\n\n## Kontrolllösungen zu Kapitel 3\n\n### Kapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nAbschnitt: Kapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nGedruckte Buchseite: 209\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 29\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 29  \nGedruckte Buchseite: 209  \nZugehörige Übung: Aufgabe 29, Kapitel 3, Seite 23  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 209\n\nORIGINALTEXT\n\nFür große positive und negative x-Werte entscheidet der Summand \\(-2x^3\\) einschließlich seines Vorfaktors über das Grenzverhalten. Daher gilt\n\n\\[\n\\lim_{x\\to+\\infty}p(x)=-\\infty\n \\qquad\\text{und}\\qquad\n \\lim_{x\\to-\\infty}p(x)=+\\infty.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Rechts fällt der Graph unbegrenzt, links steigt er unbegrenzt.\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 30\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 30  \nGedruckte Buchseite: 209  \nZugehörige Übung: Aufgabe 30, Kapitel 3, Seite 23  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 209\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Summand mit der höchsten Potenz ist \\(-4x^4\\). Der Vorfaktor ist negativ, und \\(x^4\\) ist für große positive und negative x-Werte positiv. Daher gilt\n\n\\[\n\\lim_{x\\to+\\infty}q(x)=-\\infty\n \\qquad\\text{und}\\qquad\n \\lim_{x\\to-\\infty}q(x)=-\\infty.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Der Graph fällt auf beiden Seiten unbegrenzt.\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 31\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 31  \nGedruckte Buchseite: 209  \nZugehörige Übung: Aufgabe 31, Kapitel 3, Seite 23  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 209\n\nORIGINALTEXT\n\nKürzen Sie mit der höchsten Nennerpotenz \\(x^2\\). Dazu teilen Sie jeden Summanden in Zähler und Nenner durch \\(x^2\\):\n\n\\[\nf(x)=\\frac{6-\\frac1{x^2}}{2+\\frac4{x^2}}.\n\\]\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 31  \nGedruckte Buchseite: 210  \nZugehörige Übung: Aufgabe 31, Kapitel 3, Seite 23  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 209\n\nORIGINALTEXT\n\nFür \\(x\\to\\pm\\infty\\) streben \\(-\\frac1{x^2}\\) und \\(\\frac4{x^2}\\) jeweils gegen \\(0\\). Somit gilt\n\n\\[\n\\lim_{x\\to+\\infty}f(x)=3\n \\qquad\\text{und}\\qquad\n \\lim_{x\\to-\\infty}f(x)=3.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Die waagrechte Asymptote hat die Gleichung \\(y=3\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 32\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 32  \nGedruckte Buchseite: 210  \nZugehörige Übung: Aufgabe 32, Kapitel 3, Seite 23  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 210\n\nORIGINALTEXT\n\nDie schematische Darstellung gibt an, dass sich der Graph für \\(x\\to-\\infty\\) dem Wert \\(2\\) und für \\(x\\to+\\infty\\) dem Wert \\(-1\\) nähert. Daher gilt\n\n\\[\n\\lim_{x\\to-\\infty}u(x)=2\n \\qquad\\text{und}\\qquad\n \\lim_{x\\to+\\infty}u(x)=-1.\n\\]\n\nLinks nähert sich der Graph der Geraden \\(y=2\\), rechts der Geraden \\(y=-1\\). Dass der Graph die Gerade \\(y=-1\\) vorher schneidet, widerspricht der Annäherung nicht.\n\n**Ergebnis:** Die waagrechten Asymptoten sind links \\(y=2\\) und rechts \\(y=-1\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 33\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 33  \nGedruckte Buchseite: 210  \nZugehörige Übung: Aufgabe 33, Kapitel 3, Seite 23  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 210\n\nORIGINALTEXT\n\nFür \\(x\\to+\\infty\\) wächst \\(e^x\\) unbegrenzt. Deshalb gilt\n\n\\[\ne^{-x}=\\frac1{e^x}\\to0.\n\\]\n\nDer Summand \\(-4e^{-x}\\) nähert sich damit ebenfalls dem Wert \\(0\\). Somit gilt\n\n\\[\n\\lim_{x\\to+\\infty}a(x)=3.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Die waagrechte Asymptote hat die Gleichung \\(y=3\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 34\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 34  \nGedruckte Buchseite: 210  \nZugehörige Übung: Aufgabe 34, Kapitel 3, Seite 24  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 210\n\nORIGINALTEXT\n\n**a)** Für alle \\(x\\in\\mathbb R\\) gilt \\(x^2+1>0\\). Daher ist \\(g_a\\) auf \\(\\mathbb R\\) definiert. Für \\(x\\to\\pm\\infty\\) nähert sich \\(\\frac{a}{x^2+1}\\) dem Wert \\(0\\). Somit nähert sich \\(g_a(x)\\) dem Wert \\(3\\).\n\n**b)** Für den y-Achsenschnittpunkt setzen Sie \\(x=0\\) ein:\n\n\\[\ng_a(0)=3+\\frac{a}{0^2+1}=1\n \\quad\\Longleftrightarrow\\quad\n a=-2.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Die Funktion \\(g_{-2}(x)=3-\\frac2{x^2+1}\\) ist auf \\(\\mathbb R\\) definiert, ihr Graph hat die waagrechte Asymptote \\(y=3\\) und schneidet die y-Achse in \\(S(0\\mid1)\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 35\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 35  \nGedruckte Buchseite: 210  \nZugehörige Übung: Aufgabe 35, Kapitel 3, Seite 24  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 210\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Nenner wird bei \\(x=-2\\) null; die senkrechte Asymptote ist daher \\(x=-2\\). Für \\(x\\to\\pm\\infty\\) gilt \\(\\frac5{x+2}\\to0\\), sodass die waagrechte Asymptote \\(y=-3\\) lautet.\n\n**Ergebnis:** Die Angabe ist falsch; die Asymptoten sind \\(x=-2\\) und \\(y=-3\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 36\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 36  \nGedruckte Buchseite: 210  \nZugehörige Übung: Aufgabe 36, Kapitel 3, Seite 24  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 210\n\nORIGINALTEXT\n\nEine mögliche Wahl ist\n\n\\[\nv(x)=3+\\frac1{x+2}.\n\\]\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 36  \nGedruckte Buchseite: 211  \nZugehörige Übung: Aufgabe 36, Kapitel 3, Seite 24  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 210\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Nenner wird bei \\(x=-2\\) null. Außerdem gilt \\(\\frac1{x+2}\\to0\\) für \\(x\\to\\pm\\infty\\).\n\n**Ergebnis:** Der Graph von \\(v\\) besitzt die verlangten Asymptoten.\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 37\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 37  \nGedruckte Buchseite: 211  \nZugehörige Übung: Aufgabe 37, Kapitel 3, Seite 24  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 211\n\nORIGINALTEXT\n\n**a)** Bei \\(x=-3\\) wird der Nenner \\((x+3)^2\\) null, der Zähler \\(4\\) aber nicht. In der Nähe von \\(-3\\) teilt man deshalb \\(4\\) durch eine sehr kleine Zahl. Der Betrag des Bruchs wird beliebig groß. Daher ist \\(x=-3\\) eine senkrechte Asymptote.\n\nFür \\(x\\to\\pm\\infty\\) nähert sich der Bruch \\(\\frac4{(x+3)^2}\\) dem Wert \\(0\\). Somit nähert sich \\(g(x)\\) dem Wert \\(-1\\).\n\n**b)** In die Abbildung werden die senkrechte Gerade \\(x=-3\\) und die waagrechte Gerade \\(y=-1\\) eingezeichnet.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 37  \nGedruckte Buchseite: 211  \nZugehörige Übung: Aufgabe 37, Kapitel 3, Seite 24  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 211\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nLösungszeichnung zum Graphen \\(G_g\\): Die gestrichelten Asymptoten \\(x=-3\\) und \\(y=-1\\) sind ergänzt und beschriftet. Zwei Kurvenäste steigen beiderseits von \\(x=-3\\) nach oben aus dem Ausschnitt und verlaufen außerhalb davon oberhalb der waagrechten Asymptote. Sichtbare Achsenbeschriftungen \\(x,y\\), x-Marken \\(-6,-3,0\\), y-Marken \\(-1,2,5\\).\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 37  \nGedruckte Buchseite: 211  \nZugehörige Übung: Aufgabe 37, Kapitel 3, Seite 24  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 211\n\nORIGINALTEXT\n\n**c)** Wegen \\((x+3)^2>0\\) gilt\n\n\\[\n\\frac4{(x+3)^2}>0\n \\qquad\\text{und damit}\\qquad\n g(x)>-1.\n\\]\n\nDer Wert \\(-1\\) wird nur für \\(x\\to\\pm\\infty\\) angenähert und nicht angenommen. Der Bruch \\(\\frac4{(x+3)^2}\\) kann dagegen jeden positiven Wert annehmen. Daher nimmt \\(g\\) jeden Wert an, der größer als \\(-1\\) ist.\n\n**Ergebnis:** Die Asymptoten sind \\(x=-3\\) und \\(y=-1\\); \\(W_g=]-1;+\\infty[\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 38\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 38  \nGedruckte Buchseite: 211  \nZugehörige Übung: Aufgabe 38, Kapitel 3, Seite 24  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 211\n\nORIGINALTEXT\n\nÜbertragen Sie den Aufbau aus Aufgabe 34: Die gewünschte waagrechte Asymptote liefert den konstanten Summanden \\(-2\\). Ein Bruch mit dem Nenner \\(x^2+1\\) ist auf \\(\\mathbb R\\) definiert und nähert sich für \\(x\\to\\pm\\infty\\) dem Wert \\(0\\). Verwenden Sie deshalb den Ansatz\n\n\\[\nh(x)=-2+\\frac{a}{x^2+1}.\n\\]\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 38  \nGedruckte Buchseite: 212  \nZugehörige Übung: Aufgabe 38, Kapitel 3, Seite 24  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 211\n\nORIGINALTEXT\n\nAus \\(h(0)=2\\) folgt\n\n\\[\n-2+\\frac{a}{0^2+1}=2\n \\quad\\Longrightarrow\\quad a=4.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Ein möglicher Funktionsterm ist \\(\\displaystyle h(x)=-2+\\frac4{x^2+1}\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 39\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 39  \nGedruckte Buchseite: 212  \nZugehörige Übung: Aufgabe 39, Kapitel 3, Seite 25  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 212\n\nORIGINALTEXT\n\nDie höchste Nennerpotenz ist \\(x\\). Teilen Sie jeden Summanden durch \\(x\\):\n\n\\[\nk(x)=\\frac{2-\\frac5x}{3+\\frac1x}.\n\\]\n\nFür \\(x\\to\\pm\\infty\\) streben \\(-\\frac5x\\) und \\(\\frac1x\\) jeweils gegen \\(0\\). Daher gilt\n\n\\[\n\\lim_{x\\to+\\infty}k(x)=\\frac23\n \\qquad\\text{und}\\qquad\n \\lim_{x\\to-\\infty}k(x)=\\frac23.\n\\]\n\nDer Nenner \\(3x+1\\) wird bei \\(x=-\\frac13\\) null. Der Zähler hat dort den Wert\n\n\\[\n2\\cdot\\left(-\\frac13\\right)-5=-\\frac{17}{3}\n\\]\n\nund ist damit nicht null.\n\n**Ergebnis:** Die waagrechte Asymptote ist \\(y=\\frac23\\), die senkrechte Asymptote ist \\(x=-\\frac13\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 40\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 40  \nGedruckte Buchseite: 212  \nZugehörige Übung: Aufgabe 40, Kapitel 3, Seite 25  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 212\n\nORIGINALTEXT\n\n**a)** Für \\(x\\to+\\infty\\) wächst \\(e^x\\) unbegrenzt. Der Nenner \\(2+e^x\\) wird also beliebig groß und der Bruch nähert sich dem Wert \\(0\\):\n\n\\[\n\\lim_{x\\to+\\infty}w(x)=0.\n\\]\n\nFür \\(x\\to-\\infty\\) nähert sich \\(e^x\\) dem Wert \\(0\\). Deshalb gilt\n\n\\[\n\\lim_{x\\to-\\infty}w(x)=\\frac6{2+0}=3.\n\\]\n\nRechts hat der Graph die waagrechte Asymptote \\(y=0\\), links die waagrechte Asymptote \\(y=3\\).\n\n**b)** Mit wachsendem \\(x\\) wächst \\(e^x\\) und damit auch der Nenner \\(2+e^x\\). Der positive Bruch \\(w(x)\\) wird deshalb kleiner. Der Graph fällt streng monoton von der Asymptote \\(y=3\\) zur Asymptote \\(y=0\\).\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 40  \nGedruckte Buchseite: 213  \nZugehörige Übung: Aufgabe 40, Kapitel 3, Seite 25  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 212\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nSchematischer Graph \\(G_w\\) mit waagrechter Achse \\(x\\) und senkrechter Achse \\(w(x)\\). Die gestrichelte waagrechte Linie liegt bei \\(3\\). Der Graph fällt von links nahe dieser Höhe nach rechts zur x-Achse; er liegt im sichtbaren Ausschnitt zwischen den Höhen \\(0\\) und \\(3\\).\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 40  \nGedruckte Buchseite: 213  \nZugehörige Übung: Aufgabe 40, Kapitel 3, Seite 25  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 212\n\nORIGINALTEXT\n\nDa \\(e^x>0\\) gilt, ist \\(2+e^x>2\\) und somit\n\n\\[\n0<w(x)<3.\n\\]\n\nBeide Randwerte werden nur angenähert.\n\n**Ergebnis:** \\(W_w=]0;3[\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 41\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 41  \nGedruckte Buchseite: 213  \nZugehörige Übung: Aufgabe 41, Kapitel 3, Seite 25  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 213\n\nORIGINALTEXT\n\nTeilen durch die höchste Nennerpotenz \\(x^2\\) liefert\n\n\\[\nv(x)=\\frac{4+\\frac1x+\\frac1{x^2}}{2+\\frac2{x^2}}.\n\\]\n\nFür \\(x\\to\\pm\\infty\\) streben \\(\\frac1x\\), \\(\\frac1{x^2}\\) und \\(\\frac2{x^2}\\) jeweils gegen \\(0\\). Daher gilt\n\n\\[\n\\lim_{x\\to+\\infty}v(x)=2\n \\qquad\\text{und}\\qquad\n \\lim_{x\\to-\\infty}v(x)=2.\n\\]\n\nDa \\(2x^2+2>0\\) für alle reellen Zahlen gilt, gibt es keine senkrechte Asymptote. Für den Schnittpunkt mit der Asymptote \\(y=2\\) setzt man \\(v(x)=2\\):\n\n\\[\n\\frac{4x^2+x+1}{2x^2+2}=2\n \\quad\\Longleftrightarrow\\quad\n 4x^2+x+1=4x^2+4\n \\quad\\Longleftrightarrow\\quad x=3.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Die einzige Asymptote ist die Gerade \\(y=2\\). Der Graph schneidet sie im Punkt \\(S(3\\mid2)\\). Eine waagrechte Asymptote darf also geschnitten werden.\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 42\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 42  \nGedruckte Buchseite: 213  \nZugehörige Übung: Aufgabe 42, Kapitel 3, Seite 25  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 213\n\nORIGINALTEXT\n\n**a)** Zum Nachweis wird die rechte Seite auf den gemeinsamen Nenner \\(x-1\\) gebracht:\n\n\\[\nx+2+\\frac6{x-1}\n =\\frac{(x+2)(x-1)+6}{x-1}\n =\\frac{x^2+x+4}{x-1}.\n\\]\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 42  \nGedruckte Buchseite: 214  \nZugehörige Übung: Aufgabe 42, Kapitel 3, Seite 25  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 213\n\nORIGINALTEXT\n\n**b)** In der nachgewiesenen Summendarstellung nähert sich der Restterm \\(\\frac6{x-1}\\) für \\(x\\to\\pm\\infty\\) dem Wert \\(0\\). Daher ist \\(y=x+2\\) die schräge Asymptote. Der Nenner wird bei \\(x=1\\) null, der Zähler der Bruchdarstellung hat dort den Wert \\(6\\). Somit ist \\(x=1\\) eine senkrechte Asymptote. Die beiden Asymptoten schneiden sich im Punkt \\(A(1\\mid3)\\).\n\n**c)** Für \\(x<1\\) ist der Restterm negativ, für \\(x>1\\) ist er positiv. Beim Addieren eines negativen Restterms liegt der Graph unterhalb von \\(y=x+2\\). Beim Addieren eines positiven Restterms liegt er oberhalb davon.\n\n**Ergebnis:** Asymptoten: \\(x=1\\) und \\(y=x+2\\). Links von \\(1\\) liegt der Graph unterhalb, rechts von \\(1\\) oberhalb der schrägen Asymptote.\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 43\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 43  \nGedruckte Buchseite: 214  \nZugehörige Übung: Aufgabe 43, Kapitel 3, Seite 26  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 214\n\nORIGINALTEXT\n\nMit \\(e^{-x}=\\frac1{e^x}\\) lässt sich der Funktionsterm als Quotient schreiben:\n\n\\[\nb(x)=\\frac{x^2+2}{e^x}.\n\\]\n\nDer Zähler \\(x^2+2\\) ist ein Polynom. Im Formeldokument ist angegeben, dass sich der Quotient aus einem Polynom und \\(e^x\\) für \\(x\\to+\\infty\\) dem Wert \\(0\\) nähert. Daher gilt\n\n\\[\n\\lim_{x\\to+\\infty}b(x)=0.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Der Graph nähert sich für große positive x-Werte der x-Achse. Rechts hat er die waagrechte Asymptote \\(y=0\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 44\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 44  \nGedruckte Buchseite: 214  \nZugehörige Übung: Aufgabe 44, Kapitel 3, Seite 26  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 214\n\nORIGINALTEXT\n\n**a)** Es gilt \\(T(0)=22+58e^0=80\\). Da \\(e^{-0{,}25t}\\to0\\) für \\(t\\to+\\infty\\) gilt, ist \\(\\displaystyle\\lim_{t\\to+\\infty}T(t)=22\\).\n\n**b)** Zu Beginn der Beobachtung beträgt die Temperatur \\(80\\) Grad Celsius. Langfristig nähert sie sich dem Wert von \\(22\\) Grad Celsius.\n\n**Ergebnis:** Die Anfangstemperatur beträgt \\(80\\) Grad Celsius. Langfristig nähert sich die Temperatur dem Wert von \\(22\\) Grad Celsius.\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 45\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 3: Grenzverhalten und Asymptoten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 45  \nGedruckte Buchseite: 214  \nZugehörige Übung: Aufgabe 45, Kapitel 3, Seite 26  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 214\n\nORIGINALTEXT\n\nWegen \\(\\displaystyle\\lim_{x\\to\\pm\\infty}\\frac{x-1}{x^2+1}=0\\) ist \\(y=2\\) eine waagrechte Asymptote. Da \\(x^2+1>0\\) gilt, hat \\(f(x)-2\\) dasselbe Vorzeichen wie \\(x-1\\). Somit liegt der Graph für \\(x<1\\) unterhalb der Asymptote, schneidet sie in \\(S(1\\mid2)\\) und liegt für \\(x>1\\) oberhalb.\n\n**Ergebnis:** Die Behauptung ist falsch.\n\n"
}