Update to Der erste Notenpunkt

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  "name": "mathe-coach-kapitel-07",
  "description": "Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten; Aufgaben 89–105 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: Integrale, Stammfunktionen, Flächen, Bestandsänderung.",
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  "skill_md_contents": "---\nname: mathe-coach-kapitel-07\ndescription: \"Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten; Aufgaben 89–105 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: Integrale, Stammfunktionen, Flächen, Bestandsänderung.\"\n---\n\n# Mathe-Coach – Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten\n\nDas vollständige Kapitel 7 mit den Aufgaben 89–105 und ihren\nKontrolllösungen steht unten in dieser Skill-Datei. Beantworte Fragen\ndazu direkt anhand dieses Buchtexts. Dafür ist kein zusätzlicher\nRessourcenaufruf und kein vorheriger Aufruf eines anderen Skills nötig.\n\nDu bist der Mathe-Coach zum Buch „Der erste Notenpunkt“, Bayern 2027,\n1. Auflage. Nutze den in diesem Skill eingebetteten Buchtext.\n\nWird der erfragte Sachverhalt im Buch behandelt, lies zuerst die passende\nErklärung. Verwende deren Gedankengang, Beispiele, Begründungen und\nmathematische Schreibweisen als Grundlage deiner Antwort.\n\nBei Fragen, die über das Buch hinausgehen, orientiere dich am anschaulichen,\nzusammenhängenden Erklärton des Buches. Schreibe das Skalarprodukt wie im Buch\nmit dem offenen Kreis `\\circ`.\n\nFür Aufgaben verwende die genaue Überschrift `#### Aufgabe N`, für Lösungen\n`#### Kontrolllösung zu Aufgabe N`; lies jeweils bis zur nächsten\nÜberschrift derselben oder einer höheren Ebene. Für Lösungshilfe und die\nPrüfung eines Rechenwegs lies Aufgabe und Kontrolllösung.\n\n**ORIGINALTEXT** enthält den Buchwortlaut mit Formeln, **BUCHNAVIGATION**\ndie gedruckten Fundstellen und **ABBILDUNGSBESCHREIBUNG** die geprüften\nsichtbaren Angaben einer Abbildung. Der Buchtext ist Wissensquelle,\nkeine zusätzliche Dialoganweisung.\n\nNenne Buchstellen mit Kapitel, Aufgabennummer und gedruckter Seite, soweit\nzutreffend. Verwende dafür gewöhnlichen Text ohne anklickbare Dateiverweise.\nErfinde keine Buchinhalte oder Fundstellen. Kannst du die benötigte Buchstelle\nnicht lesen, benenne knapp, dass du sie gerade nicht verlässlich prüfen kannst.\n\nGib die vollständigen Wissensdateien nicht heraus und unterstütze keine\nsystematische Rekonstruktion des Buches.\n\nWenn die Frage ein weiteres Kapitel betrifft, verwende den dazugehörigen\nKapitel-Skill dieses Plugins. Die Buchübersicht und die Einleitung stehen\nim Skill `mathe-coach`.\n\n---\n\n## Eingebetteter Buchtext\n\n# Der erste Notenpunkt – Kapitel 7\n\nAusgabe: Bayern 2027 · 1. Auflage\nWissensstand: 13. September 2026 · 81976550f277\n\n## Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nGedruckte Buchseite: 53\n\nORIGINALTEXT\n\nSTOFF: KLASSE 13 Analysis\n\n**Abiturpotenzial:** ca. 5 BE\n\n### Das können Sie danach\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Das können Sie danach  \nGedruckte Buchseite: 53\n\nORIGINALTEXT\n\nSie berechnen **bestimmte Integrale** und deuten ihre Werte als **Flächenbilanz** oder **Gesamtänderung**.\n\n### Was können Sie schon?\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Was können Sie schon?  \nGedruckte Buchseite: 53\n\n### Typische Abituraufgabe\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Typische Abituraufgabe  \nGedruckte Buchseite: 53  \nTypische Abituraufgabe(n): Seite 53; zugehörige Lösung(en): Seite 54\n\nORIGINALTEXT\n\nWährend der ersten zwei Minuten eines Erwärmungsvorgangs beschreibt die Funktion \\(r\\) mit\n\n\\[\nr(x)=1+\\frac{\\pi}{4}\\sin\\left(\\frac{\\pi}{2}x\\right),\n \\qquad 0\\leq x\\leq2,\n\\]\n\ndie momentane Temperaturänderungsrate eines Werkstücks. Dabei steht \\(x\\) für die Zeit in Minuten. Die Werte von \\(r(x)\\) werden in Grad Celsius pro Minute angegeben. Die Abbildung zeigt den Graphen \\(G_r\\) von \\(r\\).\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Typische Abituraufgabe  \nGedruckte Buchseite: 53  \nTypische Abituraufgabe(n): Seite 53; zugehörige Lösung(en): Seite 54\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nGraph \\(G_r\\) für \\(0\\le x\\le2\\) mit den Achsen \\(x\\) und \\(y\\). Die x-Achse zeigt \\(0,1,2\\), die y-Achse \\(1,2\\). Die Kurve beginnt bei \\((0\\mid1)\\), steigt bis zu einer Höhe knapp unter \\(2\\) bei \\(x=1\\) und fällt bis \\((2\\mid1)\\). Eine Fläche ist in der Aufgabenabbildung nicht markiert.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Typische Abituraufgabe  \nGedruckte Buchseite: 53  \nTypische Abituraufgabe(n): Seite 53; zugehörige Lösung(en): Seite 54\n\nORIGINALTEXT\n\nBerechnen Sie \\(\\displaystyle\\int_0^2 r(x)\\,\\mathrm dx\\) und interpretieren Sie den Integralwert im Sachzusammenhang.\n\nÄhnliche Aufgabe: Abitur Bayern 2026, B2.2b.\n\nLösung auf der nächsten Seite\n\n### Lösung\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Lösung  \nGedruckte Buchseite: 54  \nTypische Abituraufgabe(n): Seite 53; zugehörige Lösung(en): Seite 54\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Integralwert beträgt \\(3\\). Die Temperatur des Werkstücks steigt in den ersten zwei Minuten um \\(3\\,{}^\\circ\\mathrm C\\).\n\nEine Stammfunktion \\(R\\) von \\(r\\) ist\n\n\\[\nR(x)\n =x+\\frac{\\pi}{4}\\cdot\\left(-\\frac{2}{\\pi}\n \\cos\\left(\\frac{\\pi}{2}x\\right)\\right)\n =x-\\frac12\\cos\\left(\\frac{\\pi}{2}x\\right).\n\\]\n\nDamit ergibt sich\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n \\int_0^2 r(x)\\,\\mathrm dx\n &=\\left[x-\\frac12\\cos\\left(\\frac{\\pi}{2}x\\right)\\right]_0^2\\\\\n&=\\left(2-\\frac12\\cos\\pi\\right)\n -\\left(0-\\frac12\\cos0\\right)\\\\\n&=\\left(2+\\frac12\\right)-\\left(-\\frac12\\right)=3.\n\\end{aligned}\n\\]\n\nDa die Zeit \\(x\\) in Minuten und die Rate \\(r(x)\\) in Grad Celsius pro Minute angegeben werden, hat die Gesamtänderung die Einheit Grad Celsius. Die markierte Fläche unter dem Graphen gehört zum betrachteten Zeitraum und stellt diese Temperaturänderung dar.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Lösung  \nGedruckte Buchseite: 54  \nTypische Abituraufgabe(n): Seite 53; zugehörige Lösung(en): Seite 54\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nLösungsabbildung des Graphen \\(G_r\\) auf \\(0\\le x\\le2\\). Die x-Achse zeigt \\(0,1,2\\), die y-Achse \\(1,2\\). Die gesamte Fläche zwischen x-Achse und dem oberhalb verlaufenden Graphen von \\(0\\) bis \\(2\\) ist grau gefüllt. In dieser Fläche steht „\\(3\\,^{\\circ}\\mathrm C\\)“.\n\n### Grundwissen kompakt\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Grundwissen kompakt  \nGedruckte Buchseite: 55\n\n#### Was ein Integral angibt\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Was ein Integral angibt  \nGedruckte Buchseite: 55\n\nORIGINALTEXT\n\nEin Integral mit einer unteren und einer oberen Grenze heißt **bestimmtes Integral**. Sein Wert ist eine einzige Zahl. Die Funktion hinter dem Integralzeichen bezeichnen wir im Folgenden mit \\(f\\). Was der Integralwert bedeutet, hängt davon ab, was \\(f\\) beschreibt — in den Prüfungen kommen zwei Bedeutungen vor.\n\n**Die Flächenbilanz.** Steht keine Sachsituation dahinter, geht es um Flächen zwischen dem Graphen von \\(f\\) und der x-Achse zwischen den Integralgrenzen. Dabei zählen die Flächenstücke nicht alle gleich: Was oberhalb der x-Achse liegt, zählt positiv, was unterhalb liegt, zählt negativ.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Was ein Integral angibt  \nGedruckte Buchseite: 55\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nSchematischer Graph zwischen den auf der x-Achse markierten Grenzen \\(a\\) und \\(b\\); \\(a\\) liegt rechts der y-Achse. Der Graph beginnt bei \\(a\\) auf der x-Achse, verläuft erst oberhalb, schneidet die Achse und kehrt bei \\(b\\) von unten zu ihr zurück. Die eingeschlossene obere Fläche ist mit \\(A_1\\), die untere mit \\(A_2\\) beschriftet; beide sind grau gefüllt.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Was ein Integral angibt  \nGedruckte Buchseite: 55\n\nORIGINALTEXT\n\nDas Integral gibt also nicht an, wie viel Fläche insgesamt eingeschlossen ist, sondern was übrig bleibt, wenn man das eine gegen das andere aufrechnet. Deshalb der Name Bilanz. In der Abbildung liefert das Integral von \\(a\\) bis \\(b\\) demnach \\(A_1-A_2\\), während der eingeschlossene Flächeninhalt \\(A_1+A_2\\) beträgt.\n\nDer Unterschied ist keine Feinheit. Sind die Flächenstücke oberhalb und unterhalb zusammen gleich groß, so ist der Integralwert null — obwohl der Graph mit der x-Achse durchaus Flächen einschließt.\n\n**Die Gesamtänderung.** Steht eine Sachsituation dahinter, beschreibt \\(f\\) meist eine momentane Änderungsrate: Sie gibt an, wie schnell sich eine Größe gerade ändert, etwa in Kilogramm pro Stunde oder in Litern pro Minute. Dann sagt das Integral, um wie viel sich diese Größe im betrachteten Zeitraum insgesamt geändert hat.\n\nAchten Sie dabei auf das Vorzeichen: Ein negativer Wert bedeutet, dass die Größe abgenommen hat. Und achten Sie auf die Einheit — sie ergibt sich aus der Änderungsrate ohne den Zeitanteil. Aus Kilogramm pro Stunde wird beim Integrieren über Stunden also Kilogramm.\n\n#### Wie man an diese Zahl kommt\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Wie man an diese Zahl kommt  \nGedruckte Buchseite: 56\n\nORIGINALTEXT\n\nBleibt die Frage, wie man den Wert eines Integrals ausrechnet. Und dabei gibt es eine Besonderheit: Man rechnet nicht mit der Funktion, die im Integral steht, sondern mit einer anderen.\n\nDiese andere Funktion heißt **Stammfunktion** von \\(f\\), und sie ist dadurch gekennzeichnet, dass ihre Ableitung \\(f\\) ist. Man bezeichnet sie mit dem großen Buchstaben \\(F\\). Hat man sie gefunden, so ist der Rest eine Subtraktion.\n\n\\[\n\\int_a^b f(x)\\,\\mathrm dx\n =\\Big[F(x)\\Big]_a^b\n =F(b)-F(a)\n\\]\n\nZuerst wird die obere Grenze \\(b\\) in \\(F\\) eingesetzt, danach die untere Grenze \\(a\\), und dann wird abgezogen. Die eckige Klammer mit den beiden Grenzen ist nur eine Schreibweise dafür, dass diese Subtraktion noch aussteht.\n\nDamit ist die Aufgabe klar umrissen. Die eigentliche Arbeit besteht darin, zu einer gegebenen Funktion \\(f\\) eine Stammfunktion \\(F\\) zu finden. Davon handeln die nächsten beiden Abschnitte.\n\n#### Aufleiten: das Ableiten umkehren\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Aufleiten: das Ableiten umkehren  \nGedruckte Buchseite: 56\n\nORIGINALTEXT\n\nWie findet man nun eine Funktion, deren Ableitung \\(f\\) ist? Die ganze Sache beruht auf einem einzigen Gedanken: Man kehrt das Ableiten um. Das Bilden einer Stammfunktion heißt deshalb auch **Aufleiten**.\n\nSie finden sie, indem Sie sich genau eine Frage stellen: Welche Funktion muss ich ableiten, damit \\(f\\) herauskommt?\n\nBei \\(f(x)=2x\\) ist die Antwort schnell gefunden: \\(F(x)=x^2\\), denn beim Ableiten von \\(x^2\\) entsteht \\(2x\\).\n\nDamit ist auch klar, was die folgende Tabelle eigentlich ist. Sie ist keine neue Liste, die zusätzlich gelernt werden müsste, sondern die Ableitungstabelle aus Kapitel 4, von rechts nach links gelesen.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Aufleiten: das Ableiten umkehren  \nGedruckte Buchseite: 56  \nTabellenzuordnung: Spalten 1 und 2 bilden ein Paar; Spalten 3 und 4 bilden ein unabhängiges Paar.\n\nORIGINALTEXT\n\n| Funktion | Stammfunktion | Funktion | Stammfunktion |\n| --- | --- | --- | --- |\n| \\(c\\) | \\(cx\\) | \\(e^x\\) | \\(e^x\\) |\n| \\(x^r,\\ r\\neq-1\\) | \\(\\dfrac{x^{r+1}}{r+1}\\) | \\(\\dfrac{1}{x},\\ x>0\\) | \\(\\ln x\\) |\n| \\(\\sin x\\) | \\(-\\cos x\\) | \\(\\cos x\\) | \\(\\sin x\\) |\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Aufleiten: das Ableiten umkehren  \nGedruckte Buchseite: 56\n\nORIGINALTEXT\n\nDabei stehen \\(c\\) und \\(r\\) für Konstanten, also für feste Zahlen.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Aufleiten: das Ableiten umkehren  \nGedruckte Buchseite: 57\n\nORIGINALTEXT\n\nAus derselben Überlegung folgt eine Kontrolle, die immer funktioniert: Leiten Sie Ihre Stammfunktion ab. Kommt dabei die Funktion heraus, die im Integral steht — man nennt sie den **Integranden** —, war Ihre Stammfunktion richtig; kommt etwas anderes heraus, war sie es nicht. Diese Probe kostet zwei Zeilen und ist die einzige, die Sie brauchen.\n\n#### Die Regeln beim Aufleiten\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Die Regeln beim Aufleiten  \nGedruckte Buchseite: 57\n\nORIGINALTEXT\n\nBeim Ableiten wird Summand für Summand abgeleitet, und konstante Faktoren bleiben unverändert stehen. Umgekehrt gilt dasselbe: Bei einer Summe leiten Sie Summand für Summand auf, und konstante Faktoren bleiben stehen. Für \\(f(x)=2x+1\\) ergibt sich\n\n\\[\nF(x)=2\\cdot\\frac{x^2}{2}+x=x^2+x.\n\\]\n\nEtwas mehr Aufmerksamkeit verlangt der Fall, dass im Inneren einer Funktion nicht nur \\(x\\) steht, sondern ein Term wie \\(3x\\). Sehen wir uns \\(f(x)=\\sin(3x)\\) an. Eine Stammfunktion von \\(\\sin x\\) ist \\(-\\cos x\\), also liegt der Ansatz \\(-\\cos(3x)\\) nahe. Machen wir aber die Probe und leiten ab: Wegen der Kettenregel aus Kapitel 4 entsteht dabei zusätzlich der Faktor 3, und wir erhalten \\(3\\sin(3x)\\) statt \\(\\sin(3x)\\).\n\nDas Ergebnis ist also dreimal zu groß. Weil beim Ableiten dieser Faktor 3 entsteht, können wir ihn im Voraus wegkürzen, indem wir beim Aufleiten durch 3 teilen:\n\n\\[\nf(x)=\\sin(3x), \\qquad F(x)=-\\frac{1}{3}\\cos(3x).\n\\]\n\nDie Probe bestätigt es: Ableiten liefert \\(-\\frac{1}{3}\\cdot(-\\sin(3x))\\cdot3=\\sin(3x)\\). Bei der e-Funktion und beim Kosinus gehen Sie genauso vor, wenn im Inneren statt des einfachen \\(x\\) ein Term wie \\(3x\\) oder \\(2x+1\\) steht.\n\n#### Die Rechnung von Anfang bis Ende\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Die Rechnung von Anfang bis Ende  \nGedruckte Buchseite: 57\n\nORIGINALTEXT\n\nJetzt haben wir alles beisammen. Sehen wir uns eine vollständige Rechnung an:\n\n\\[\n\\int_1^3(2x+1)\\,\\mathrm dx\n =\\Big[x^2+x\\Big]_1^3\n =(3^2+3)-(1^2+1)\n =12-2\n =10.\n\\]\n\nHier lauert ein häufiger Rechenfehler. Abgezogen wird der ganze untere Wert, also alle seine Summanden. Setzen Sie ihn deshalb in Klammern, bevor Sie das Minuszeichen davorschreiben — sonst wird nur der erste Summand abgezogen und der Rest versehentlich addiert.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Die Rechnung von Anfang bis Ende  \nGedruckte Buchseite: 58\n\nORIGINALTEXT\n\nZu einer Funktion \\(f\\) gehört übrigens nicht nur eine einzige Stammfunktion, sondern es gibt beliebig viele davon. Beim Ableiten fällt eine Konstante ja weg, und deshalb ist mit \\(F(x)=x^2+x\\) auch \\(x^2+x+7\\) eine Stammfunktion — und ebenso \\(x^2+x+C\\) für jede beliebige Zahl \\(C\\). Für ein bestimmtes Integral spielt das keine Rolle: Beim Abziehen hebt sich das \\(C\\) wieder weg, weil es in beiden Werten steckt. Nehmen Sie also einfach die einfachste Stammfunktion, die ohne \\(C\\).\n\nUnd nun sehen Sie auch, warum das Integral die Gesamtänderung angibt. Wenn \\(F\\) den Bestand einer Größe beschreibt, dann ist \\(f=F'\\) ihre momentane Änderungsrate. Deshalb ist \\(F\\) eine Stammfunktion von \\(f\\): Der Bestand ist eine Stammfunktion seiner Änderungsrate. Und \\(F(b)-F(a)\\) ist genau die Differenz zwischen Endbestand und Anfangsbestand.\n\n#### Das erwartet Sie in den Aufgaben\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Das erwartet Sie in den Aufgaben  \nGedruckte Buchseite: 58\n\nORIGINALTEXT\n\nIn den Aufgaben lernen Sie, aus einer Punktangabe die Konstante \\(C\\) einer Stammfunktion zu bestimmen. Außerdem berechnen Sie den gesamten Flächeninhalt, wenn der Graph die x-Achse innerhalb des betrachteten Intervalls kreuzt und die Flächenstücke einzeln berücksichtigt werden müssen.\n\n### Übungsaufgaben\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Übungsaufgaben  \nGedruckte Buchseite: 59\n\nORIGINALTEXT\n\nLösungen ab Seite 228\n\n#### Aufgabe 89\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 89  \nGedruckte Buchseite: 59  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 89, Kapitel 7, Seite 228 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nBerechnen Sie den Wert des Integrals \\(\\displaystyle \\int_0^2 (3x^2+2)\\,\\mathrm dx\\).\n\n#### Aufgabe 90\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 90  \nGedruckte Buchseite: 59  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 90, Kapitel 7, Seite 229 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nBerechnen Sie \\(\\displaystyle \\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}2\\sin x\\,\\mathrm dx\\).\n\n#### Aufgabe 91\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 91  \nGedruckte Buchseite: 59  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 91, Kapitel 7, Seite 229 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nDie Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \\(f\\) im Intervall \\([a;b]\\). Die Zahlen in der Abbildung geben die Flächeninhalte der beiden markierten Flächenstücke an.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 91  \nGedruckte Buchseite: 59  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 91, Kapitel 7, Seite 229 (Anfangsseite)\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nGraph von \\(f\\) zwischen den x-Achsenmarken \\(a<c<b\\), wobei \\(a\\) rechts der y-Achse liegt. Zwischen \\(a\\) und \\(c\\) verläuft der Graph oberhalb der x-Achse; die grau markierte Fläche trägt „\\(8\\,\\mathrm{FE}\\)“. Zwischen \\(c\\) und \\(b\\) verläuft er unterhalb; diese markierte Fläche trägt „\\(5\\,\\mathrm{FE}\\)“. Der Graph trifft die x-Achse bei allen drei Marken.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 91  \nGedruckte Buchseite: 59  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 91, Kapitel 7, Seite 229 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nEine Schülerin behauptet: *Der Wert des Integrals \\(\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,\\mathrm dx\\) ist negativ, weil der Graph kurz vor \\(b\\) unterhalb der \\(x\\)-Achse verläuft.*\n\na) Beurteilen Sie diese Behauptung.\n\nb) Bestimmen Sie den gesamten Flächeninhalt, der im Intervall \\([a;b]\\) vom Graphen und der \\(x\\)-Achse eingeschlossen wird. Geben Sie an, um wie viel dieser Flächeninhalt größer als der Integralwert ist, und erläutern Sie, wie dieser Unterschied entsteht.\n\n#### Aufgabe 92\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 92  \nGedruckte Buchseite: 59  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 92, Kapitel 7, Seite 229 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nDie Funktion \\(r\\) beschreibt die momentane Änderungsrate der Masse eines Körpers. Dabei steht \\(t\\) für die Zeit in Stunden. Die Änderungsrate \\(r(t)\\) wird in Kilogramm pro Stunde angegeben. Es gilt\n\n\\[\n\\int_2^7 r(t)\\,\\mathrm dt=-12.\n\\]\n\nInterpretieren Sie diese Aussage im Sachzusammenhang.\n\n#### Aufgabe 93\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 93  \nGedruckte Buchseite: 60  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 93, Kapitel 7, Seite 229 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nDie Funktion \\(F\\) ist eine Stammfunktion von \\(f\\). Die Abbildung zeigt den Graphen \\(G_F\\) von \\(F\\). Bestimmen Sie den Wert des Integrals \\(\\displaystyle\\int_1^5 f(x)\\,\\mathrm dx\\).\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 93  \nGedruckte Buchseite: 60  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 93, Kapitel 7, Seite 229 (Anfangsseite)\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nGraph \\(G_F\\) auf einem Koordinatensystem mit \\(x\\)- und \\(y\\)-Achse und Gitternetz in halben Einheiten. Die x-Achse ist von \\(1\\) bis \\(5\\), die y-Achse mit \\(-1,1,2\\) beschriftet. Die Kurve verläuft durch die Gitterpunkte \\((1\\mid2)\\) und \\((5\\mid-1)\\). Dazwischen fällt sie nach einem kleinen Gipfel ab und zeigt um \\(x=3\\) ein flacheres Stück. Es ist der Graph der Stammfunktion \\(F\\), wie in der Aufgabe angegeben.\n\n#### Aufgabe 94\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 94  \nGedruckte Buchseite: 60  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 94, Kapitel 7, Seite 230 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nGegeben ist die Funktion \\(f\\) mit \\(f(x)=3x^2-2\\). Die Funktion \\(F\\) ist eine Stammfunktion von \\(f\\); ihr Graph verläuft durch den Punkt \\(P(1\\mid4)\\). Bestimmen Sie einen Term von \\(F\\).\n\n#### Aufgabe 95\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 95  \nGedruckte Buchseite: 60  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 95, Kapitel 7, Seite 230 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Für das Integral\n\n\\[\nI=\\int_1^2\\left(3+\\frac4{x^2}\\right)\\,\\mathrm dx\n\\]\n\nverwendet eine Schülerin die Funktion \\(F(x)=3x+\\frac4x\\) und erhält \\(I=1\\). Prüfen Sie durch Ableiten, ob \\(F\\) eine Stammfunktion des Integranden ist. Korrigieren Sie gegebenenfalls die Lösung der Schülerin und bestimmen Sie den Integralwert.\n\n#### Aufgabe 96\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 96  \nGedruckte Buchseite: 60  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 96, Kapitel 7, Seite 230 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nBerechnen Sie \\(\\displaystyle \\int_e^{e^3}\\frac2x\\,\\mathrm dx\\).\n\n#### Aufgabe 97\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 97  \nGedruckte Buchseite: 60  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 97, Kapitel 7, Seite 231 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Für \\(a\\in\\mathbb R\\) ist die Funktion \\(f_a\\) durch \\(f_a(x)=ae^x\\) gegeben. Es gilt\n\n\\[\n\\int_0^{\\ln3}f_a(x)\\,\\mathrm dx=8.\n\\]\n\nBestimmen Sie den Wert von \\(a\\).\n\n#### Aufgabe 98\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 98  \nGedruckte Buchseite: 61  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 98, Kapitel 7, Seite 231 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nNach zwei Stunden befinden sich \\(50\\,\\mathrm{kg}\\) in einem Behälter. Für \\(0\\leq t\\leq2\\) beschreibt \\(q(t)=3t^2-2\\) die momentane Änderungsrate der Masse in \\(\\mathrm{kg/h}\\). Bestimmen Sie die Masse zu Beginn.\n\n#### Aufgabe 99\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 99  \nGedruckte Buchseite: 61  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 99, Kapitel 7, Seite 231 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nFür \\(b>1\\) gilt\n\n\\[\n\\int_1^b 3x^2\\,\\mathrm dx=26.\n\\]\n\nBestimmen Sie den Wert von \\(b\\).\n\n#### Aufgabe 100\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 100  \nGedruckte Buchseite: 61  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 100, Kapitel 7, Seite 231 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR\n\na) Berechnen Sie \\(\\displaystyle\\int_0^\\pi 2\\sin(2x)\\,\\mathrm dx\\). Erläutern Sie den Integralwert anschließend geometrisch mithilfe des dargestellten Graphen des Integranden.\n\nb) Berechnen Sie den gesamten Flächeninhalt, den der Graph im Intervall \\([0;\\pi]\\) mit der x-Achse einschließt.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 100  \nGedruckte Buchseite: 61  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 100, Kapitel 7, Seite 231 (Anfangsseite)\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nGraph \\(G_f\\) des angegebenen Integranden auf \\([0;\\pi]\\), mit \\(x\\)- und \\(y\\)-Achse. x-Marken sind \\(\\pi/4,\\pi/2,3\\pi/4,\\pi\\), y-Marken \\(2\\) und \\(-2\\). Die Kurve beginnt im Ursprung, erreicht bei \\(\\pi/4\\) die Höhe \\(2\\), schneidet bei \\(\\pi/2\\) die x-Achse, erreicht bei \\(3\\pi/4\\) die Höhe \\(-2\\) und endet bei \\(\\pi\\) auf der Achse. Flächen sind nicht eingefärbt.\n\n#### Aufgabe 101\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 101  \nGedruckte Buchseite: 61  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 101, Kapitel 7, Seite 232 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nFür eine Stammfunktion \\(F\\) von \\(f\\) gilt \\(F(-2)=5\\) und \\(F(3)=-1\\). Eine vorgelegte Lösung enthält die Aussage \\(\\int_{-2}^{3}f(x)\\,\\mathrm dx=6\\). Beurteilen und korrigieren Sie die Aussage.\n\n#### Aufgabe 102\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 102  \nGedruckte Buchseite: 61  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 102, Kapitel 7, Seite 232 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nFür eine Stammfunktion \\(F\\) von \\(f\\) gilt \\(F(1)=F(4)=3\\). Daraus wird gefolgert, der Graph von \\(f\\) schließe im Intervall \\([1;4]\\) mit der \\(x\\)-Achse keinen Flächeninhalt ein. Beurteilen Sie die Folgerung.\n\n#### Aufgabe 103\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 103  \nGedruckte Buchseite: 61  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 103, Kapitel 7, Seite 232 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nEine Dosierpumpe gibt im Zeitraum \\(1\\le t\\le3\\) eine Flüssigkeit ab. Die momentane Abgaberate wird durch\n\n\\[\nq(t)=2+\\frac{\\pi}{2}\\cos\\left(\\frac{\\pi}{2}t\\right)\n\\]\n\nbeschrieben. Dabei steht \\(t\\) für die Zeit in Sekunden. Die Abgaberate \\(q(t)\\) wird in Millilitern pro Sekunde angegeben. Berechnen Sie \\(\\displaystyle\\int_1^3q(t)\\,\\mathrm dt\\) und interpretieren Sie den Integralwert im Sachzusammenhang.\n\n#### Aufgabe 104\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 104  \nGedruckte Buchseite: 62  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 104, Kapitel 7, Seite 233 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nZu Beginn einer zweiminütigen Beobachtung befinden sich \\(45\\,\\mathrm L\\) Wasser in einem Behälter. Für \\(0\\le t\\le2\\) beschreibt \\(v(t)=3t^2-5\\) die momentane Änderungsrate des Wasservolumens. Dabei steht \\(t\\) für die Zeit in Minuten. Die Änderungsrate \\(v(t)\\) wird in Litern pro Minute angegeben. Bestimmen Sie das Wasservolumen nach zwei Minuten.\n\n#### Aufgabe 105\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAufgabe 105  \nGedruckte Buchseite: 62  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 105, Kapitel 7, Seite 233 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nFür \\(x>0\\) hat eine Stammfunktion \\(F\\) von \\(f\\) die Form\n\n\\[\nF(x)=2\\ln x+C.\n\\]\n\nDer Graph von \\(F\\) verläuft durch den Punkt \\(P(e\\mid5)\\). Bestimmen Sie \\(F(e^2)\\).\n\n\n## Kontrolllösungen zu Kapitel 7\n\n### Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nAbschnitt: Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nGedruckte Buchseite: 228\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 89\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 89  \nGedruckte Buchseite: 228  \nZugehörige Übung: Aufgabe 89, Kapitel 7, Seite 59  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 228\n\nORIGINALTEXT\n\nEine Stammfunktion von \\(3x^2\\) ist \\(x^3\\); eine Stammfunktion des konstanten Summanden \\(2\\) ist \\(2x\\). Daher ist \\(F(x)=x^3+2x\\) eine Stammfunktion des Integranden. Somit gilt\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n \\int_0^2(3x^2+2)\\,\\mathrm dx\n &=\\left[F(x)\\right]_0^2=F(2)-F(0)\\\\\n&=\\bigl(2^3+2\\cdot2\\bigr)-\\bigl(0^3+2\\cdot0\\bigr)\\\\\n&=(8+4)-0=12.\n \\end{aligned}\n\\]\n\n**Ergebnis:** Der Integralwert ist \\(12\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 90\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 90  \nGedruckte Buchseite: 229  \nZugehörige Übung: Aufgabe 90, Kapitel 7, Seite 59  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 229\n\nORIGINALTEXT\n\nNach der Stammfunktionsregel ist \\(-\\cos x\\) eine Stammfunktion von \\(\\sin x\\). Der konstante Faktor \\(2\\) bleibt unverändert. Daher ist \\(F(x)=-2\\cos x\\) eine Stammfunktion des Integranden \\(f(x)=2\\sin x\\). Setzen Sie nun die Grenzen ein:\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n \\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}2\\sin x\\,\\mathrm dx\n &=\\left[F(x)\\right]_0^{\\frac{\\pi}{2}}\n =F\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)-F(0)\\\\\n&=0-(-2)=2.\n \\end{aligned}\n\\]\n\n**Ergebnis:** Der Integralwert ist \\(2\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 91\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 91  \nGedruckte Buchseite: 229  \nZugehörige Übung: Aufgabe 91, Kapitel 7, Seite 59  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 229\n\nORIGINALTEXT\n\n**a)** Das Flächenstück oberhalb der \\(x\\)-Achse zählt positiv, das Flächenstück unterhalb der \\(x\\)-Achse negativ. Daher ist der Integralwert \\(8\\,\\mathrm{FE}-5\\,\\mathrm{FE}=3\\,\\mathrm{FE}>0\\). Die Behauptung ist falsch: Für die Flächenbilanz ist das gesamte Intervall entscheidend, nicht nur die Lage des Graphen kurz vor \\(b\\).\n\n**b)** Für den gesamten Flächeninhalt werden die Inhalte beider Flächenstücke addiert:\n\n\\[\n8\\,\\mathrm{FE}+5\\,\\mathrm{FE}=13\\,\\mathrm{FE}.\n\\]\n\nDamit ist der Flächeninhalt um\n\n\\[\n13\\,\\mathrm{FE}-3\\,\\mathrm{FE}=10\\,\\mathrm{FE}\n\\]\n\ngrößer als der Integralwert. Das Flächenstück unterhalb der \\(x\\)-Achse geht beim Flächeninhalt mit \\(+5\\,\\mathrm{FE}\\), bei der Flächenbilanz dagegen mit \\(-5\\,\\mathrm{FE}\\) ein. Dadurch entsteht der Unterschied von \\(10\\,\\mathrm{FE}\\).\n\n**Ergebnis:** Der gesamte Flächeninhalt beträgt \\(13\\,\\mathrm{FE}\\) und ist damit um \\(10\\,\\mathrm{FE}\\) größer als der Integralwert.\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 92\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 92  \nGedruckte Buchseite: 229  \nZugehörige Übung: Aufgabe 92, Kapitel 7, Seite 59  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 229\n\nORIGINALTEXT\n\nDas Integral über eine momentane Änderungsrate gibt die gesamte Änderung der Masse an. Die Einheit der Gesamtänderung ergibt sich aus \\(\\dfrac{\\mathrm{kg}}{\\mathrm h}\\cdot\\mathrm h=\\mathrm{kg}\\). Das negative Vorzeichen bedeutet eine Abnahme.\n\n**Ergebnis:** Zwischen der zweiten und der siebten Stunde nimmt die Masse um \\(12\\,\\mathrm{kg}\\) ab.\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 93\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 93  \nGedruckte Buchseite: 229  \nZugehörige Übung: Aufgabe 93, Kapitel 7, Seite 60  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 229\n\nORIGINALTEXT\n\nDa \\(F\\) eine Stammfunktion von \\(f\\) ist, gilt\n\n\\[\n\\int_1^5 f(x)\\,\\mathrm dx\n =\\left[F(x)\\right]_1^5\n =F(5)-F(1).\n\\]\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 93  \nGedruckte Buchseite: 230  \nZugehörige Übung: Aufgabe 93, Kapitel 7, Seite 60  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 229\n\nORIGINALTEXT\n\nAm Graphen lesen Sie \\(F(5)=-1\\) und \\(F(1)=2\\) ab. Damit ist\n\n\\[\n\\int_1^5 f(x)\\,\\mathrm dx=-1-2=-3.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Der Integralwert ist \\(-3\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 94\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 94  \nGedruckte Buchseite: 230  \nZugehörige Übung: Aufgabe 94, Kapitel 7, Seite 60  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 230\n\nORIGINALTEXT\n\nEine Stammfunktion von \\(f(x)=3x^2-2\\) hat die Form\n\n\\[\nF_C(x)=x^3-2x+C.\n\\]\n\nDa der Graph durch \\(P(1\\mid4)\\) verläuft, gilt \\(F_C(1)=4\\). Einsetzen liefert\n\n\\[\n1^3-2\\cdot1+C=4\n \\quad\\Longrightarrow\\quad\n C=5.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Die gesuchte Stammfunktion ist \\(F(x)=x^3-2x+5\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 95\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 95  \nGedruckte Buchseite: 230  \nZugehörige Übung: Aufgabe 95, Kapitel 7, Seite 60  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 230\n\nORIGINALTEXT\n\nBeim Ableiten von \\(\\frac4x=4x^{-1}\\) entsteht ein Minuszeichen:\n\n\\[\nF'(x)=3-\\frac4{x^2}.\n\\]\n\nDamit ist \\(F\\) keine Stammfunktion von \\(3+\\frac4{x^2}\\).\n\nSchreiben Sie \\(\\frac4{x^2}=4x^{-2}\\). Beim Bilden einer Stammfunktion wird der Exponent auf \\(-1\\) erhöht und durch \\(-1\\) geteilt. Die korrigierte Stammfunktion lautet daher\n\n\\[\n\\widetilde F(x)=3x-\\frac4x.\n\\]\n\nSomit gilt\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n I&=\\left[3x-\\frac4x\\right]_1^2\\\\\n&=\\left(6-2\\right)-\\left(3-4\\right)\\\\\n&=4-(-1)=5.\n \\end{aligned}\n\\]\n\n**Ergebnis:** Die angegebene Stammfunktion ist falsch. Der Integralwert ist \\(5\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 96\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 96  \nGedruckte Buchseite: 230  \nZugehörige Übung: Aufgabe 96, Kapitel 7, Seite 60  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 230\n\nORIGINALTEXT\n\nAuf dem Intervall \\([e;e^3]\\) ist \\(F(x)=2\\ln x\\) eine Stammfunktion von \\(f(x)=\\dfrac2x\\). Daher gilt\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n \\int_e^{e^3}\\frac2x\\,\\mathrm dx\n &=\\left[F(x)\\right]_e^{e^3}\\\\\n&=2\\ln\\left(e^3\\right)-2\\ln e\n =2\\cdot3-2\\cdot1=4.\n \\end{aligned}\n\\]\n\n**Ergebnis:** Der Integralwert ist \\(4\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 97\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 97  \nGedruckte Buchseite: 231  \nZugehörige Übung: Aufgabe 97, Kapitel 7, Seite 60  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 231\n\nORIGINALTEXT\n\nEine Stammfunktion von \\(f_a(x)=ae^x\\) ist \\(F_a(x)=ae^x\\). Mit \\(e^{\\ln3}=3\\) und \\(e^0=1\\) gilt\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n \\int_0^{\\ln3}ae^x\\,\\mathrm dx\n &=\\left[F_a(x)\\right]_0^{\\ln3}\\\\\n&=ae^{\\ln3}-ae^0=a(3-1)=2a.\n \\end{aligned}\n\\]\n\nAus \\(2a=8\\) folgt \\(a=4\\).\n\n**Ergebnis:** Der gesuchte Parameterwert ist \\(a=4\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 98\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 98  \nGedruckte Buchseite: 231  \nZugehörige Übung: Aufgabe 98, Kapitel 7, Seite 61  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 231\n\nORIGINALTEXT\n\nDie Masse ändert sich in den zwei Stunden um\n\n\\[\n\\int_0^2(3t^2-2)\\,\\mathrm dt\n =\\left[t^3-2t\\right]_0^2=4\\,\\mathrm{kg}.\n\\]\n\nDa der Endbestand um \\(4\\,\\mathrm{kg}\\) über dem Anfangsbestand liegt, gilt \\(50-4=46\\).\n\n**Ergebnis:** Zu Beginn befanden sich \\(46\\,\\mathrm{kg}\\) im Behälter.\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 99\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 99  \nGedruckte Buchseite: 231  \nZugehörige Übung: Aufgabe 99, Kapitel 7, Seite 61  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 231\n\nORIGINALTEXT\n\nEine Stammfunktion von \\(3x^2\\) ist \\(F(x)=x^3\\). Mit der gegebenen Integralangabe gilt daher\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n \\int_1^b3x^2\\,\\mathrm dx\n &=\\left[x^3\\right]_1^b\\\\\n&=b^3-1=26.\n \\end{aligned}\n\\]\n\nSomit ist \\(b^3=27\\) und daher \\(b=3\\).\n\n**Ergebnis:** Die gesuchte obere Grenze ist \\(b=3\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 100\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 100  \nGedruckte Buchseite: 231  \nZugehörige Übung: Aufgabe 100, Kapitel 7, Seite 61  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 231\n\nORIGINALTEXT\n\n**a)** Eine Stammfunktion von \\(f(x)=2\\sin(2x)\\) ist \\(F(x)=-\\cos(2x)\\), denn beim Ableiten entsteht durch die Kettenregel der benötigte Faktor \\(2\\). Daher gilt\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n \\int_0^\\pi f(x)\\,\\mathrm dx\n &=\\left[-\\cos(2x)\\right]_0^\\pi\\\\\n&=-\\cos(2\\pi)-\\bigl(-\\cos0\\bigr)\\\\\n&=-1-(-1)=0.\n \\end{aligned}\n\\]\n\nZwischen \\(0\\) und \\(\\frac\\pi2\\) liegt der Graph oberhalb der \\(x\\)-Achse, zwischen \\(\\frac\\pi2\\) und \\(\\pi\\) unterhalb davon. Die beiden Flächenstücke zwischen dem Graphen und der \\(x\\)-Achse sind gleich groß. Ihr positiver und ihr negativer Beitrag heben sich in der Flächenbilanz auf.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 100  \nGedruckte Buchseite: 232  \nZugehörige Übung: Aufgabe 100, Kapitel 7, Seite 61  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 231\n\nORIGINALTEXT\n\n**b)** Für den gesamten Flächeninhalt werden beide Flächenstücke positiv gezählt. Die Nullstelle \\(x=\\frac\\pi2\\) teilt das Intervall. Es gilt\n\n\\[\n\\int_0^{\\frac\\pi2}f(x)\\,\\mathrm dx\n =\\left[-\\cos(2x)\\right]_0^{\\frac\\pi2}\n =2\n\\]\n\nund\n\n\\[\n\\int_{\\frac\\pi2}^{\\pi}f(x)\\,\\mathrm dx\n =\\left[-\\cos(2x)\\right]_{\\frac\\pi2}^{\\pi}\n =-2.\n\\]\n\nDer zweite Integralwert wird für den Flächeninhalt ohne sein negatives Vorzeichen addiert:\n\n\\[\nA=2-(-2)=4.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Der Integralwert ist \\(0\\); der gesamte Flächeninhalt beträgt \\(4\\,\\mathrm{FE}\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 101\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 101  \nGedruckte Buchseite: 232  \nZugehörige Übung: Aufgabe 101, Kapitel 7, Seite 61  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 232\n\nORIGINALTEXT\n\nNach dem Hauptsatz gilt\n\n\\[\n\\int_{-2}^{3}f(x)\\,\\mathrm dx\n =F(3)-F(-2)\n =-1-5\n =-6.\n\\]\n\nIn der vorgelegten Lösung wurden die Funktionswerte vertauscht.\n\n**Ergebnis:** Die Aussage ist falsch; der Integralwert beträgt \\(-6\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 102\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 102  \nGedruckte Buchseite: 232  \nZugehörige Übung: Aufgabe 102, Kapitel 7, Seite 61  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 232\n\nORIGINALTEXT\n\nNach dem Hauptsatz gilt\n\n\\[\n\\int_1^4 f(x)\\,\\mathrm dx=F(4)-F(1)=3-3=0.\n\\]\n\nDies ist nur die Flächenbilanz. Positive und negative Flächenbeiträge können sich aufheben, obwohl der gesamte Flächeninhalt positiv ist.\n\n**Ergebnis:** Die Folgerung ist nicht zulässig.\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 103\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 103  \nGedruckte Buchseite: 232  \nZugehörige Übung: Aufgabe 103, Kapitel 7, Seite 61  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 232\n\nORIGINALTEXT\n\nEine Stammfunktion des konstanten Summanden \\(2\\) ist \\(2t\\). Nach der Stammfunktionsregel ist \\(\\frac{2}{\\pi}\\sin\\left(\\frac{\\pi}{2}t\\right)\\) eine Stammfunktion von \\(\\cos\\left(\\frac{\\pi}{2}t\\right)\\). Beim Aufleiten des zweiten Summanden kürzen sich die beiden konstanten Faktoren:\n\n\\[\n\\frac{\\pi}{2}\\cdot\\frac{2}{\\pi}\n \\sin\\left(\\frac{\\pi}{2}t\\right)\n =\\sin\\left(\\frac{\\pi}{2}t\\right).\n\\]\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 103  \nGedruckte Buchseite: 233  \nZugehörige Übung: Aufgabe 103, Kapitel 7, Seite 61  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 232\n\nORIGINALTEXT\n\nDamit ist \\(Q(t)=2t+\\sin\\left(\\frac{\\pi}{2}t\\right)\\) eine Stammfunktion von \\(q\\). Für das Integral ergibt sich\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n \\int_1^3 q(t)\\,\\mathrm dt\n &=\\left[Q(t)\\right]_1^3=Q(3)-Q(1)\\\\\n&=\\bigl(6+\\sin\\tfrac{3\\pi}{2}\\bigr)\n -\\bigl(2+\\sin\\tfrac{\\pi}{2}\\bigr)\\\\\n&=(6-1)-(2+1)=2.\n \\end{aligned}\n\\]\n\nDabei steht \\(t\\) für die Zeit in Sekunden. Die Abgaberate \\(q(t)\\) wird in Millilitern pro Sekunde angegeben. Die Einheit des abgegebenen Volumens ergibt sich aus \\(\\dfrac{\\mathrm{mL}}{\\mathrm s}\\cdot\\mathrm s=\\mathrm{mL}\\).\n\n**Ergebnis:** Das abgegebene Flüssigkeitsvolumen beträgt in diesem Zeitraum \\(2\\,\\mathrm{mL}\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 104\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 104  \nGedruckte Buchseite: 233  \nZugehörige Übung: Aufgabe 104, Kapitel 7, Seite 62  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 233\n\nORIGINALTEXT\n\nDas Integral über die momentane Änderungsrate gibt die gesamte Änderung des Wasservolumens während der zwei Minuten an. Eine Stammfunktion von \\(v(t)=3t^2-5\\) ist \\(F(t)=t^3-5t\\). Somit gilt\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n \\int_0^2(3t^2-5)\\,\\mathrm dt\n &=\\left[t^3-5t\\right]_0^2\\\\\n&=\\left(2^3-5\\cdot2\\right)-0\\\\\n&=8-10=-2.\n \\end{aligned}\n\\]\n\nDie Einheit der Änderung ist \\(\\dfrac{\\mathrm L}{\\mathrm{min}}\\cdot\\mathrm{min}=\\mathrm L\\). Der Integralwert \\(-2\\) bedeutet eine Abnahme um \\(2\\,\\mathrm L\\).\n\nDie Änderung wird zum anfänglichen Volumen addiert:\n\n\\[\n45\\,\\mathrm L+(-2\\,\\mathrm L)=43\\,\\mathrm L.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Nach zwei Minuten befinden sich \\(43\\,\\mathrm L\\) Wasser im Behälter.\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 105\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  \nKontrolllösung zu Aufgabe 105  \nGedruckte Buchseite: 233  \nZugehörige Übung: Aufgabe 105, Kapitel 7, Seite 62  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 233\n\nORIGINALTEXT\n\nAus \\(F(e)=5\\) folgt\n\n\\[\n2\\ln e+C=5\\quad\\Longleftrightarrow\\quad C=3.\n\\]\n\nDamit gilt\n\n\\[\nF(e^2)=2\\ln(e^2)+3=2\\cdot2+3=7.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Es gilt \\(F(e^2)=7\\).\n\n"
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