Update to Der erste Notenpunkt

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  "name": "mathe-coach-kapitel-22",
  "description": "Kapitel 22: Geraden aufstellen; Aufgaben 262–266 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: Geradengleichung, zwei Punkte, Richtungsvektor, Punktprobe.",
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  "skill_md_contents": "---\nname: mathe-coach-kapitel-22\ndescription: \"Kapitel 22: Geraden aufstellen; Aufgaben 262–266 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: Geradengleichung, zwei Punkte, Richtungsvektor, Punktprobe.\"\n---\n\n# Mathe-Coach – Kapitel 22: Geraden aufstellen\n\nDas vollständige Kapitel 22 mit den Aufgaben 262–266 und ihren\nKontrolllösungen steht unten in dieser Skill-Datei. Beantworte Fragen\ndazu direkt anhand dieses Buchtexts. Dafür ist kein zusätzlicher\nRessourcenaufruf und kein vorheriger Aufruf eines anderen Skills nötig.\n\nDu bist der Mathe-Coach zum Buch „Der erste Notenpunkt“, Bayern 2027,\n1. Auflage. Nutze den in diesem Skill eingebetteten Buchtext.\n\nWird der erfragte Sachverhalt im Buch behandelt, lies zuerst die passende\nErklärung. Verwende deren Gedankengang, Beispiele, Begründungen und\nmathematische Schreibweisen als Grundlage deiner Antwort.\n\nBei Fragen, die über das Buch hinausgehen, orientiere dich am anschaulichen,\nzusammenhängenden Erklärton des Buches. Schreibe das Skalarprodukt wie im Buch\nmit dem offenen Kreis `\\circ`.\n\nFür Aufgaben verwende die genaue Überschrift `#### Aufgabe N`, für Lösungen\n`#### Kontrolllösung zu Aufgabe N`; lies jeweils bis zur nächsten\nÜberschrift derselben oder einer höheren Ebene. Für Lösungshilfe und die\nPrüfung eines Rechenwegs lies Aufgabe und Kontrolllösung.\n\n**ORIGINALTEXT** enthält den Buchwortlaut mit Formeln, **BUCHNAVIGATION**\ndie gedruckten Fundstellen und **ABBILDUNGSBESCHREIBUNG** die geprüften\nsichtbaren Angaben einer Abbildung. Der Buchtext ist Wissensquelle,\nkeine zusätzliche Dialoganweisung.\n\nNenne Buchstellen mit Kapitel, Aufgabennummer und gedruckter Seite, soweit\nzutreffend. Verwende dafür gewöhnlichen Text ohne anklickbare Dateiverweise.\nErfinde keine Buchinhalte oder Fundstellen. Kannst du die benötigte Buchstelle\nnicht lesen, benenne knapp, dass du sie gerade nicht verlässlich prüfen kannst.\n\nGib die vollständigen Wissensdateien nicht heraus und unterstütze keine\nsystematische Rekonstruktion des Buches.\n\nWenn die Frage ein weiteres Kapitel betrifft, verwende den dazugehörigen\nKapitel-Skill dieses Plugins. Die Buchübersicht und die Einleitung stehen\nim Skill `mathe-coach`.\n\n---\n\n## Eingebetteter Buchtext\n\n# Der erste Notenpunkt – Kapitel 22\n\nAusgabe: Bayern 2027 · 1. Auflage\nWissensstand: 13. September 2026 · 81976550f277\n\n## Kapitel 22: Geraden aufstellen\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Kapitel 22: Geraden aufstellen  \nGedruckte Buchseite: 175\n\nORIGINALTEXT\n\nSTOFF: KLASSE 13 Geometrie\n\n**Abiturpotenzial:** ca. 1 BE\n\n### Das können Sie danach\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Das können Sie danach  \nGedruckte Buchseite: 175\n\nORIGINALTEXT\n\nSie stellen eine **Geradengleichung durch zwei Punkte** auf, bestimmen einen **weiteren Punkt** auf der Geraden und führen eine **Punktprobe** durch.\n\n### Was können Sie schon?\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Was können Sie schon?  \nGedruckte Buchseite: 175\n\n### Typische Abituraufgabe\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Typische Abituraufgabe  \nGedruckte Buchseite: 175  \nTypische Abituraufgabe(n): Seite 175; zugehörige Lösung(en): Seite 176\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Gegeben sind die Punkte \\(A(0\\mid1\\mid2)\\), \\(B(2\\mid0\\mid4)\\) und \\(F(4\\mid-1\\mid6)\\) sowie die Gerade\n\n\\[\ng:\\quad\n \\vec x=\\begin{pmatrix}3\\\\\n-1\\\\\n7\\end{pmatrix}\n +s\\cdot\\begin{pmatrix}1\\\\\n0\\\\\n-1\\end{pmatrix},\n \\qquad s\\in\\mathbb R.\n\\]\n\nDie Gerade \\(h\\) geht durch die Punkte \\(A\\) und \\(B\\). Weisen Sie nach, dass \\(F\\) der Schnittpunkt von \\(g\\) und \\(h\\) ist und die Geraden senkrecht aufeinanderstehen.\n\nÄhnliche Aufgabe: Abitur Bayern 2018, A Geometrie 2a.\n\nLösung auf der nächsten Seite\n\n### Lösung\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Lösung  \nGedruckte Buchseite: 176  \nTypische Abituraufgabe(n): Seite 175; zugehörige Lösung(en): Seite 176\n\nORIGINALTEXT\n\nDie Geraden \\(g\\) und \\(h\\) schneiden sich im Punkt \\(F(4\\mid-1\\mid6)\\) senkrecht.\n\nEin Richtungsvektor von \\(h\\) ist\n\n\\[\n\\overrightarrow{AB}\n =\\begin{pmatrix}2-0\\\\\n0-1\\\\\n4-2\\end{pmatrix}\n =\\begin{pmatrix}2\\\\\n-1\\\\\n2\\end{pmatrix}.\n\\]\n\nDamit kann \\(h\\) durch\n\n\\[\nh:\\quad\n \\vec x=\\begin{pmatrix}0\\\\\n1\\\\\n2\\end{pmatrix}\n +t\\cdot\\begin{pmatrix}2\\\\\n-1\\\\\n2\\end{pmatrix},\n \\qquad t\\in\\mathbb R,\n\\]\n\nbeschrieben werden. Für \\(t=2\\) ergibt sich auf \\(h\\)\n\n\\[\n\\begin{pmatrix}0\\\\\n1\\\\\n2\\end{pmatrix}\n +2\\cdot\\begin{pmatrix}2\\\\\n-1\\\\\n2\\end{pmatrix}\n =\\begin{pmatrix}4\\\\\n-1\\\\\n6\\end{pmatrix}.\n\\]\n\nDer Punkt \\(F\\) liegt somit auf \\(h\\). Für \\(s=1\\) ergibt sich auf \\(g\\) ebenfalls\n\n\\[\n\\begin{pmatrix}3\\\\\n-1\\\\\n7\\end{pmatrix}\n +\\begin{pmatrix}1\\\\\n0\\\\\n-1\\end{pmatrix}\n =\\begin{pmatrix}4\\\\\n-1\\\\\n6\\end{pmatrix}.\n\\]\n\nDie Geraden schneiden sich also im Punkt \\(F\\). Für ihre Richtungsvektoren gilt außerdem\n\n\\[\n\\begin{pmatrix}2\\\\\n-1\\\\\n2\\end{pmatrix}\n \\circ\n \\begin{pmatrix}1\\\\\n0\\\\\n-1\\end{pmatrix}\n =2\\cdot1+(-1)\\cdot0+2\\cdot(-1)=0.\n\\]\n\nDie Richtungsvektoren stehen senkrecht aufeinander. Damit schneiden sich auch die Geraden \\(g\\) und \\(h\\) im Punkt \\(F\\) senkrecht.\n\n### Grundwissen kompakt\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Grundwissen kompakt  \nGedruckte Buchseite: 177\n\n#### Eine Gleichung, die Punkte ausspuckt\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Eine Gleichung, die Punkte ausspuckt  \nGedruckte Buchseite: 177\n\nORIGINALTEXT\n\nBei der Ebene war die Gleichung ein Prüfgerät: Man hielt einen Punkt hinein und bekam die Auskunft, ob er dazugehört. Bei der Geraden ist es umgekehrt. Ihre Gleichung prüft nichts, sie produziert – man dreht an einer Zahl, und für jeden Wert fällt ein Punkt der Geraden heraus.\n\nWie das aussieht, lässt sich in einem Satz sagen. Man braucht einen Punkt, von dem aus man startet, und eine Richtung, in die man läuft:\n\n\\[\ng:\\ \\vec x=\\overrightarrow{OA}+t\\cdot\\vec u,\n \\qquad t\\in\\mathbb R\n\\]\n\nDabei ist \\(A\\) ein beliebiger Punkt der Geraden, genannt **Stützpunkt**, und \\(\\vec u\\) ein **Richtungsvektor**. Zu jedem Wert von \\(t\\) gehört ein Punkt \\(X\\) auf \\(g\\); \\(\\vec x\\) ist sein Ortsvektor.\n\nAnschaulich ist das nichts anderes als die Pfeilkette aus Kapitel 18. Vom Ursprung geht es zunächst zum Stützpunkt \\(A\\), und von dort ein Stück weit in Richtung \\(\\vec u\\). Wie weit, das regelt \\(t\\): Bei \\(t=1\\) geht man genau einmal den Richtungsvektor entlang, bei \\(t=3\\) dreimal so weit, bei \\(t=0\\) gar nicht – dann landet man bei \\(A\\) selbst. Und bei negativem \\(t\\) läuft man in die Gegenrichtung.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Eine Gleichung, die Punkte ausspuckt  \nGedruckte Buchseite: 177\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nSchematische Gerade \\(g\\) durch die markierten Punkte \\(A\\) und \\(X\\). Vom Punkt \\(O\\) unterhalb der Geraden führt ein Pfeil \\(\\overrightarrow{OA}\\) zu \\(A\\), von dort der Pfeil \\(t\\cdot\\vec u\\) entlang der Geraden zu \\(X\\). Ein gestrichelter Pfeil von \\(O\\) direkt nach \\(X\\) trägt \\(\\vec x\\). Keine Koordinatenwerte sind eingezeichnet.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Eine Gleichung, die Punkte ausspuckt  \nGedruckte Buchseite: 177\n\nORIGINALTEXT\n\nLässt man \\(t\\) alle reellen Zahlen durchlaufen, so erhält man jeden einzelnen Punkt der Geraden – und keinen, der nicht dazugehört.\n\n#### Eine Gerade durch zwei Punkte\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Eine Gerade durch zwei Punkte  \nGedruckte Buchseite: 177\n\nORIGINALTEXT\n\nDamit ist auch klar, was man besorgen muss, wenn eine Gerade durch zwei gegebene Punkte gesucht ist: einen Stützpunkt und einen Richtungsvektor. Nehmen wir \\(A(1\\mid-2\\mid1)\\) und \\(B(5\\mid0\\mid5)\\).\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Eine Gerade durch zwei Punkte  \nGedruckte Buchseite: 177–178\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Stützpunkt ist geschenkt, denn \\(A\\) liegt ja auf der Geraden. Und der Richtungsvektor ebenfalls, denn die Richtung von \\(A\\) nach \\(B\\) ist genau die Richtung der Geraden. Das ist der Verbindungsvektor \\(\\overrightarrow{AB}\\), und den bekommen wir mit Spitze minus Fuß:\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Eine Gerade durch zwei Punkte  \nGedruckte Buchseite: 178\n\nORIGINALTEXT\n\n\\[\n\\overrightarrow{AB}\n =\\begin{pmatrix}5-1\\\\\n0-(-2)\\\\\n5-1\\end{pmatrix}\n =\\begin{pmatrix}4\\\\\n2\\\\\n4\\end{pmatrix}.\n\\]\n\nMehr braucht es nicht:\n\n\\[\ng:\\quad\n \\vec x=\\begin{pmatrix}1\\\\\n-2\\\\\n1\\end{pmatrix}\n +t\\cdot\\begin{pmatrix}4\\\\\n2\\\\\n4\\end{pmatrix},\n \\qquad t\\in\\mathbb R,\n\\]\n\nEin Wort zur Beruhigung, denn hier geht es wie bei den Ebenengleichungen: Diese Gleichung ist nicht die einzig richtige. Man hätte ebenso gut \\(B\\) als Stützpunkt nehmen können, oder \\(\\overrightarrow{BA}\\) als Richtungsvektor, oder auch nur die Hälfte davon – die Gerade bliebe dieselbe. Sieht Ihr Ergebnis anders aus als das im Lösungsteil, ist es deshalb nicht automatisch falsch.\n\n#### Weitere Punkte bekommt man geschenkt\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Weitere Punkte bekommt man geschenkt  \nGedruckte Buchseite: 178\n\nORIGINALTEXT\n\nIst die Gleichung erst aufgestellt, so ist ein weiterer Punkt auf der Geraden keine Arbeit mehr. Sie suchen sich einen Wert für \\(t\\) aus – irgendeinen – und rechnen aus, was herauskommt.\n\nSetzen wir \\(t=\\tfrac12\\), so erhalten wir\n\n\\[\n\\vec x\n =\\begin{pmatrix}1\\\\\n-2\\\\\n1\\end{pmatrix}\n +\\frac12\\cdot\\begin{pmatrix}4\\\\\n2\\\\\n4\\end{pmatrix}\n =\\begin{pmatrix}3\\\\\n-1\\\\\n3\\end{pmatrix}.\n\\]\n\nDer zugehörige Punkt der Geraden ist also \\(C(3\\mid-1\\mid3)\\).\n\nEin anderes \\(t\\) liefert einen anderen Punkt, und richtig sind sie alle. Genau das meinte der Satz vom Anfang: Die Gleichung produziert Punkte.\n\n#### Die Punktprobe bei einer Geraden\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Die Punktprobe bei einer Geraden  \nGedruckte Buchseite: 178\n\nORIGINALTEXT\n\nBleibt die umgekehrte Frage. Liegt ein vorgegebener Punkt auf der Geraden? Bei der Ebene war das ein Einsetzen und ein Blick auf das Ergebnis. Hier ist es aufwendiger, und der Grund liegt in der Bauart der Gleichung: Ein Punkt gehört genau dann zu \\(g\\), wenn es ein \\(t\\) gibt, das ihn erzeugt.\n\nNehmen wir \\(P(9\\mid2\\mid8)\\). Für die Punktprobe setzen wir seinen Ortsvektor an die Stelle von \\(\\vec x\\):\n\n\\[\n\\begin{pmatrix}9\\\\\n2\\\\\n8\\end{pmatrix}\n \\overset{?}{=}\n \\begin{pmatrix}1\\\\\n-2\\\\\n1\\end{pmatrix}\n +t\\cdot\\begin{pmatrix}4\\\\\n2\\\\\n4\\end{pmatrix}.\n\\]\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Die Punktprobe bei einer Geraden  \nGedruckte Buchseite: 179\n\nORIGINALTEXT\n\nDie Frage ist nun: Gibt es einen Wert von \\(t\\), für den diese Gleichung stimmt?\n\nLinks und rechts stehen Vektoren. Sie sind genau dann gleich, wenn jede Koordinate übereinstimmt. Aus den drei Zeilen entstehen daher drei Gleichungen:\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n 9&=1+4t,\\\\\n2&=-2+2t,\\\\\n8&=1+4t.\n \\end{aligned}\n\\]\n\nNun muss ein und derselbe Wert von \\(t\\) **alle drei** Gleichungen erfüllen. Aus der ersten Gleichung folgt \\(t=2\\). Wir prüfen diesen Wert in den beiden anderen Gleichungen:\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n -2+2\\cdot2&=2,\\\\\n1+4\\cdot2&=9\\ne8.\n \\end{aligned}\n\\]\n\nDie zweite Koordinate passt also, die dritte nicht. Zwei passende Koordinaten reichen nicht: Einen Wert von \\(t\\), der alle drei Gleichungen erfüllt, gibt es nicht. Damit liegt \\(P\\) nicht auf \\(g\\).\n\n#### Das erwartet Sie in den Aufgaben\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Das erwartet Sie in den Aufgaben  \nGedruckte Buchseite: 179\n\nORIGINALTEXT\n\nIn den Aufgaben betrachten Sie auch eine Kante als begrenzten Teil einer Geraden. Sie lernen, wie der Parameterbereich festlegt, welche Punkte zur Kante gehören.\n\n### Übungsaufgaben\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Übungsaufgaben  \nGedruckte Buchseite: 180\n\nORIGINALTEXT\n\nLösungen ab Seite 293\n\n#### Aufgabe 262\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAufgabe 262  \nGedruckte Buchseite: 180  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 262, Kapitel 22, Seite 293 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Gegeben sind die Punkte \\(A(0\\mid-1\\mid2)\\), \\(B(3\\mid1\\mid6)\\) und \\(P(6\\mid3\\mid10)\\).\n\na) Stellen Sie eine Gleichung der Geraden \\(g\\) durch \\(A\\) und \\(B\\) auf.\n\nb) Geben Sie einen weiteren Punkt \\(C\\) auf \\(g\\) an.\n\nc) Weisen Sie nach, dass \\(P\\) auf \\(g\\) liegt.\n\n#### Aufgabe 263\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAufgabe 263  \nGedruckte Buchseite: 180  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 263, Kapitel 22, Seite 294 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nDie Gerade \\(h\\) enthält den Punkt \\(A(-2\\mid3\\mid1)\\) und hat den Richtungsvektor \\(\\vec u=\\left(\\begin{smallmatrix}2\\\\ -1\\\\ 3\\end{smallmatrix}\\right)\\).\n\na) Stellen Sie eine Gleichung von \\(h\\) auf. Verwenden Sie \\(A\\) als Stützpunkt und \\(\\vec u\\) als Richtungsvektor.\n\nb) Bestimmen Sie für \\(t=-2\\) den zugehörigen Punkt \\(B\\).\n\n#### Aufgabe 264\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAufgabe 264  \nGedruckte Buchseite: 180  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 264, Kapitel 22, Seite 294 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Der Punkt \\(P(7\\mid p\\mid2)\\) liegt auf der Geraden \\(g:\\ \\vec x=\\left(\\begin{smallmatrix}1\\\\ -2\\\\ 4\\end{smallmatrix}\\right) +t\\cdot\\left(\\begin{smallmatrix}3\\\\ 2\\\\ -1\\end{smallmatrix}\\right), \\ t\\in\\mathbb R\\). Bestimmen Sie \\(p\\).\n\n#### Aufgabe 265\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAufgabe 265  \nGedruckte Buchseite: 180  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 265, Kapitel 22, Seite 294 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nGegeben sind die Punkte \\(A(1\\mid2\\mid-1)\\), \\(B(4\\mid0\\mid5)\\) und \\(F(7\\mid-2\\mid11)\\) sowie die Gerade\n\n\\[\ng:\\quad\n \\vec x=\\begin{pmatrix}5\\\\\n-5\\\\\n11\\end{pmatrix}\n +s\\cdot\\begin{pmatrix}2\\\\\n3\\\\\n0\\end{pmatrix},\n \\qquad s\\in\\mathbb R.\n\\]\n\nDie Gerade \\(h\\) ist durch \\(A\\) und \\(B\\) festgelegt. Weisen Sie nach, dass sich die beiden Geraden im vorgegebenen Punkt \\(F\\) senkrecht schneiden.\n\n#### Aufgabe 266\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAufgabe 266  \nGedruckte Buchseite: 180  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 266, Kapitel 22, Seite 295 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nDie Punkte \\(C(4\\mid1\\mid0)\\) und \\(D(0\\mid5\\mid0)\\) sind Endpunkte einer Kante.\n\na) Stellen Sie eine Gleichung der Geraden \\(k\\) durch \\(C\\) und \\(D\\) auf.\n\nb) Bestimmen Sie den Punkt \\(H\\) auf der Kante, dessen \\(x\\)-Koordinate \\(3\\) ist.\n\n\n## Kontrolllösungen zu Kapitel 22\n\n### Kapitel 22: Geraden aufstellen\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nAbschnitt: Kapitel 22: Geraden aufstellen  \nGedruckte Buchseite: 293\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 262\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 262  \nGedruckte Buchseite: 293  \nZugehörige Übung: Aufgabe 262, Kapitel 22, Seite 180  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 293\n\nORIGINALTEXT\n\n**a) Geradengleichung**\n\nEin Richtungsvektor ist\n\n\\[\n\\overrightarrow{AB}\n =\\begin{pmatrix}3-0\\\\\n1-(-1)\\\\\n6-2\\end{pmatrix}\n =\\begin{pmatrix}3\\\\\n2\\\\\n4\\end{pmatrix}.\n\\]\n\nDamit lautet eine Gleichung der Geraden\n\n\\[\ng:\\quad\n \\vec x=\\begin{pmatrix}0\\\\\n-1\\\\\n2\\end{pmatrix}\n +t\\cdot\\begin{pmatrix}3\\\\\n2\\\\\n4\\end{pmatrix},\n \\qquad t\\in\\mathbb R.\n\\]\n\n**b) Weiterer Punkt**\n\nFür \\(t=-1\\) erhält man\n\n\\[\n\\vec x\n =\\begin{pmatrix}0\\\\\n-1\\\\\n2\\end{pmatrix}\n -\\begin{pmatrix}3\\\\\n2\\\\\n4\\end{pmatrix}\n =\\begin{pmatrix}-3\\\\\n-3\\\\\n-2\\end{pmatrix}.\n\\]\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 262  \nGedruckte Buchseite: 294  \nZugehörige Übung: Aufgabe 262, Kapitel 22, Seite 180  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 293\n\nORIGINALTEXT\n\nEin möglicher Punkt ist \\(C(-3\\mid-3\\mid-2)\\).\n\n**c) Punktprobe**\n\nFür \\(t=2\\) gilt\n\n\\[\n\\begin{pmatrix}0\\\\\n-1\\\\\n2\\end{pmatrix}\n +2\\cdot\\begin{pmatrix}3\\\\\n2\\\\\n4\\end{pmatrix}\n =\\begin{pmatrix}6\\\\\n3\\\\\n10\\end{pmatrix}.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Der Punkt \\(P(6\\mid3\\mid10)\\) liegt auf \\(g\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 263\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 263  \nGedruckte Buchseite: 294  \nZugehörige Übung: Aufgabe 263, Kapitel 22, Seite 180  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 294\n\nORIGINALTEXT\n\n**a) Geradengleichung**\n\nMit dem gegebenen Punkt und dem Richtungsvektor erhält man\n\n\\[\nh:\\quad\n \\vec x=\\begin{pmatrix}-2\\\\\n3\\\\\n1\\end{pmatrix}\n +t\\cdot\\begin{pmatrix}2\\\\\n-1\\\\\n3\\end{pmatrix},\n \\qquad t\\in\\mathbb R.\n\\]\n\n**b) Punkt für \\(\\pmb{t=-2}\\)**\n\n\\[\n\\vec x\n =\\begin{pmatrix}-2\\\\\n3\\\\\n1\\end{pmatrix}\n -2\\cdot\\begin{pmatrix}2\\\\\n-1\\\\\n3\\end{pmatrix}\n =\\begin{pmatrix}-6\\\\\n5\\\\\n-5\\end{pmatrix}.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Der gesuchte Punkt ist \\(B(-6\\mid5\\mid-5)\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 264\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 264  \nGedruckte Buchseite: 294  \nZugehörige Übung: Aufgabe 264, Kapitel 22, Seite 180  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 294\n\nORIGINALTEXT\n\nDa \\(P(7\\mid p\\mid2)\\) auf \\(g\\) liegt, müssen seine Koordinaten von demselben Parameterwert \\(t\\) erzeugt werden. Aus der \\(x\\)-Koordinate folgt\n\n\\[\n7=1+3t\n \\quad\\Longrightarrow\\quad t=2.\n\\]\n\nDie \\(z\\)-Koordinate bestätigt diesen Wert, denn \\(4-2=2\\). Für die \\(y\\)-Koordinate gilt damit\n\n\\[\np=-2+2\\cdot2=2.\n\\]\n\n**Ergebnis:** \\(p=2\\)\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 265\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 265  \nGedruckte Buchseite: 294  \nZugehörige Übung: Aufgabe 265, Kapitel 22, Seite 180  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 294\n\nORIGINALTEXT\n\nEin Richtungsvektor von \\(h\\) ist\n\n\\[\n\\overrightarrow{AB}\n =\\begin{pmatrix}3\\\\\n-2\\\\\n6\\end{pmatrix}.\n\\]\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 265  \nGedruckte Buchseite: 295  \nZugehörige Übung: Aufgabe 265, Kapitel 22, Seite 180  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 294\n\nORIGINALTEXT\n\nDamit kann \\(h\\) durch\n\n\\[\nh:\\quad\n \\vec x=\\begin{pmatrix}1\\\\\n2\\\\\n-1\\end{pmatrix}\n +t\\cdot\\begin{pmatrix}3\\\\\n-2\\\\\n6\\end{pmatrix},\n \\qquad t\\in\\mathbb R,\n\\]\n\nbeschrieben werden. Für \\(t=2\\) ergibt sich\n\n\\[\n\\begin{pmatrix}1\\\\\n2\\\\\n-1\\end{pmatrix}\n +2\\cdot\\begin{pmatrix}3\\\\\n-2\\\\\n6\\end{pmatrix}\n =\\begin{pmatrix}7\\\\\n-2\\\\\n11\\end{pmatrix}.\n\\]\n\nDer Punkt \\(F\\) liegt somit auf \\(h\\). Für \\(s=1\\) ergibt sich auf \\(g\\) ebenfalls\n\n\\[\n\\begin{pmatrix}5\\\\\n-5\\\\\n11\\end{pmatrix}\n +\\begin{pmatrix}2\\\\\n3\\\\\n0\\end{pmatrix}\n =\\begin{pmatrix}7\\\\\n-2\\\\\n11\\end{pmatrix}.\n\\]\n\nDie Geraden schneiden sich also im Punkt \\(F\\). Für ihre Richtungsvektoren gilt außerdem\n\n\\[\n\\begin{pmatrix}3\\\\\n-2\\\\\n6\\end{pmatrix}\n \\circ\n \\begin{pmatrix}2\\\\\n3\\\\\n0\\end{pmatrix}\n =3\\cdot2+(-2)\\cdot3+6\\cdot0=0.\n\\]\n\nDie Richtungsvektoren stehen senkrecht aufeinander.\n\n**Ergebnis:** Die Geraden schneiden sich im Punkt \\(F\\) senkrecht.\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 266\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 266  \nGedruckte Buchseite: 295  \nZugehörige Übung: Aufgabe 266, Kapitel 22, Seite 180  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 295\n\nORIGINALTEXT\n\n**a) Geradengleichung**\n\nEin Richtungsvektor der Geraden durch \\(C\\) und \\(D\\) ist\n\n\\[\n\\overrightarrow{CD}\n =\\begin{pmatrix}-4\\\\\n4\\\\\n0\\end{pmatrix}.\n\\]\n\nDamit kann die Gerade durch\n\n\\[\nk:\\quad\n \\vec x=\\begin{pmatrix}4\\\\\n1\\\\\n0\\end{pmatrix}\n +t\\cdot\\begin{pmatrix}-4\\\\\n4\\\\\n0\\end{pmatrix},\n \\qquad t\\in\\mathbb R,\n\\]\n\nbeschrieben werden.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 22: Geraden aufstellen  \nKontrolllösung zu Aufgabe 266  \nGedruckte Buchseite: 296  \nZugehörige Übung: Aufgabe 266, Kapitel 22, Seite 180  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 295\n\nORIGINALTEXT\n\n**b) Punkt mit \\(\\pmb{x=3}\\)**\n\nAus der \\(x\\)-Koordinate folgt\n\n\\[\n3=4-4t\n \\quad\\Longrightarrow\\quad t=\\frac14.\n\\]\n\nDamit sind \\(y=1+4\\cdot\\frac14=2\\) und \\(z=0\\). Bei der gewählten Geradengleichung beschreiben die Parameterwerte \\(0\\leq t\\leq1\\) genau die Punkte der Kante \\(\\overline{CD}\\). Wegen \\(t=\\frac14\\) liegt \\(H\\) somit tatsächlich auf der Kante.\n\n**Ergebnis:** Der gesuchte Punkt ist \\(H(3\\mid2\\mid0)\\).\n\n"
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